Aufgabenblock — AFB III
Zehn Aufgaben der Anforderungsstufe AFB III (Verallgemeinern und Reflektieren). Hier zählt nicht die Zahl allein: Sie sollen bewerten, ob ein Versuch wirklich beweist, was er zu beweisen scheint, Behauptungen widerlegen, Fehler in Schülerlösungen aufdecken, Grenzfälle prüfen, Größenordnungen abschätzen und Erkenntnisse von einer Wellenart auf die andere übertragen. Aufgaben mit Rechenfeldern zählen als gelöst, wenn alle Felder stimmen; die reinen Begründungsaufgaben zählen als erledigt, sobald Sie die Musterlösung aufklappen — erst selbst formulieren, dann vergleichen. Im Taschenrechner den Gradmodus (DEG) einstellen, Dezimalkomma verwenden.
Sieben Aussagen liegen vor. Alle sieben sind wahr — aber nur ein Teil davon stützt die Behauptung.
- Senkrecht zur Ausbreitungsrichtung gibt es viele mögliche Schwingungsrichtungen — aus ihnen kann ein Filter eine auswählen.
- Licht breitet sich mit sehr großer Geschwindigkeit aus.
- Ein gekreuzter Analysator kann die Intensität auf null bringen; das setzt eine ausgezeichnete Querrichtung voraus.
- Licht lässt sich beugen und brechen.
- Bei einer Längswelle liegt die Schwingung fest in Ausbreitungsrichtung — dort gibt es nichts auszuwählen.
- Die Wellenlänge des Lichts beträgt nur einige hundert Nanometer.
- Schall lässt sich mit keinem Filter polarisieren.
a) Ordnen Sie jede Aussage einer der beiden Gruppen zu: stützt den Beweis oder wahr, aber kein Beweis.
b) Begründen Sie in zwei bis drei Sätzen, nach welchem Kriterium Sie entschieden haben.
c) Erklären Sie, warum genau die Stellung θ = 90° mit I = I₀ · cos²θ = 0 das entscheidende Argument liefert — und nicht etwa, dass es bei 30° dunkler wird.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
a) Stützen den Beweis: 1, 3, 5 und 7. Alle vier handeln von der Schwingungsrichtung quer zur Ausbreitung: Es gibt viele Querrichtungen (1), aus denen der Filter eine auswählt; der gekreuzte Analysator kann die Intensität auf null bringen (3), was nur geht, wenn eine ausgezeichnete Querrichtung existiert; bei einer Längswelle liegt die Schwingung fest in Ausbreitungsrichtung, dort gibt es nichts auszuwählen (5); und Schall lässt sich tatsächlich mit keinem Filter polarisieren (7).
Wahr, aber kein Beweis: 2, 4 und 6. Die große Geschwindigkeit, Beugung und Brechung sowie die Wellenlänge von einigen hundert Nanometern zeigen nur, dass Licht überhaupt eine Welle ist — longitudinale Schallwellen können sich ebenso beugen und brechen und haben ebenfalls eine Wellenlänge. Wer diese Aussagen als Beweis führt, verwechselt „ist eine Welle" mit „ist eine Querwelle".
b) Kriterium: Eine Aussage stützt die Behauptung nur, wenn sie longitudinale Wellen ausschließt. Man prüft also jede Aussage mit der Gegenprobe: Könnte Schall das auch? Lautet die Antwort ja, trennt die Aussage die beiden Wellenarten nicht.
c) Dass es bei 30° dunkler wird, ließe sich noch als „der Filter schluckt eben Licht" deuten — ein Filter, der wie ein Sieb wirkt, würde bei jeder Stellung gleich viel schlucken. Entscheidend ist die vollständige Auslöschung bei genau θ = 90°: cos²90° = 0. Eine Richtung, in der gar nichts mehr durchkommt, kann es nur geben, wenn die Schwingung überhaupt eine Richtung senkrecht zur Ausbreitung hat. Filter sind eben keine Siebe — sie wählen eine Richtung aus, und die muss es erst einmal geben. Nebenbei: Polarisator und Analysator sind baugleich; wer sie vertauscht, ändert nichts. Entscheidend ist allein der Winkel θ zwischen ihnen.
a) Widerlegen Sie beide Teilbehauptungen. Argumentieren Sie beim ersten Teil mit einer Bilanz über die gesamte Schirmfläche hinter einem Doppelspalt, nicht nur über eine einzelne dunkle Stelle.
b) Ein zweiter Mitschüler hält dagegen: „Bei Δs = 0 löschen sich die Wellen aus, weil kein Wegunterschied da ist." Beurteilen Sie diese Aussage.
c) Grenzfall: Unter welcher zusätzlichen Bedingung ist die Auslöschung überhaupt vollständig? Was beobachtet man, wenn diese Bedingung verletzt ist?
d) Alle drei Fehlvorstellungen haben dieselbe gedankliche Wurzel. Benennen Sie sie.
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
a) Erster Teil — keine Wärme. Die Energie wird bei destruktiver Interferenz nicht vernichtet und auch nicht in Wärme umgewandelt, sondern räumlich umverteilt. Hinter dem Doppelspalt ist der Schirm an den Minima dunkel, an den Maxima aber heller, als es ein einzelner offener Spalt an derselben Stelle wäre. Summiert man die Leistung über die gesamte Schirmfläche, kommt genau die eingestrahlte Leistung heraus. Der Energiesatz ist also erfüllt — er gilt eben für die Bilanz, nicht für einen einzelnen Punkt.
Zweiter Teil — nichts ist zerstört. Nach dem Superpositionsprinzip ist die Auslenkung nur während der Überlagerung die Summe der Einzelauslenkungen. Danach laufen beide Wellen völlig ungestört mit ihrer alten Amplitude weiter. Zwei Wellen verbrauchen einander nicht.
b) Falsch. Δs = 0 ist der Fall n = 0 der konstruktiven Bedingung Δs = n · λ — also maximale Verstärkung. Genau das ist der Normalfall auf der Mittelsenkrechten zwischen zwei gleichphasigen Quellen und der Grund, warum in der Schirmmitte das helle Hauptmaximum 0. Ordnung liegt. Für Auslöschung müsste Δs = (n + ½) · λ gelten.
c) Grenzfall: Vollständig ist die Auslöschung nur bei gleicher Amplitude beider Wellen. Sind die Amplituden verschieden, bleibt ein Rest übrig — es wird nur leiser bzw. dunkler, nicht still bzw. schwarz. Zusätzlich muss ein stabiles Muster überhaupt entstehen können, die Quellen also kohärent sein.
d) Gemeinsame Wurzel: Wellen werden wie Billardkugeln gedacht — als Dinge, die sich gegenseitig stoßen, verbrauchen und dabei Energie „loswerden" müssen. Wellen aber durchdringen einander: Sie addieren sich punktweise und laufen anschließend unverändert weiter.
Ein Gitter mit der Gitterkonstante g = 1,5 µm wird mit rotem Laserlicht der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet. Es gilt g · sin α = n · λ und die physikalische Schranke sin α ≤ 1.
e) Widerlegen Sie anschließend die beiden folgenden Aussagen: „Ein Gitter mit mehr Strichen pro Millimeter würde mehr Ordnungen zeigen." und „Ein größerer Schirmabstand würde zusätzliche Ordnungen sichtbar machen."
Lösung und Begründung anzeigen
a) sin α = n·λ/g = 1 · 600 nm ÷ 1500 nm = 0,40. Die 2. Ordnung läge bei sin α = 0,80.
b) n ≤ g/λ = 1500 ÷ 600 = 2,5 ⇒ n = 2. Eine 3. Ordnung ist unmöglich, weil sich sin α = 1,2 ergäbe.
c) g/λ = 1500 nm ÷ 450 nm = 3,33
d) n = 3 — mit blauem Licht sind an demselben Gitter mehr Ordnungen sichtbar.
e) Erste Aussage — falsch. Mehr Striche pro Millimeter bedeuten wegen g = 1 / (Striche pro Länge) eine kleinere Gitterkonstante. Ein kleineres g macht n·λ/g größer, der Sinus stößt also schneller an die Grenze 1. Ein feineres Gitter lenkt zwar stärker ab — es zeigt aber weniger Ordnungen, nicht mehr. Das ist der Grenzfall, der die Anschauung überrascht: „feiner" heißt nicht „mehr".
Zweite Aussage — falsch. In sin α = n · λ / g stehen nur n, λ und g. Der Schirmabstand kommt darin überhaupt nicht vor; er macht das Muster auf dem Schirm nur größer, ändert aber keinen einzigen Winkel und erzeugt keine zusätzliche Ordnung.
Kontrolle im Prüfstand: Stellen Sie in Phase 2 g = 1,5 µm und λ = 600 nm ein — der Prüfstand zeigt genau zwei Ordnungen und markiert die dritte als unmöglich. Schieben Sie λ dann auf 450 nm.
Ein Schüler bestimmt die Wellenlänge eines Lasers am Doppelspalt. Gemessen: Spaltabstand d = 0,50 mm, Schirmabstand L = 2,0 m, und vom 1. bis zum 11. Maximum sind es 24,0 mm. Sein Heft:
Zwischen dem 1. und dem 11. Streifen liegen 11 Streifen, also 11 Abstände.
Δx = 24,0 mm ÷ 11 = 2,18 mm
Umstellen von Δx = λ·L/d nach λ: λ = Δx · L / d
λ = 2,18 · 2,0 / 0,50 = 8,7
Ergebnis: λ = 8,7 nm.
a) Prüfen Sie zuerst nur das Ergebnis auf Plausibilität, ohne nachzurechnen: Was fällt an 8,7 nm auf?
b) Finden Sie drei voneinander unabhängige Fehler und geben Sie an, in welcher Zeile sie stecken.
c) Rechnen Sie die Aufgabe richtig.
d) Der Schüler verteidigt sich: „Die Lampe war eben zu dunkel." Beurteilen Sie diese Erklärung.
Lösung und Fehleranalyse anzeigen
a) Plausibilität: 8,7 nm ist für sichtbares Licht viel zu klein — sichtbares Licht liegt bei einigen hundert Nanometern (rund 400 nm bis 700 nm). Außerdem fehlt jede Einheitenrechnung: In Zeile Z4 werden Millimeter und Meter unverändert nebeneinander eingesetzt, das Ergebnis „8,7" hat gar keine Einheit — die Bezeichnung „nm" in Z5 ist frei erfunden.
b) Drei Fehler:
- Z1 — Zählfehler: Zwischen dem 1. und dem 11. Maximum liegen 10 Abstände, nicht 11. Man zählt die Lücken, nicht die Streifen.
- Z3 — falsch umgestellt: Aus Δx = λ · L / d folgt λ = Δx · d / L. Der Schüler hat d und L vertauscht.
- Z4 — Einheiten: mm und m dürfen nicht gemischt eingesetzt werden; alle Längen gehören in Meter (oder man rechnet konsequent in Millimetern und wandelt am Ende um).
c) Δx = 24,0 mm ÷ 10 = 2,40 mm. Dann λ = Δx · d / L = (2,40 · 10⁻³ m · 0,50 · 10⁻³ m) ÷ 2,0 m = 6,0 · 10⁻⁷ m = 600 nm — ein plausibler Wert für rotes Licht.
d) Die Erklärung trägt nicht. In Δx = λ · L / d kommt die Helligkeit der Quelle überhaupt nicht vor. Eine dunklere Lampe macht das Muster lichtschwächer, verschiebt aber keinen einzigen Streifen. Der Fehler steckt in der Auswertung, nicht im Aufbau. Merke: Zuerst prüfen, ob die gesuchte Größe in der Formel überhaupt auftaucht.
An einem Michelson-Interferometer wird der bewegliche Spiegel um Δd = 20 µm verschoben. An einer Zählmarke wandern dabei N = 80 Ringe durch.
d) Widerlegen Sie beide Teile der Behauptung: Woher kommt der Faktor 2 wirklich — und ändern der bewegte Spiegel bzw. der Detektorabstand etwas an N?
e) Bewerten Sie die Größenordnung: Der Spiegel wandert 20 µm — das ist weniger als der Durchmesser eines Haares. Warum ist das Verfahren trotzdem genauer als jeder Messschieber? Begründen Sie mit der Zahl der Ringe.
Lösung und Begründung anzeigen
a) Δs = 2 · Δd = 2 · 20 µm = 40 µm
b) λ = 2 · Δd / N = 40 µm ÷ 80 = 0,50 µm = 500 nm
c) Ein Ring entspricht λ/2 = 250 nm = 0,25 µm.
d) Erster Teil — der Faktor 2 ist kein Zählfehler. Jeder Teilstrahl läuft zu seinem Spiegel hin und wieder zurück. Verschiebt man den Spiegel um Δd, verlängert sich der Lichtweg zweimal um Δd, also Δs = 2 · Δd. Wer mit N = Δd/λ rechnet, erhält systematisch die Hälfte — genau die erwarteten 40 statt der gemessenen 80 Ringe. Der Aufbau hat richtig gezählt, die Erwartung war falsch.
Zweiter Teil — falsch. In N = 2 · Δd / λ stehen nur Δd und λ. Welcher der beiden Spiegel bewegt wird, ist gleichgültig — gemessen wird stets der Unterschied der beiden Armlängen; der feste Spiegel liefert nur den Vergleichsweg. Auch der Detektorabstand kommt in der Formel nicht vor.
e) Größenordnung. Die Messgröße ist nicht eine Länge, die man ablesen muss, sondern eine Anzahl: 80 Ringe. Ein einziger Zählschritt entspricht λ/2 = 250 nm, also einem Viertel-Mikrometer — eine Strecke, die kein Messschieber auflöst. Weil sich Ringe abzählen und nicht schätzen lassen, wird aus der groben Verschiebung eine sehr feine Messung: Das Interferometer misst Längen, die kleiner als eine Wellenlänge sind. Umgekehrt gilt aber auch: Jeder verzählte Ring geht direkt in λ ein — deshalb zählt man Hell-Dunkel-Wechsel an einer festen Zählmarke, nicht die im Bild sichtbaren Ringe.
Eine beidseitig fest eingespannte Saite der Länge L = 0,80 m trägt Wellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c = 240 m/s. Es gilt λ_n = 2L / n.
e) Widerlegen Sie beide Behauptungen. Erklären Sie bei der ersten, woher der Faktor 2 in λ_n = 2L/n kommt; benennen Sie bei der zweiten, was die Energie stattdessen tut und was man dann eigentlich hört.
f) Grenzfall: Ein Mitschüler wendet dieselbe Formel auf eine Orgelpfeife an, die an einem Ende offen ist. Beurteilen Sie, ob λ_n = 2L/n hier gelten darf.
Lösung und Begründung anzeigen
a) λ₁ = 2L/1 = 2 · 0,80 m = 1,6 m — also doppelt so lang wie die Saite, nicht gleich lang.
b) λ₄ = 2 · 0,80 m ÷ 4 = 0,40 m
c) n = 4 bedeutet 4 Bäuche und 5 Knoten (die beiden festen Enden mitgezählt).
d) f₁ = c / λ₁ = 240 m/s ÷ 1,6 m = 150 Hz. Zur Kontrolle: f₄ = 240 ÷ 0,40 = 600 Hz = 4 · f₁ — die Frequenz wächst proportional mit n, die Wellenlänge sinkt umgekehrt proportional.
e) Erste Behauptung — falsch. Beide Enden sind fest eingespannt und damit Knoten. Zwischen zwei benachbarten Knoten liegt genau eine halbe Wellenlänge. Die Grundschwingung zeigt also nur eine halbe Welle auf der Länge L: L = λ₁/2, folglich λ₁ = 2L. Genau daher stammt der Faktor 2 in λ_n = 2L/n. Wer λ = L/n rechnet, erhält durchweg die Hälfte der richtigen Werte.
Zweite Behauptung — falsch. Die stehende Welle transportiert keine Energie entlang der Saite; sie pendelt nur am Ort zwischen Bewegungs- und Spannungsenergie hin und her. An den Knoten ruht die Saite dauerhaft — durch eine dauerhaft ruhende Stelle kann nichts hindurchfließen. Man hört den Ton trotzdem, weil die schwingende Saite ihre Umgebung anregt und von dort eine laufende Schallwelle zum Ohr geht. Nebenbei: Die stehende Welle entsteht überhaupt erst dadurch, dass die hinlaufende Welle am Ende reflektiert wird und sich mit der rücklaufenden überlagert — ohne rücklaufende Welle gäbe es keine ortsfesten Knoten.
f) Grenzfall — nein. λ_n = 2L/n gilt nur, wenn beide Enden Knoten sind. Am offenen Ende liegt aber ein Bauch; die Randbedingung ist eine andere, und die Formel darf dort nicht angewendet werden. Genauso wenig darf man c der Saite mit der Schallgeschwindigkeit in Luft verwechseln: Hier sind 240 m/s die Geschwindigkeit auf der Saite.
Von derselben harmonischen Welle liegen zwei Diagramme vor. Im ersten steht auf der waagerechten Achse der Ort in Metern, der Abstand zweier Berge beträgt 3,0 m. Im zweiten steht auf der waagerechten Achse die Zeit in Sekunden, der Abstand zweier Berge beträgt 0,25 s. Ein Schüler notiert:
Beide Bilder sehen gleich aus, also ist es zweimal dasselbe. Ich nehme den größeren Wert als Wellenlänge.
c = λ · T = 3,0 · 0,25 = 0,75
Ergebnis: c = 0,75 m/s. Die Welle ist also sehr langsam — sie hat ja auch nur eine kleine Amplitude.
d) Beurteilen Sie jede der drei Heftzeilen einzeln und geben Sie jeweils an, wie man den Fehler ohne Taschenrechner hätte bemerken können.
e) Die Welle läuft in ein anderes Medium über, in dem sie schneller ist. Begründen Sie, welche der drei Größen λ, f und c dabei unverändert bleibt — und warum die anderen beiden sich ändern müssen.
Lösung und Beurteilung anzeigen
a) c = λ/T = 3,0 m ÷ 0,25 s = 12 m/s
b) f = 1/T = 1 ÷ 0,25 s = 4,0 Hz
c) λ′ = c′ / f = 36 m/s ÷ 4,0 Hz = 9,0 m — dreimal so groß, weil c dreimal so groß ist.
d) Zeile Z1 — falsch. Beide Kurven sehen aus wie ein Sinus; unterscheiden lassen sie sich allein an der waagerechten Achse. Die senkrechte Achse und damit die Amplitude ist in beiden Bildern dieselbe und verrät nichts über den Diagrammtyp. „Der größere Wert ist die Wellenlänge" ist keine Regel, sondern Raten — hier stehen 3,0 Meter gegen 0,25 Sekunden, das sind nicht einmal vergleichbare Größen.
Zeile Z2 — falsch. λ · T ergibt m · s, und das ist keine Geschwindigkeit. Die Einheitenprobe entlarvt den Fehler, bevor man rechnet: „Strecke pro Zeit" verlangt die Zeit im Nenner, also c = λ/T.
Zeile Z3 — falsch. Die Amplitude kommt in c = λ/T gar nicht vor. „Kräftiger heißt schneller" gilt für geworfene Steine, nicht für Wellen: Eine laute und eine leise Stimme erreichen den Zuhörer gleichzeitig, nur die Amplitude unterscheidet sich. Übrigens steht c in keinem der beiden Diagramme — sie entsteht erst, wenn man Orts- und Zeitinformation verknüpft.
e) Unverändert bleibt die Frequenz f (und damit T). Sie wird von der Quelle festgelegt: Pro Sekunde treffen im zweiten Medium genauso viele Berge ein, wie im ersten losgeschickt wurden — sonst müssten sich unterwegs Wellenberge stauen oder verschwinden. Bei Schall wäre eine geänderte Frequenz als anderer Ton hörbar, was beim Tauchen offensichtlich nicht passiert. Das Medium bestimmt dagegen c. Weil f fest ist und c = λ · f gilt, muss sich λ im selben Verhältnis wie c ändern: dreifache Geschwindigkeit, dreifache Wellenlänge.
In einem Protokoll steht: „Der Lichtstrahl trifft unter 25° zur Glasoberfläche auf die Grenzfläche Luft–Glas (n₁ = 1,0; n₂ = 1,5)."
d) Widerlegen Sie den ersten Teil der Behauptung. Nennen Sie das eine Merkmal, an dem sich Reflexion, Brechung und Beugung sicher unterscheiden lassen.
e) Widerlegen Sie den zweiten Teil und erklären Sie damit, warum man um eine Hausecke hören, aber nicht sehen kann.
f) Grenzfalltest: Prüfen Sie Ihre Winkelwahl mit dem Fall „Strahl trifft senkrecht auf die Fläche". Was liefert die Messung zum Lot, was die Messung zur Fläche?
Lösung und Begründung anzeigen
a) α = 90° − 25° = 65° (zum Lot).
b) sin β = n₁ · sin α / n₂ = (1,0 · sin 65°) ÷ 1,5 = 0,9063 ÷ 1,5 = 0,604
c) β = arcsin(0,604) ≈ 37,2° — kleiner als α, der Strahl knickt also zum Lot hin. Genau das muss beim Übergang ins optisch dichtere Medium herauskommen; käme ein größerer Winkel heraus, hätte man n₁ und n₂ vertauscht.
Zwei typische Stolperstellen: Wer die 25° ungeprüft als Einfallswinkel übernimmt, rechnet mit einem um 40° falschen Wert. Und wer 0,604 als Winkel notiert, hat den Arkussinus vergessen — 0,604 ist ein Sinuswert, keine Gradangabe.
d) Falsch — das ist Brechung, keine Beugung. „Der Strahl knickt ab" ist kein Unterscheidungsmerkmal, denn das tun beide. Entscheidend ist das Medium: Bei der Reflexion bleibt die Welle im alten Medium und kehrt um (α = α′). Bei der Brechung wechselt sie das Medium, ändert dabei ihre Geschwindigkeit und deshalb ihre Richtung. Bei der Beugung bleibt sie im selben Medium und läuft an einem Hindernis oder einer Öffnung in den geometrischen Schattenraum hinein. Hier liegt ein Übergang Luft → Glas vor, also Brechung.
e) Falsch — größer heißt schwächer. Die Stärke der Beugung hängt nicht von der Spaltbreite b allein ab, sondern vom Verhältnis b/λ: Am stärksten wird gebeugt, wenn die Öffnung ungefähr so groß ist wie die Wellenlänge. Ein größerer Spalt macht b/λ größer und die Beugung damit schwächer. Genau das erklärt den Alltagsbefund: Schall hat Wellenlängen im Meterbereich, eine Türöffnung oder Hausecke liegt in derselben Größenordnung — man hört um die Ecke. Licht hat Wellenlängen von einigen hundert Nanometern; gegen eine Hausecke ist das riesig klein, die Beugung fällt praktisch weg — man sieht nicht um die Ecke. Nebenbei ist die Beugung am Spalt die Voraussetzung dafür, dass hinter Doppelspalt und Gitter überhaupt Interferenz entstehen kann.
f) Grenzfalltest: Trifft der Strahl senkrecht auf die Grenzfläche, verläuft er entlang des Lots, wird nicht abgelenkt, und man erwartet α = 0°. Zum Lot gemessen kommt genau 0° heraus — richtig. Zur Fläche gemessen käme 90° heraus, und mit sin 90° = 1 ergäbe sich eine maximale Ablenkung, obwohl gar nichts abgelenkt wird. Der Grenzfall zeigt also sofort, welcher Bezug der richtige ist.
Auf einer harmonischen Welle mit λ = 4,0 m liegen zwei Punkte A und B im Abstand Δx = 10,0 m. Es gilt Δφ = 2π · Δx / λ bzw. in Grad Δφ = 360° · Δx / λ und k = 2π / λ.
d) Beurteilen Sie alle drei Behauptungen. Erklären Sie bei der ersten, warum die Zahl 900° zwar richtig gerechnet, als Beurteilung der Schwingungslage aber wertlos ist.
e) Zwei Zeiger stellen A und B dar. Beschreiben Sie, wie die beiden Zeiger zueinander stehen, und übertragen Sie das Ergebnis auf die Interferenz: Was bedeutet dieser Zustand für zwei gleich starke Wellen, die an einem Punkt zusammentreffen?
f) Grenzfall: Für welche Abstände Δx schwingen A und B gleichphasig? Geben Sie eine allgemeine Bedingung an.
Lösung und Beurteilung anzeigen
a) Δx/λ = 10,0 m ÷ 4,0 m = 2,5
b) 2,5 λ = 2 volle Wellenlängen + ½ λ. Die vollen Wellenlängen entsprechen 720° und ändern nichts; es bleiben 180° — die Punkte schwingen gegenphasig.
c) k = 2π/λ = 6,283 ÷ 4,0 ≈ 1,57 1/m
d) Erste Behauptung: 360° · 2,5 = 900° ist rechnerisch korrekt, als Beurteilung aber wertlos. Nach jeder vollen Wellenlänge steht der Zeiger wieder genau so wie vorher; 900° und 180° beschreiben dieselbe Schwingungslage. Nach Abzug der Umläufe ist die Phasendifferenz nie größer als 360°. Wer allein auf die Meterzahl schaut, schließt aus „viel Abstand" fälschlich auf „viel Phasendifferenz" — maßgeblich ist immer das Verhältnis Δx/λ.
Zweite Behauptung — falsch. λ und 2π sind vertauscht: 4,0 ÷ 6,283 = 0,64 Meter. Schon die Einheit entlarvt den Fehler — das wäre eine Länge und keine Wellenzahl. Die Wellenzahl misst „Phase pro Meter", ihre Einheit ist 1/m: k = 2π/λ ≈ 1,57 1/m. (Ebenso lohnt der Blick auf den Rechnermodus: 180° und π ≈ 3,14 rad sind dieselbe Phasendifferenz in zwei Schreibweisen.)
Dritte Behauptung — falsch. Der Abstand entscheidet nicht darüber, ob ein Zusammenhang besteht, sondern nur darüber, welche Phasenlage die beiden Punkte zueinander haben. Beide gehören zu ein und derselben Welle; ihre Phasenbeziehung ist über Δφ = 2π·Δx/λ exakt festgelegt.
e) Zeigerbild: Die beiden Zeiger stehen einander genau entgegengesetzt — sie schließen 180° ein. Übertragen auf die Interferenz heißt das: Treffen zwei gleich starke Wellen mit dieser Phasenlage zusammen, addieren sich ihre Auslenkungen punktweise zu null — destruktive Interferenz. Der halbzahlige Rest ½ λ ist genau die Bedingung Δs = (n + ½) · λ.
f) Gleichphasig sind A und B, wenn der Abstand ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist: Δx = n · λ mit n = 0, 1, 2, … — bei λ = 4,0 m also 4,0 m, 8,0 m, 12,0 m usw. Dann ist Δφ = n · 360°, und nach Abzug der Umläufe bleibt 0°.
Die Wellenlänge eines Laserpointers soll im Praktikum bestimmt werden. Zur Verfügung stehen ein Gitter mit 500 Strichen pro Millimeter, ein Doppelspalt mit d = 0,20 mm, ein Maßband, ein Winkelmesser und ein Schirm. Ein Kurs schlägt vor:
Wir stellen zwei Taschenlampen vor die beiden Spalte des Doppelspalts, damit es hell genug wird.
Wir messen die Breite eines einzigen hellen Streifens mit dem Lineal.
Wir werten die 3. Ordnung aus, weil sie am weitesten außen liegt und man da am genauesten messen kann.
Den Schirmabstand schätzen wir, der geht ja sowieso nicht in die Formel ein.
a) Beurteilen Sie jeden der vier Vorschläge einzeln: Welcher ist unbrauchbar, welcher nur ungenau, welcher schlicht falsch begründet?
b) Entwerfen Sie einen tragfähigen Messplan mit dem Gitter. Geben Sie an: welche Größen Sie messen, mit welcher Formel Sie auswerten, und welche zwei Maßnahmen den Messfehler klein halten.
c) Begründen Sie Ihre Wahl des Bauteils: Warum liefert das Gitter eine genauere Wellenlänge als der Doppelspalt, obwohl dieselbe Bedingung gilt?
d) Grenzen des Plans: Welche Ordnungen sind mit diesem Gitter überhaupt erreichbar? Und was passiert, wenn Sie statt des Lasers eine weiße Lampe verwenden?
Musterlösung anzeigen (zählt als erledigt)
a) Vorschlag 1 — unbrauchbar. Zwei getrennte Taschenlampen liefern kein Interferenzmuster: Sie haben keine feste Phasenbeziehung, sind also nicht kohärent. Das Muster springt und mittelt sich zu gleichmäßiger Helligkeit weg. Beide Spalte müssen vom selben Licht beleuchtet werden — der Laser leistet genau das.
Vorschlag 2 — ungenau. Gemessen wird nicht die Breite eines Streifens, sondern der Abstand benachbarter Maxima. Und eine einzelne Messung ist die schlechteste: Misst man über zehn Abstände und teilt durch zehn, wird der Ablesefehler zehnmal kleiner. Vorsicht beim Zählen — zwischen dem 1. und dem 11. Maximum liegen 10 Abstände, nicht 11.
Vorschlag 3 — falsch begründet. Eine hohe Ordnung liegt zwar weiter außen, ist aber lichtschwächer, und beim Gitter überlappen sich die Spektren höherer Ordnungen. Man wertet deshalb üblicherweise die 1. Ordnung aus. Der Gedanke „weiter außen = genauer" ist nicht grundsätzlich falsch, taugt hier aber nicht als Begründung.
Vorschlag 4 — falsch. In g · sin α = n · λ kommt der Schirmabstand tatsächlich nicht vor — wenn man den Winkel direkt misst. Bestimmt man α aber wie üblich aus dem Abstand der Maxima auf dem Schirm, geht L sehr wohl ein und muss sorgfältig gemessen werden. Beim Doppelspalt steht L in Δx = λ · L / d sogar ausdrücklich.
b) Tragfähiger Messplan (Gitter):
- Gitterkonstante bestimmen: g = 1/500 mm = 2,0 · 10⁻⁶ m = 2,0 µm. Das ist eine Gerätekonstante, keine Messgröße.
- Aufbau: Laser senkrecht auf das Gitter, Schirm parallel dazu in großem, gemessenem Abstand L.
- Messen: Abstand der beiden Maxima 1. Ordnung links und rechts von der Mitte; dieser Wert halbiert ergibt den Abstand zur Mitte. Daraus den Winkel α bestimmen (oder α direkt mit dem Winkelmesser abgreifen).
- Auswerten: λ = g · sin α / n mit n = 1. Taschenrechner im Gradmodus (DEG); alle Längen in Meter.
- Kontrolle: Rechnung mit der 2. Ordnung wiederholen — beide Werte müssen dasselbe λ liefern.
Zwei fehlermindernde Maßnahmen: (1) Großer Schirmabstand und Messung über die symmetrische Doppelstrecke von links nach rechts — die Mitte des Musters muss dann nicht geraten werden. (2) Über mehrere Ordnungen bzw. mehrere Abstände messen und mitteln, statt eine einzelne Strecke abzulesen.
c) Warum das Gitter genauer ist. Die Bedingung ist dieselbe wie beim Doppelspalt — der Ort der Maxima ändert sich nicht. Was sich ändert, ist ihre Form: Bei vielen Spalten verstärken sich die Wellen nur dann alle, wenn die Bedingung exakt erfüllt ist; schon eine winzige Abweichung führt zur Auslöschung. Aus den breiten Streifen des Doppelspalts werden scharfe, hellere Linien, deren Mitte man viel genauer anpeilen kann. Kurz: N bestimmt, wie scharf; g bestimmt, wo. Dazu kommt, dass g = 2,0 µm viel kleiner ist als d = 0,20 mm, die Maxima also weiter auseinanderliegen — auch das verkleinert den relativen Ablesefehler.
d) Grenzen. Wegen sin α ≤ 1 gilt n ≤ g/λ. Mit g = 2,0 µm und rotem Licht von etwa 0,63 µm sind das rund 3 Ordnungen — mehr gibt dieses Gitter nicht her, gleich wie gut der Aufbau ist. Mit einer weißen Lampe erscheint in der Mitte (n = 0) ein weißes, unzerlegtes Maximum, denn dort ist der Gangunterschied für alle Farben null; nach außen fächert das Licht in Spektren auf, wobei rotes Licht weiter außen liegt als blaues. Eine einzelne Wellenlänge lässt sich so nicht mehr sauber bestimmen — man misst dann ein ganzes Spektrum.
Prüfstand — wie viele Ordnungen sind möglich?
Der Prüfstand macht die Schranke sin α ≤ 1 sichtbar. Stellen Sie Gitterkonstante g und Wellenlänge λ ein: Der Fächer zeigt alle Hauptmaxima, die es unter g · sin α = n · λ wirklich gibt — und markiert die erste Ordnung, die jenseits der 90°-Grenze liegt und deshalb nicht existiert. Damit lässt sich A3 nachprüfen und die Behauptung „ein feineres Gitter zeigt mehr" selbst widerlegen.
Gitter-Prüfstand
Ziehen Sie die beiden Griffe mit der Maus — oder setzen Sie den Fokus mit Tab auf einen Griff und ändern Sie den Wert mit ← → (großer Schritt: Bild↑ Bild↓, Randwerte: Pos1 Ende). Enter oder Leertaste springt zum nächsten ganzzahligen Wert.
| Ordnung n | sin α = n · λ / g | Winkel α | Beurteilung |
|---|
Der Prüfstand zeigt nur die Lage der Hauptmaxima. Wie scharf sie sind, hängt von der Zahl der beleuchteten Spalte ab: N bestimmt, wie scharf — g bestimmt, wo. Der Schirmabstand kommt in sin α = n · λ / g nicht vor und erzeugt darum keine zusätzliche Ordnung.
Reflexion — was AFB III von Ihnen verlangt
Auf dieser Stufe zählt nicht die Zahl, sondern das Urteil über die Zahl. Sie haben geübt:
- Beweiskraft prüfen — eine wahre Aussage ist noch kein Beweis. Nur was longitudinale Wellen ausschließt, stützt „Licht ist transversal" (A1).
- Behauptungen widerlegen — Energie wird bei destruktiver Interferenz umverteilt, nicht vernichtet; stehende Wellen transportieren nichts (A2, A6).
- Grenzfälle testen — sin α ≤ 1 begrenzt die Ordnungen; λ_n = 2L/n gilt nur bei zwei festen Enden; α = 0° entlarvt den falschen Winkelbezug (A3, A6, A8).
- Fremde Lösungen prüfen — erst Größenordnung, dann Einheiten, dann Formel, zuletzt die Zahlen (A4, A5, A7).
- Verhältnisse statt Absolutwerte — Δx/λ statt Meter, b/λ statt Spaltbreite, g/λ statt Strichzahl (A8, A9).
- Messpläne bewerten — Kohärenz als Voraussetzung, viele Abstände statt eines, und nur Größen messen, die in der Formel vorkommen (A10).
Prüfen Sie jedes Ergebnis mit einer Einheitenprobe und einem Grenzfall. In der Klausur zählt die tragfähige Begründung ebenso viel wie der Zahlenwert — und ein Antwortsatz mit Einheit gehört immer dazu.