Eine Welle auf dem Seil
AFB IIIn einem Praktikum wird an einem langen, gespannten Gummiseil eine harmonische Welle erzeugt. Eine Kamera nimmt das gesamte Seil zur Zeit \(t = 0\) auf; gleichzeitig zeichnet ein Sensor die Auslenkung des Seilpunktes bei \(x = 0\) über der Zeit auf. Beide Aufzeichnungen sind in Material M1 dargestellt.
Beide Diagramme gehören zu derselben Seilwelle. Beachten Sie die Beschriftung der waagerechten Achse.
- Geben Sie an, welches der beiden Diagramme die Wellenlänge und welches die Schwingungsdauer liefert, und bestimmen Sie beide Werte sowie die Amplitude \(\hat{y}\) aus M1.
- Berechnen Sie die Frequenz \(f\) und die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) der Welle.
- Die Welle läuft in positive \(x\)-Richtung. Bestimmen Sie, um welche Strecke sich ein Wellenberg in \(0{,}10\ \mathrm{s}\) weiterbewegt, und begründen Sie, welche Auslenkung der Seilpunkt bei \(x = 0{,}20\ \mathrm{m}\) zur Zeit \(t = 0\) hat.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Momentaufnahme (linkes Diagramm) zeigt die Auslenkung über dem Ort; aus ihr liest man die Wellenlänge ab. Das Oszillogramm (rechtes Diagramm) zeigt die Auslenkung eines einzelnen Punktes über der Zeit; aus ihm liest man die Schwingungsdauer ab.
Ablesungen: \(\lambda = 0{,}80\ \mathrm{m}\) (Abstand zweier aufeinanderfolgender Wellenberge), \(T = 0{,}40\ \mathrm{s}\) (Abstand zweier aufeinanderfolgender Maxima im Oszillogramm), \(\hat{y} = 3{,}0\ \mathrm{cm} = 0{,}030\ \mathrm{m}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(f = \dfrac{1}{T}\).
\(f = \dfrac{1}{0{,}40\ \mathrm{s}} = 2{,}5\ \mathrm{Hz}\).
Ansatz: \(c = \lambda\cdot f\).
\(c = 0{,}80\ \mathrm{m}\cdot 2{,}5\ \mathrm{Hz} = 2{,}0\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).
Kontrolle über \(c = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{0{,}80\ \mathrm{m}}{0{,}40\ \mathrm{s}} = 2{,}0\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) — dasselbe Ergebnis.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(s = c\cdot t\).
\(s = 2{,}0\ \mathrm{\frac{m}{s}} \cdot 0{,}10\ \mathrm{s} = 0{,}20\ \mathrm{m}\).
Das ist genau \(\dfrac{\lambda}{4}\); die Zeit \(0{,}10\ \mathrm{s}\) ist entsprechend \(\dfrac{T}{4}\). In einer Viertelperiode wandert die Welle also um eine Viertelwellenlänge weiter — das gilt allgemein, weil \(c=\dfrac{\lambda}{T}\) ist.
Auslenkung bei \(x = 0{,}20\ \mathrm{m}\): Diese Stelle liegt bei \(\dfrac{\lambda}{4}\) hinter dem Nulldurchgang im Ursprung. Nach einer Viertelwellenlänge ist die Sinuskurve gerade bei ihrem Maximum angekommen. Die Momentaufnahme zeigt dort folglich den Scheitel eines Wellenbergs: \(y = +\hat{y} = 3{,}0\ \mathrm{cm}\).
Videoanalyse einer Wasserwelle
AFB IIIEin Kurs filmt eine gleichmäßig laufende Welle in einer langen Wellenwanne mit 50 Bildern pro Sekunde. In der Videoanalyse wird ein einzelner Wellenberg markiert und seine Position \(x\) zu verschiedenen Zeiten ausgelesen (Material M1). Aus einem Standbild mit eingeblendetem Maßstab wird zusätzlich der Abstand zweier benachbarter Wellenberge zu \(\lambda = 0{,}16\ \mathrm{m}\) bestimmt.
| \(t\) in s | 0,00 | 0,50 | 1,00 | 1,50 | 2,00 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x\) in m | 0,00 | 0,32 | 0,63 | 0,96 | 1,28 |
Der Messfehler jeder Einzelposition wird auf etwa ±1 cm geschätzt.
- Weisen Sie anhand der Messwerte nach, dass sich der Wellenberg mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, und bestimmen Sie \(c\).
- Berechnen Sie daraus die Frequenz und die Schwingungsdauer der Welle und geben Sie an, wie viele Videobilder auf eine volle Schwingung entfallen.
- Ein Kursmitglied schlägt vor, die Frequenz stattdessen direkt zu messen, indem im Video abgezählt wird, wie oft ein Korken in 10 s auf und ab schwingt. Beurteilen Sie beide Verfahren im Hinblick auf ihre Messunsicherheit und entscheiden Sie sich begründet für eines.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Quotienten der aufeinanderfolgenden Intervalle (jeweils \(\Delta t = 0{,}50\ \mathrm{s}\)):
\(\dfrac{0{,}32}{0{,}50} = 0{,}64\); \(\dfrac{0{,}31}{0{,}50} = 0{,}62\); \(\dfrac{0{,}33}{0{,}50} = 0{,}66\); \(\dfrac{0{,}32}{0{,}50} = 0{,}64\) (alle in \(\mathrm{\frac{m}{s}}\)).
Die Werte schwanken nur um etwa ±3 % um denselben Mittelwert. Bei einer Unsicherheit von ±1 cm je Position ergibt sich für jedes 0,5-s-Intervall bereits eine Unsicherheit von rund \(\pm 0{,}04\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) — die Abweichungen liegen also vollständig im Rahmen der Messgenauigkeit. Die Bewegung ist damit als gleichförmig anzusehen.
Bestes Ergebnis über das gesamte Intervall:
\(c = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{1{,}28\ \mathrm{m}}{2{,}00\ \mathrm{s}} = 0{,}64\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(c = \lambda f \Rightarrow f = \dfrac{c}{\lambda}\).
\(f = \dfrac{0{,}64\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{0{,}16\ \mathrm{m}} = 4{,}0\ \mathrm{Hz}\).
\(T = \dfrac{1}{f} = 0{,}25\ \mathrm{s}\).
Bei 50 Bildern pro Sekunde entfallen auf eine volle Schwingung
\(n = 50\ \dfrac{1}{\mathrm{s}} \cdot 0{,}25\ \mathrm{s} = 12{,}5\) Bilder.
Eine Periode wird also von etwa 12 bis 13 Einzelbildern erfasst — genug, um die Auf- und Abbewegung im Video sicher zu verfolgen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Verfahren 1 (Weg-Zeit-Messung, wie in a/b): Über die volle Strecke von 1,28 m wirkt sich die Positionsunsicherheit von ±1 cm an Anfang und Ende mit zusammen höchstens ±2 cm aus. Das sind relativ nur etwa 1,6 %. Der Zeitfehler ist bei 50 fps vernachlässigbar. Allerdings überträgt sich zusätzlich die Unsicherheit von \(\lambda\) auf \(f\), da die Frequenz hier nur indirekt berechnet wird.
Verfahren 2 (Schwingungen abzählen): In 10 s zählt man etwa 40 Schwingungen. Da man Anfang und Ende der Zählung jeweils nur auf etwa eine halbe Schwingung genau festlegen kann, beträgt der Fehler rund ±1 von 40 Schwingungen, also etwa ±2,5 %. Dafür wird die Frequenz direkt gemessen, ohne den Umweg über \(\lambda\).
Entscheidung: Ich entscheide mich für Verfahren 1 in Verbindung mit einer Verlängerung der Messstrecke. Es hat schon jetzt die kleinere relative Unsicherheit, und diese lässt sich weiter senken, indem man den Wellenberg über eine noch längere Strecke bzw. Zeit verfolgt — der absolute Positionsfehler bleibt dabei gleich, der relative sinkt. Beim Abzählverfahren sinkt der Fehler ebenfalls mit längerer Zählzeit, doch verliert man dabei leicht den Überblick über den einzelnen Korken.
Am überzeugendsten ist es, beide Verfahren durchzuführen: Stimmen die Ergebnisse für \(f\) überein, so bestätigt das zugleich die Beziehung \(c=\lambda f\) und schließt systematische Fehler bei der Bestimmung von \(\lambda\) weitgehend aus.