Die selbsterhitzende Kaffeedose
AFB I–IISelbsterhitzende Dosen haben einen doppelten Boden mit Calciumoxid (Branntkalk) und einem Wasserbeutel. Drückt man auf den Boden, reißt der Beutel, das Wasser reagiert mit dem Calciumoxid zu Calciumhydroxid, und 250 g Kaffee werden in wenigen Minuten um 40 K erwärmt (\(c = 4{,}18\,\text{J/(g}\cdot\text{K)}\), \(M(\ce{CaO}) = 56{,}1\,\text{g/mol}\)).
| Stoff | CaO(s) | H₂O(l) | Ca(OH)₂(s) |
|---|---|---|---|
| \(\Delta_f H^\circ\) (kJ/mol) | −635,1 | −285,8 | −986,1 |
| \(S^\circ\) (J/(mol·K)) | 38,1 | 70,0 | 83,4 |
- Formulieren Sie die Reaktionsgleichung und berechnen Sie \(\Delta_r H^\circ\) und \(\Delta_r S^\circ\).
- Begründen Sie mit einer Entropiebilanz bei 298 K, dass die Reaktion freiwillig abläuft.
- Berechnen Sie die Masse an Calciumoxid, die mindestens in der Dose sein muss.
- Erläutern Sie am Weg der Energie von der Dose bis zum getrunkenen Kaffee den Begriff Energieentwertung.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\ce{CaO(s) + H2O(l) -> Ca(OH)2(s)}\). \(\Delta_r H^\circ = -986{,}1 - (-635{,}1 - 285{,}8) = -65{,}2\,\text{kJ/mol}\); \(\Delta_r S^\circ = 83{,}4 - (38{,}1 + 70{,}0) = -24{,}7\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\Delta S_U = \frac{65\,200\,\text{J/mol}}{298\,\text{K}} = +218{,}8\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)}\); \(\Delta S_{\text{ges}} = -24{,}7 + 218{,}8 = +194{,}1\,\text{J/(mol}\cdot\text{K)} > 0\): freiwillig, obwohl die Entropie des Systems (fester Stoff aus Feststoff und Flüssigkeit) sinkt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(Q = c\cdot m\cdot\Delta T = 4{,}18\cdot 250\cdot 40\,\text{J} = 41{,}8\,\text{kJ}\); \(n = \frac{41{,}8}{65{,}2}\,\text{mol} = 0{,}641\,\text{mol}\); \(m = 0{,}641\,\text{mol}\cdot 56{,}1\,\text{g/mol} \approx 36\,\text{g}\). Wegen Wärmeverlusten an Dose und Luft ist real mehr nötig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Die chemische Energie von CaO und Wasser ist hochwertig. Sie wird als Wärme an den Kaffee (ca. 60 °C) abgegeben — schon weniger arbeitsfähig. Kühlt der Kaffee ab bzw. gibt der Körper die Wärme ab, verteilt sie sich bei Umgebungstemperatur auf sehr viele Teilchen; die Entropie der Umgebung steigt weiter. Die Energiemenge bleibt gleich, nutzbar ist sie danach nicht mehr.
Gasheizung oder Wärmepumpe?
AFB II–IIIEin Einfamilienhaus soll künftig statt mit einem Gasbrennwertkessel mit einer Luft-Wärmepumpe beheizt werden. Die Wärmepumpe entzieht der Außenluft Wärme und gibt sie — angetrieben durch einen elektrischen Kompressor — bei höherer Temperatur an das Heizwasser ab. Vereinfachend wird angenommen, dass Wärmequellen und -senken ihre Temperatur nicht ändern.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Wärmebedarf eines Hauses an einem Wintertag | 10 kWh = 36 MJ |
| Temperatur der Außenluft | 5 °C |
| Vorlauftemperatur der Fußbodenheizung | 50 °C |
| mittlere Temperatur der Flammengase im Gaskessel | 1200 °C |
| gemessene Leistungszahl der Wärmepumpe (Wärme pro elektrischer Energie) | 3,5 |
- Berechnen Sie die Entropieänderung insgesamt, wenn im Gaskessel 36 MJ Wärme von den Flammengasen an das Heizwasser übergehen, und deuten Sie das Ergebnis.
- Leiten Sie aus der Bedingung \(\Delta S_{\text{ges}} = 0\) für eine ideale Wärmepumpe her, wie viel elektrische Arbeit mindestens für 36 MJ Heizwärme nötig ist.
- Berechnen Sie für die reale Wärmepumpe (Leistungszahl 3,5) die elektrische Arbeit und die erzeugte Entropie, und vergleichen Sie mit dem Gaskessel.
- Beurteilen Sie die Aussage: „Die Wärmepumpe erzeugt aus 1 kWh Strom 3,5 kWh Wärme — sie arbeitet mit 350 % Wirkungsgrad und verletzt damit den Energieerhaltungssatz.“
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
\(\Delta S = -\frac{36\,\text{MJ}}{1473\,\text{K}} + \frac{36\,\text{MJ}}{323\,\text{K}} = -0{,}0244 + 0{,}1115 = +0{,}0870\,\text{MJ/K} = +87{,}0\,\text{kJ/K}\). Der große Temperatursprung erzeugt viel Entropie: Hochwertige Energie wird entwertet, verlorene Arbeit \(T_0\cdot\Delta S_{\text{ges}} = 278\,\text{K}\cdot 0{,}0870\,\text{MJ/K} \approx 24\,\text{MJ}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\frac{Q_k}{T_k} = \frac{Q_w}{T_w}\Rightarrow Q_k = 36\,\text{MJ}\cdot\frac{278}{323} = 31{,}0\,\text{MJ}\). Energieerhaltung: \(W = Q_w - Q_k = 5{,}0\,\text{MJ} \approx 1{,}4\,\text{kWh}\) (ideale Leistungszahl \(36/5{,}0 \approx 7{,}2\)).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(W = 36/3{,}5 = 10{,}3\,\text{MJ} = 2{,}9\,\text{kWh}\); \(Q_k = 25{,}7\,\text{MJ}\). \(\Delta S_{\text{ges}} = -\frac{25{,}7}{278} + \frac{36}{323} = -0{,}0925 + 0{,}1115 = +0{,}0190\,\text{MJ/K} = +19{,}0\,\text{kJ/K}\) — positiv, also mit dem 2. Hauptsatz vereinbar, aber nur gut ein Fünftel der Entropieerzeugung des Gaskessels.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Falsch: Die Energie ist erhalten — 2,5 kWh stammen als Wärme aus der Außenluft, die Wärmepumpe „pumpt“ sie nur auf höhere Temperatur. Die Leistungszahl ist kein Wirkungsgrad. Ökologisch entscheidend ist die Entwertung: Der Gaskessel verbrennt hochwertige chemische Energie, um nur 50 °C warmes Wasser zu erzeugen (viel Entropieerzeugung). Stammt der Strom aus einem Wärmekraftwerk mit 40 % Wirkungsgrad, sind für 2,9 kWh Strom rund 7,1 kWh Brennstoff nötig — immer noch weniger als 10 kWh im Gaskessel; mit Ökostrom ist der Vorteil noch größer.