Schach ist nicht nur Spiel, sondern auch eine Schatzkammer für Kombinatorik, Spieltheorie und Algorithmen — vier klassische Probleme zum Selbstausprobieren.
Claude Shannon, der „Vater der Informationstheorie“, schätzte 1950 die Spielbaumkomplexität von Schach auf rund 10¹²⁰ verschiedene Partien (mit höchstens 40 Zügen pro Seite). Zum Vergleich: Es gibt nur etwa 10⁸⁰ Atome im sichtbaren Universum.
Selbst die Anzahl der erreichbaren Stellungen wird auf etwa 10⁴³ bis 10⁵⁰ geschätzt — mehr Möglichkeiten, als es Sandkörner auf der Erde (≈ 10²⁰) gibt. Genau deshalb ist Schach mathematisch so reichhaltig: Jeder Computer der Welt zusammen kann nicht alle Stellungen durchrechnen.
Aufgestellt 1848 vom Schachmeister Max Bezzel, gelöst 1850 von Franz Nauck, später u. a. von Carl Friedrich Gauß systematisch behandelt: Wie kann man 8 Damen so auf ein Schachbrett stellen, dass sich keine zwei gegenseitig schlagen?
Es gibt genau 92 Lösungen — bei Berücksichtigung der Symmetrien des Bretts nur 12 wesentlich verschiedene. Eine berühmte Lösung verwendet eine Diagonalsprung-Konstruktion. Versuche es selbst:
Klicke auf ein Feld, um eine Dame zu setzen. Klicke nochmals, um sie zu entfernen. Felder, die von einer Dame bedroht werden, werden rot eingefärbt. Ziel: 8 Damen, keine bedroht andere.
Kann ein Springer alle 64 Felder eines Schachbretts genau einmal besuchen? Die Antwort ist ja — und es gibt mehrere Milliarden Lösungen. Dieses Problem heißt Springer-Tour oder Rösselsprung-Problem und beschäftigt Mathematiker seit dem 9. Jahrhundert. Leonhard Euler löste es systematisch im Jahr 1759.
Auf einem kleineren 5×5-Brett ist eine Springer-Tour ebenfalls möglich. Probiere es aus — der Springer startet auf a1 und muss alle 25 Felder genau einmal besuchen:
Die grünen Felder sind mögliche nächste Züge. Klicke ein grünes Feld an, um den Springer dorthin zu ziehen. Schaffst du es, alle 25 Felder zu besuchen?
Eine alte Sage erzählt: Der König von Indien war so begeistert vom neuen Spiel Schach, dass er dem Erfinder einen Wunsch frei stellte. Der bescheidene Erfinder bat um folgende Belohnung: Auf das erste Feld des Schachbretts solle ein Korn Weizen gelegt werden, auf das zweite zwei, auf das dritte vier, auf das vierte acht — auf jedes nächste Feld doppelt so viele wie auf das vorige.
Der König lachte und stimmte zu. Doch dann begannen seine Hofmathematiker zu rechnen…
| Feld | Körner auf diesem Feld | Insgesamt bis hier |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | 3 |
| 3 | 4 | 7 |
| 8 | 128 | 255 |
| 16 | 32 768 | 65 535 |
| 32 | 2 147 483 648 | 4 294 967 295 |
| 48 | ~ 1,4 · 10¹⁴ | ~ 2,8 · 10¹⁴ |
| 64 | ~ 9,2 · 10¹⁸ | ~ 1,8 · 10¹⁹ |
Die Gesamtzahl der Körner ist 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615. Bei einem geschätzten Gewicht von 0,02 g pro Korn wären das 369 Milliarden Tonnen Weizen — ungefähr 1500 Mal so viel, wie weltweit pro Jahr geerntet wird. Ein eindrucksvolles Beispiel für die Macht des exponentiellen Wachstums.
Die Spieltheorie sagt: Schach ist ein endliches, deterministisches Spiel mit perfekter Information. Theoretisch muss es bei perfektem Spiel ein eindeutiges Ergebnis geben — entweder gewinnt Weiß, Schwarz, oder es endet in Remis. Welches Ergebnis das ist, weiß bis heute niemand sicher.
Die meisten Spitzenspieler und Engines vermuten: Bei perfektem Spiel ist Schach Remis. Aber bewiesen ist das nicht — und wird es wegen der schieren Größe wohl nie.