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pH-Werte berechnen

Eine Wurzel, ein Logarithmus, ein Faktor ½ — und die Frage, wann diese Abkürzung noch stimmt.

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Starke Säuren und Basen

  • Starke Säure:praktisch vollständig protolysiert (3.2.4), also \(c(\ce{H3O+}) = c_0(\ce{HA})\).
Merke

Starke Säure: \(\mathrm{pH} = -\lg \dfrac{c_0(\ce{HA})}{\mathrm{mol/L}}\)

  • Starke Base:NaOH, KOH liefern \(c(\ce{OH-}) = c_0\): erst \(\mathrm{pOH} = -\lg c_0\), dann \(\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH}\) (3.2.2).
  • Mehrere OH⁻:\(\ce{Ba(OH)2}\) liefert zwei \(\ce{OH-}\) je Formeleinheit: \(c(\ce{OH-}) = 2\,c_0\).
  • Grenze:Unter etwa \(10^{-6}\) mol/L trägt die Autoprotolyse (3.2.1) merklich \(\ce{H3O+}\) bei — die Formel versagt.
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Schwache Säuren: Näherung oder exakt

Herleitung:

\(K_\mathrm{S} = \dfrac{c(\ce{H3O+})^2}{c_0 - c(\ce{H3O+})}\)
Näherung
mit \(c(\ce{A-}) = c(\ce{H3O+})\) und \(c(\ce{HA}) = c_0 - c(\ce{H3O+})\)
\(K_\mathrm{S} \approx \dfrac{c(\ce{H3O+})^2}{c_0} \;\Rightarrow\; c(\ce{H3O+}) = \sqrt{K_\mathrm{S} \cdot c_0}\)
\(-\lg\)
schwache Säure: \(c(\ce{H3O+}) \ll c_0\), also \(c(\ce{HA}) \approx c_0\)
\(\mathrm{pH} = \tfrac{1}{2}\,(\mathrm{p}K_\mathrm{S} - \lg c_0)\)
Ergebnis
\(c_0\) als Zahlenwert in mol/L
Merke

Schwache Säure (Näherung): \(\mathrm{pH} = \tfrac{1}{2}\,(\mathrm{p}K_\mathrm{S} - \lg c_0)\)

Stelle den pKs der schwachen Säure ein und ziehe den Messpunkt c₀ auf der Achse (oder Tab, dann ←/→). Wo trennen sich Näherung und exakte Kurve?

pH gegen c₀: drei Kurven übereinander

Halte fest: Die Näherung pH = ½(pKs − lg c₀) trifft, solange die Säure kaum protolysiert (α < 5 %). Bei kleinem pKs oder starker Verdünnung läuft sie unter die exakte Kurve — im Extremfall sogar unter die der starken Säure.

  • Exakt:\(c(\ce{H3O+})^2 + K_\mathrm{S}\, c(\ce{H3O+}) - K_\mathrm{S}\, c_0 = 0\), positive Lösung: \(c(\ce{H3O+}) = -\tfrac{K_\mathrm{S}}{2} + \sqrt{\tfrac{K_\mathrm{S}^2}{4} + K_\mathrm{S}\, c_0}\).
  • Wann Näherung?Wenn \(\alpha < 5\,\%\) — nach der Rechnung mit \(\alpha = c(\ce{H3O+}) / c_0\) prüfen.
  • Schwache Base:analog \(\mathrm{pOH} = \tfrac{1}{2}\,(\mathrm{p}K_\mathrm{B} - \lg c_0)\), dann \(\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH}\).
  • GTR (Casio fx-CG50):MENU → Gleichung → F2 (POLY) → F1 (Grad 2); a = 1, b = \(K_\mathrm{S}\), c = \(-K_\mathrm{S} c_0\), je mit EXE → F1 (SOLVE); positive Lösung nehmen.
  • CAS (TI-Nspire CX CAS):menu → 3 Algebra → 1 Löse: solve(x^2/(c0-x)=Ks,x) mit eingesetzten Zahlen; positive Lösung nehmen.
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Allgemeine Hinweise

Erst rechnen, dann prüfen

Nach jeder Näherung α = c(H₃O⁺) / c₀ bestimmen. Liegt α über 5 %, muss die quadratische Gleichung gelöst werden.

Basen über pOH

Bei Laugen liefert die Formel zuerst pOH. Wer diesen Wert als pH abschreibt, erhält eine saure statt einer alkalischen Lösung.

Plausibilitätscheck

Eine schwache Säure hat immer einen höheren pH-Wert als eine gleich konzentrierte starke. Liefert die Rechnung das Gegenteil, war die Näherung unzulässig.

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