Verdoppeln, bremsen, einpendeln — hier werden exponentielles und logistisches Wachstum zum sicheren Werkzeug.
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Übungsaufgaben
Zehn Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III, mit einer Mix-Aufgabe aus früheren Unterkapiteln und einer Trickaufgabe. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Grundbegriffe der Populationsökologie
AFB I
Ordnen Sie jedem Begriff die passende Beschreibung zu.
Klicken Sie links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.
Die Zuwachsrate gilt je Individuum, die Kapazität für den ganzen Lebensraum. Verdopplungszeit und Wendepunkt beschreiben jeweils einen Kennwert der beiden Wachstumsmodelle.
Zwei Begriffe gehören zu je einem der beiden Wachstumsmodelle.
r wird aus zwei Raten berechnet.
A2
Exponentiell oder logistisch?
AFB I
Ordnen Sie die Merkmale den Wachstumsmodellen zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken Sie dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1nur exponentielles Wachstum
2nur logistisches Wachstum
3beide Modelle
Beide Modelle enthalten r, und bei sehr kleinem N ist der Zuwachs in beiden winzig — deshalb gleichen sich die Kurven am Anfang. Erst der Faktor (K − N)/K bremst das logistische Wachstum.
Überlegen Sie, was der Faktor (K − N)/K bewirkt.
Zwei Merkmale gelten für beide Modelle.
A3
Wachstum ohne Grenzen
AFB I
Geben Sie die Kennzeichen des exponentiellen Wachstums an, indem Sie den Lückentext vervollständigen — drei Wörter bleiben übrig.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Solange Nahrung und Raum unbegrenzt sind, bleibt die Zuwachsrate r . Der Zuwachs dN/dt ist dann zur Populationsgröße, und die Kurve verläuft . Die hängt nur von r ab, nicht von N. Werden die Ressourcen knapp, nähert sich N der .
Übrig bleiben „S-förmig“, „halbiert“ und „Geburtenrate“: Die S-Form gehört zum logistischen Wachstum, und r ist die Differenz aus Geburten- und Sterberate, nicht die Geburtenrate allein.
Konstantes r bedeutet: Doppelt so viele Individuen liefern doppelt so viel Zuwachs.
Der letzte Satz leitet zum logistischen Modell über.
A4
Bakterien in Nährlösung
AFB II
Das Darmbakterium Escherichia coli teilt sich in Nährlösung bei 37 °C etwa alle 20 Minuten. Eine Kultur startet mit 500 Zellen je ml. Berechnen Sie die Kennwerte des exponentiellen Wachstums.
Rechnen Sie die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Zuwachsrate rpro h
Zahl der Verdopplungen in 4 Stunden
Zellzahl nach 4 StundenMio. je ml
r = ln 2 : td = 0,693 : (1/3 h) ≈ 2,08 pro h. In 4 h liegen 12 Verdopplungszeiten, also N = 500 · 212 = 2 048 000 ≈ 2,05 Millionen Zellen je ml. Gleiches Ergebnis mit N = 500 · e2,08 · 4.
Rechnen Sie die Verdopplungszeit zuerst in Stunden um.
N = N₀ · 2n mit n = Zahl der Verdopplungen.
A5
Wasserlinsen in der Schale
AFB II
In eine Schale mit Nährlösung wurden 10 Blattglieder der Kleinen Wasserlinse (Lemna minor) gesetzt und alle zwei Tage gezählt (Modellwerte). Ermitteln Sie die Kennwerte aus dem Diagramm.
Wählen Sie in jedem Menü den passenden Eintrag. Alle Felder müssen stimmen.
Kennwert
Ihre Auswahl
Umweltkapazität K
Populationsgröße im Wendepunkt
Zeitpunkt des größten Zuwachses
Phase zwischen Tag 12 und Tag 18
Phase zwischen Tag 22 und Tag 30
Die Kurve nähert sich etwa 400 Blattgliedern (K). Am steilsten ist sie bei K/2 ≈ 200, das ist etwa an Tag 10 erreicht. Danach flacht sie ab (Verzögerungsphase) und bleibt ab etwa Tag 22 fast konstant. Eine Absterbephase zeigt das Diagramm nicht.
Der Wendepunkt liegt bei der Hälfte des Endwerts.
Suchen Sie die Stelle, an der die Kurve am steilsten ist.
A6
Hefe im Gärkolben
MixAFB II
Hefezellen werden in einen Kolben mit Traubensaft gegeben, der mit einem Gärröhrchen luftdicht verschlossen ist. Erklären Sie den Verlauf der Hefepopulation, indem Sie jede Beobachtung der passenden Wachstumsphase zuordnen.
Setzen Sie in jeder Zeile das passende Kreuz — hier ist es genau eins pro Zeile. Enter setzt und löscht.
Aussage
Anlaufphase
exponentielle Phase
stationäre Phase
Absterbephase
Die frisch zugegebenen Zellen bilden zunächst die Enzyme für den Abbau des Zuckers im Saft.
Der Sauerstoff ist verbraucht, die Hefe gewinnt ATP durch alkoholische Gärung; Zucker ist reichlich da, Ethanol kaum.
Aus dem Gärröhrchen steigen immer schneller CO₂-Bläschen; die Zellzahl verdoppelt sich in gleichen Abständen.
Zucker wird knapp und Ethanol hemmt die Sprossung; Neubildung und Absterben halten sich die Waage.
Die Ethanolkonzentration überschreitet die Toleranzgrenze der Hefe; die Zellzahl sinkt.
Unter dem Mikroskop sind viele abgestorbene Zellen zu sehen, der Saft ist fast zuckerfrei.
Hier verbinden sich Gärung und Toleranz mit dem Populationswachstum: Bei der alkoholischen Gärung entstehen je Glucose nur 2 ATP, dafür aber Ethanol und CO₂. Im geschlossenen Kolben reichert sich das Ethanol an, bis es die Toleranzgrenze der Hefe überschreitet — so entsteht die Absterbephase.
Denken Sie an die Endprodukte der alkoholischen Gärung.
Im Kolben wird nichts entfernt und nichts nachgefüllt.
A7
Trickaufgabe: Der halb bedeckte Teich
TrickAFB II
Auf einem Teich wächst ein Teppich aus Fadenalgen; seine Fläche verdoppelt sich jeden Tag. Nach 30 Tagen ist der Teich vollständig bedeckt. Bestimmen Sie, nach wie vielen Tagen genau die Hälfte bedeckt war.
Schieben Sie den Regler auf Ihre Antwort — Pfeiltasten bewegen ihn schrittweise. Nach dem Prüfen sehen Sie den Trefferbereich.
030
Die Falle ist, die Zeit zu halbieren (15 Tage). Bei täglicher Verdopplung ist der Teich am Tag vor der vollständigen Bedeckung halb bedeckt — also nach 29 Tagen. Nach 15 Tagen war erst ein Bruchteil von 2−15 ≈ 0,003 % bedeckt.
Gehen Sie vom Ende aus rückwärts.
Eine Verdopplung dauert genau einen Tag.
A8
Ein Referat mit Fehlern
AFB III
Eine Schülerin fasst das logistische Wachstum zusammen. Überprüfen Sie ihre Aussagen.
In diesem Text stecken Fehler. Klicken Sie genau die falschen Zeilen an — die richtigen müssen stehen bleiben.
Drei Fehler: Lage des größten Zuwachses, Geburten in der stationären Phase und das Vorzeichen des Zuwachses oberhalb von K. Gerade der letzte Punkt zeigt, dass das Modell eine Population auf K zurückführt — es reguliert sie.
Setzen Sie für N probeweise kleine Werte, K/2 und Werte über K ein.
Drei Aussagen sind falsch.
A9
Wo ist der Zuwachs am größten?
AFB III
Für eine Population von Bachflohkrebsen im Aquarium gelten r = 0,4 pro Tag und K = 1000 Tiere (Modellwerte). Zeigen Sie mit dem logistischen Modell, dass der Zuwachs bei K/2 maximal ist, indem Sie die Tabelle ausfüllen.
Füllen Sie alle Felder aus und prüfen Sie dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
Größe
Wert
dN/dt bei N = 200 in Tieren pro Tag
dN/dt bei N = 500 in Tieren pro Tag
dN/dt bei N = 800 in Tieren pro Tag
Zuwachs je Tier bei N = 800 in pro Tag
größtmöglicher Zuwachs r·K/4 in Tieren pro Tag
0,4 · 200 · 0,8 = 64; 0,4 · 500 · 0,5 = 100; 0,4 · 800 · 0,2 = 64. Der Zuwachs ist symmetrisch um K/2 und dort mit r · K/4 = 100 maximal. Je Tier sind es bei N = 800 nur noch 64 : 800 = 0,08 pro Tag statt 0,4 — die Dichte bremst jedes Individuum.
dN/dt = r · N · (K − N) : K.
Zuwachs je Tier = dN/dt : N.
A10
Die Kapazität messen
AFB III
Ein Kurs will für Wasserflöhe (Daphnia magna) in einem 1-Liter-Gefäß die Umweltkapazität K und die Zuwachsrate r bestimmen. Planen Sie den Versuch, indem Sie Schritt für Schritt die beste Entscheidung treffen.
Spielen Sie den Weg Schritt für Schritt durch: Was ist jetzt richtig? Nur die richtige Karte bringt Sie weiter.
Ein guter Plan hat Parallelansätze, konstante Bedingungen, eine tägliche Zählung und eine Auswertung, die K aus dem Plateau und r aus der Anfangssteigung von ln N gewinnt.
Denken Sie an Wiederholungen und Konstanthalten der Bedingungen.
r lässt sich nur dort ablesen, wo die Dichte noch nicht bremst.
