AbituraufgabenPopulationswachstum

Von 1944 bis 1963 steigt die Zahl der Rentiere von 29 auf etwa 6000, also um mehr als das 200-Fache. Das Wachstum ist anfangs nahezu exponentiell. Zwischen 1963 und 1966 bricht die Population auf 42 Tiere zusammen, das sind weniger als 1 % des Höchststands; es gibt kaum noch Männchen und keine Jungtiere, sodass die Population praktisch nicht mehr lebensfähig ist.

1944–1957: \(r = \tfrac{\ln(1350/29)}{13\,\text{a}} = \tfrac{3{,}84}{13\,\text{a}} \approx 0{,}30\) pro Jahr; \(t_d = \tfrac{0{,}693}{0{,}30} \approx 2{,}3\) Jahre. 1957–1963: \(r = \tfrac{\ln(6000/1350)}{6\,\text{a}} = \tfrac{1{,}49}{6\,\text{a}} \approx 0{,}25\) pro Jahr; \(t_d \approx 2{,}8\) Jahre. Die Zuwachsrate ist im zweiten Zeitraum etwas kleiner: Das Wachstum beginnt sich bei hoher Dichte bereits zu verlangsamen, passend zu den leichteren Tieren.

Ohne Fressfeinde und Jagd wuchs die Population weit über die Zahl hinaus, die die Insel dauerhaft ernähren kann. Die Winternahrung, Flechten, wächst nur wenige Millimeter pro Jahr und wurde schneller abgeweidet, als sie nachwuchs. Damit sank die Umweltkapazität selbst. Die geschwächten Tiere fanden im schneereichen Winter 1963/64 unter der hohen Schneedecke kaum Futter und verhungerten in großer Zahl. Überbevölkerung, zerstörte Nahrungsgrundlage und ein harter Winter wirkten zusammen.

Die Aussage trifft nur für den Anfang zu. Bis etwa 1957 ähnelt der Verlauf dem Beginn einer S-Kurve (Anlauf- und exponentielle Phase), und von 1957 bis 1963 sinkt r leicht. Das logistische Modell sagt aber voraus, dass sich N einer konstanten Kapazität K von unten nähert und dort bleibt. Tatsächlich schoss die Population weit über die tragbare Zahl hinaus und brach dann zusammen. Gründe: Die Nahrung reagiert verzögert (Flechten verschwinden erst nach Jahren der Übernutzung), und K ist nicht konstant, weil die Rentiere ihre eigene Ressource zerstörten. Fazit: Für diesen Fall ist das logistische Modell ungeeignet; es gilt nur, wenn die Dichte ohne Verzögerung auf Geburten- und Sterberate zurückwirkt und die Ressourcen sich erneuern.

0–2 h: Anlaufphase (die Zellzahl steigt kaum; die Bakterien stellen sich auf das Medium ein). 2–6 h: exponentielle Phase (Verdopplung in gleichen Zeitabständen). 6–10 h: Verzögerungsphase (der Zuwachs je Stunde nimmt ab). 10–16 h: stationäre Phase (etwa 1,7 · 10⁸ Zellen je ml). Ab 16 h: Absterbephase (die Zahl lebender Zellen sinkt).

Von 2 h bis 6 h verdoppelt sich die Zellzahl jede Stunde: 3,0 · 10⁶ → 6,0 · 10⁶ → 1,2 · 10⁷ → 2,4 · 10⁷ → 4,7 · 10⁷. Die Verdopplungszeit beträgt also \(t_d \approx 1\,\text{h}\) (60 min). Daraus folgt \(r = \tfrac{\ln 2}{t_d} \approx 0{,}69\) pro Stunde. Kontrolle: \(\ln(4{,}7 \cdot 10^7 / 3{,}0 \cdot 10^6) / 4\,\text{h} = \tfrac{2{,}75}{4\,\text{h}} \approx 0{,}69\) pro Stunde.

Ab etwa 7 h werden die Nährstoffe knapp, und Stoffwechselprodukte wie Säuren reichern sich an (pH-Abfall in M4). Die Teilungsrate sinkt, die Sterberate steigt: Der Zuwachs wird kleiner (Verzögerungsphase), bis sich Teilung und Absterben ausgleichen (stationäre Phase bei etwa 1,7 · 10⁸ Zellen je ml). Da im geschlossenen Kolben weder Nährstoffe nachgeliefert noch Abfallstoffe entfernt werden, verschlechtern sich die Bedingungen weiter; die Sterberate übersteigt die Teilungsrate, und die Zahl lebender Zellen sinkt ab 16 h (Absterbephase).

Mehrere Kulturansätze mit gleicher Nährlösung, aber verschiedener Nährstoffkonzentration (z. B. halbe, einfache, doppelte Menge Glucose und Aminosäuren) werden mit gleich vielen Zellen beimpft; Temperatur, Volumen, Schütteln und Bakterienstamm bleiben gleich, jeder Ansatz wird mehrfach wiederholt. Stündlich wird die Zahl lebender Zellen bestimmt. Ausgewertet werden die Zuwachsrate r aus der exponentiellen Phase (Steigung von ln N) und die Zellzahl in der stationären Phase. Erwartung, wenn die Vermutung stimmt: gleiche Zuwachsrate in allen Ansätzen (die Nährstoffe sind anfangs nicht begrenzend), aber eine stationäre Phase, die mit der Nährstoffmenge ansteigt — bei doppelter Menge etwa doppelt so hoch.