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Populationswachstum

Ein einziges Pantoffeltierchen könnte nach wenigen Wochen einen ganzen Teich füllen — warum geschieht das nie?

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Wachstum ohne Grenzen

Wie viele Individuen eine Population zählt, ändert sich ständig. Unter idealen Bedingungen hängt ihr Wachstum nur davon ab, wie viele Individuen schon da sind.

  • Population:alle Individuen einer Art, die zur selben Zeit in einem Gebiet leben und sich miteinander fortpflanzen; Populationsgröße N = Individuenzahl, Populationsdichte = Individuen je Fläche oder Volumen.
  • Geburten- und Sterberate:Geburten (b) bzw. Todesfälle (d) je Individuum und Zeiteinheit; Zu- und Abwanderung verändern N zusätzlich.
  • Zuwachsrate r:r = b − d (ohne Wanderung); bei r > 0 wächst die Population, bei r = 0 bleibt sie gleich, bei r < 0 schrumpft sie.
  • Exponentielles Wachstum:Bei unbegrenzten Ressourcen bleibt r konstant; der Zuwachs \(\tfrac{dN}{dt}\) ist proportional zu N, daraus folgt \(N(t) = N_0 \cdot e^{r \cdot t}\) — eine J-förmige Kurve.
  • Verdopplungszeit td:Zeit, in der sich N verdoppelt; beim exponentiellen Wachstum immer gleich, egal wie groß die Population schon ist.
  • Vorkommen:nur zeitweise: Bakterien in frischer Nährlösung, Besiedlung eines neuen Lebensraums, eingeschleppte Arten ohne Fressfeinde.
Herleitung:
\(N(t) = N_0 \cdot e^{r \cdot t}\)
| N = 2·N₀ einsetzen

Nach der Verdopplungszeit td ist N doppelt so groß wie N0.

\(2 \cdot N_0 = N_0 \cdot e^{r \cdot t_d}\)
| : N₀
\(2 = e^{r \cdot t_d}\)
| ln

Der natürliche Logarithmus hebt die e-Funktion auf.

\(\ln 2 = r \cdot t_d\)
| : r
\(t_d = \frac{\ln 2}{r} \approx \frac{0{,}693}{r}\)
Ergebnis

Je größer die Zuwachsrate, desto kürzer die Verdopplungszeit — N0 spielt keine Rolle.

Merke

Exponentielles Wachstum: \(\dfrac{dN}{dt} = r \cdot N\),  \(N(t) = N_0 \cdot e^{r \cdot t}\),  \(t_d = \dfrac{\ln 2}{r}\)

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Wachstum mit Grenzen

Kein Lebensraum bietet unbegrenzt Nahrung und Platz. Je dichter eine Population wird, desto stärker bremst sie ihr eigenes Wachstum.

  • Umweltkapazität K:größte Individuenzahl, die ein Lebensraum mit seinen Ressourcen (Nahrung, Raum, Nist- oder Versteckplätze) dauerhaft tragen kann; auch Kapazitätsgrenze.
  • Logistisches Wachstum:\(\tfrac{dN}{dt} = r \cdot N \cdot \tfrac{K - N}{K}\); der Faktor \(\tfrac{K-N}{K}\) ist der noch freie Anteil der Kapazität und sinkt mit wachsendem N — die Kurve ist S-förmig (sigmoid).
  • Phasen:Anlaufphase (wenige Individuen, kleiner Zuwachs) → exponentielle Phase → Verzögerungsphase (Zuwachs nimmt ab) → stationäre Phase (N ≈ K, Geburten und Todesfälle gleichen sich aus).
  • Wendepunkt:Bei N = K/2 ist der Zuwachs am größten; danach wird er kleiner, obwohl N weiter steigt.
  • Regulation:Mit steigender Dichte werden Nahrung und Raum je Individuum knapp, die Konkurrenz unter Artgenossen (intraspezifische Konkurrenz) wächst, Krankheiten breiten sich leichter aus: Die Geburtenrate sinkt, die Sterberate steigt.
  • Absterbephase:in geschlossenen Kulturen ohne Nachschub, etwa Bakterien oder Hefe im Kolben: Nährstoffe gehen zur Neige, giftige Stoffwechselprodukte reichern sich an, die Sterberate übersteigt die Geburtenrate.

Stelle mit den Reglern die Zuwachsrate r, die Umweltkapazität K und die Anfangsgröße N0 ein und schalte zwischen exponentiellem und logistischem Modell um. Oben siehst du die Individuenzahl N, unten den Zuwachs dN/dt. Wo liegt der Wendepunkt — und was verschiebt ihn?

Wachstum in der Kultur

Halte fest: Im logistischen Modell wächst die Population anfangs fast exponentiell. Der Zuwachs erreicht bei N = K/2 sein Maximum und sinkt dann gegen null. r bestimmt, wie steil die Kurve ansteigt, K, wo sie endet — N0 verschiebt sie nur zeitlich.

Herleitung:
\(\frac{dN}{dt} = \frac{r}{K} \cdot \left(K \cdot N - N^2\right)\)
| nach N ableiten

Der Zuwachs ist eine nach unten geöffnete Parabel in N.

\(\frac{r}{K} \cdot (K - 2N) = 0\)
| Maximum: Ableitung null
\(K - 2N = 0\)
| + 2N, : 2
\(N = \frac{K}{2} \;\Rightarrow\; \left(\frac{dN}{dt}\right)_{\max} = \frac{r \cdot K}{4}\)
Ergebnis

In den Zuwachs eingesetzt: \(r \cdot \tfrac{K}{2} \cdot \tfrac{1}{2}\).

Merke

Logistisches Wachstum: \(\dfrac{dN}{dt} = r \cdot N \cdot \dfrac{K - N}{K}\); größter Zuwachs im Wendepunkt bei \(N = \dfrac{K}{2}\)

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Allgemeine Hinweise

Zuwachsrate ist nicht Zuwachs

Die Zuwachsrate r bezieht sich auf ein Individuum, der Zuwachs dN/dt auf die ganze Population. Im Wendepunkt ist dN/dt maximal, obwohl jedes Individuum nur noch halb so viel beiträgt wie am Anfang.

Logarithmus als Test

Trägt man ln N gegen die Zeit auf, wird exponentielles Wachstum zu einer Geraden mit der Steigung r. So lassen sich Messwerte schnell prüfen und r ablesen.

Stationär heißt nicht still

Auch in der stationären Phase werden Individuen geboren und sterben. Nur halten sich beide die Waage, sodass N konstant bleibt.

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