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01
Kenngrößen
Ruhelage
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Definition
Die Mittellage, in der der Körper ohne Störung verharren würde. Zu ihr wird der schwingende Körper immer wieder zurückgetrieben.Die Lage der Ruhelage bleibt während der ganzen Schwingung gleich.
02
Kenngrößen
Auslenkung (Elongation) y
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Definition
Der momentane Abstand von der Ruhelage — mal positiv, mal negativ.\(y\) ändert sich ständig, ebenso Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung.
03
Kenngrößen
Umkehrpunkte
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Definition
Die Stellen größter Auslenkung. Dort bleibt der Körper kurz stehen und kehrt um.Der Gesamthub von Umkehrpunkt zu Umkehrpunkt beträgt \(2\hat{y}\).
04
Kenngrößen
Amplitude \(\hat{y}\)
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Definition
Die größte Auslenkung aus der Ruhelage (Einheit m oder cm) — gemessen nur von der Ruhelage bis zum Umkehrpunkt, nicht von unten nach oben.Häufiger Fehler: Umkehrpunkt zu Umkehrpunkt ist \(2\hat{y}\).
05
Kenngrößen
Periodendauer T und Frequenz f
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Antwort
\(f=\dfrac{1}{T}\qquad T=\dfrac{1}{f}\)T: Zeit für eine volle Schwingung (s). f: Schwingungen pro Sekunde, \(1\,\mathrm{Hz}=\tfrac{1}{\mathrm s}\). Beispiel: \(T=0{,}5\,\mathrm s \Rightarrow f=2\,\mathrm{Hz}\).
06
Harmonische Schwingung
Zeit-Ort-Funktion
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Antwort
\(y(t)=\hat{y}\cdot\sin(\omega\,t)\)Gilt für den Start in der Ruhelage. \(\hat{y}\): Amplitude, \(\omega\): Kreisfrequenz, t: Zeit.
07
Harmonische Schwingung
Kreisfrequenz \(\omega\)
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Antwort
\(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\)Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm s}\) bzw. rad/s. \(\omega\) und f sind nicht dasselbe — dazwischen liegt der Faktor \(2\pi\).
08
Harmonische Schwingung
Lineares Kraftgesetz
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Antwort
\(F=-D\cdot y\)D: Richtgröße (Federhärte). Das Minuszeichen zeigt: die Kraft ist entgegen der Auslenkung, also stets zur Ruhelage hin gerichtet.
09
Harmonische Schwingung
Wann ist eine Schwingung harmonisch?
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Definition
Genau dann, wenn das t-y-Diagramm eine reine Sinuskurve ist — gleichbedeutend damit, dass die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist und stets zur Ruhelage zeigt.Beide Beschreibungen sind äquivalent: \(F=-D\,y \Leftrightarrow y(t)=\hat{y}\sin(\omega t)\).
10
Harmonische Schwingung
Bogenmaß (RAD)
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Merksatz
Bei \(\sin(\omega t)\) muss der Taschenrechner im Bogenmaß (RAD) stehen, nicht im Gradmaß.Beispiel: \(\hat{y}=5{,}0\,\mathrm{cm}\), \(T=2{,}0\,\mathrm s\), \(t=0{,}5\,\mathrm s\Rightarrow\omega=\pi\,\tfrac1{\mathrm s}\), \(y=5{,}0\cdot\sin(\tfrac{\pi}{2})=5{,}0\,\mathrm{cm}\).
11
Zeigerformalismus
Zeiger
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Definition
Ein Pfeil der Länge \(\hat{y}\), der sich gleichmäßig im Kreis dreht.Die Zeigerlänge ist immer die Amplitude der Schwingung.
12
Zeigerformalismus
Phasenwinkel \(\varphi\)
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Antwort
\(\varphi=\omega\,t\)Der Drehwinkel des Zeigers, im Bogenmaß. Ein voller Umlauf entspricht \(\varphi=2\pi\) (360°).
13
Zeigerformalismus
Projektion
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Definition
Die senkrechte Projektion der Zeigerspitze auf die y-Achse ist genau die momentane Auslenkung der Schwingung.Sie zeichnet Punkt für Punkt die Sinuskurve.
14
Zeigerformalismus
Auslenkung aus dem Zeiger
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Antwort
\(y=\hat{y}\cdot\sin\varphi=\hat{y}\cdot\sin(\omega t)\)Beispiel: \(\hat{y}=4{,}0\,\mathrm{cm}\), \(\varphi=30^\circ\Rightarrow y=4{,}0\cdot0{,}5=2{,}0\,\mathrm{cm}\).
15
Zeigerformalismus
Gleichmäßige Drehung — ungleichmäßige Projektion
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Merksatz
Der Zeiger dreht sich gleichmäßig, seine Projektion bewegt sich jedoch ungleichförmig — und genau das ergibt den Sinus.In der Ruhelage ist die Projektion am schnellsten, an den Umkehrpunkten steht sie still.
16
Feder-Masse-Pendel
Schwingungsdauer des Feder-Masse-Pendels
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Antwort
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\)m in kg, D in N/m, dann kommt T in Sekunden heraus. Reihenfolge: erst \(m/D\), dann die Wurzel, dann \(\cdot\,2\pi\).
17
Feder-Masse-Pendel
Abhängigkeiten beim Federpendel
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Antwort
Größere Masse → größeres T (träger, schwingt langsamer).
Härtere Feder, großes D → kleineres T (stärkerer Rücktrieb, schwingt schneller).Beispiel: \(m=0{,}20\,\mathrm{kg}\), \(D=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) \(\Rightarrow T=2\pi\cdot0{,}10=0{,}63\,\mathrm s\).
Härtere Feder, großes D → kleineres T (stärkerer Rücktrieb, schwingt schneller).Beispiel: \(m=0{,}20\,\mathrm{kg}\), \(D=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\) \(\Rightarrow T=2\pi\cdot0{,}10=0{,}63\,\mathrm s\).
18
Feder-Masse-Pendel
Rolle der Amplitude
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Antwort
Die Amplitude kommt in \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) nicht vor: Ob klein oder groß ausgelenkt — die Schwingungsdauer bleibt gleich.Häufiger Fehler: „größere Auslenkung → längere Schwingungsdauer“. Falsch.
19
Feder-Masse-Pendel
Federhärte D (Richtgröße)
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Definition
Die Größe, die angibt, wie stark eine Feder zurücktreibt — Einheit N/m. Sie steht im Kraftgesetz \(F=-D\cdot y\) und im Nenner von \(T=2\pi\sqrt{m/D}\).Auch Federkonstante genannt. Großes D bedeutet eine straffe Feder.
20
Feder-Masse-Pendel
Vierfache Masse
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Antwort
Vervierfacht man m, so verdoppelt sich T — wegen der Wurzel: \(\sqrt{4}=2\).D bleibt dabei unverändert.
21
Fadenpendel
Schwingungsdauer des Fadenpendels
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Antwort
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)l: Pendellänge (m), \(g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\). Vervierfacht man l, verdoppelt sich T.
22
Fadenpendel
Warum fehlt die Masse?
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Antwort
In \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) kommt die Masse nicht vor: Ein schwerer und ein leichter Körper an gleich langem Faden schwingen exakt gleich schnell.Häufiger Fehler: die Masse trotzdem einsetzen — oder beim Federpendel g verwenden.
23
Fadenpendel
Bedingung: kleine Winkel
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Merksatz
Die Formel gilt nur für kleine Auslenkungen bis etwa 10°. Dann spielt auch die Amplitude für T praktisch keine Rolle.Ob 5° oder 10° ausgelenkt — die Schwingungsdauer bleibt praktisch gleich.
24
Fadenpendel
Sekundenpendel
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Antwort
\(l=1{,}0\,\mathrm m\Rightarrow T=2{,}0\,\mathrm s\)\(T=2\pi\sqrt{\tfrac{1{,}0}{9{,}81}}=2\pi\cdot0{,}319=2{,}0\,\mathrm s\) — ein 1-m-Pendel braucht rund 2 s.
25
Fadenpendel
g aus dem Pendel bestimmen
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Antwort
Aus gemessenem T und bekannter Länge l lässt sich g berechnen — dazu \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) nach g umstellen:\(g=\dfrac{4\pi^{2}\,l}{T^{2}}\)Messtrick: nicht eine Periode stoppen, sondern 20 Perioden und durch 20 teilen.
26
Schwingkreis
Thomson-Gleichung
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Antwort
\(T=2\pi\sqrt{L\,C}\)L: Induktivität in Henry (H), C: Kapazität in Farad (F). Reihenfolge: erst \(L\cdot C\), dann die Wurzel, dann \(\cdot\,2\pi\).
27
Schwingkreis
Wie pendelt die Energie?
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Antwort
Der geladene Kondensator entlädt sich über die Spule; die Energie pendelt zwischen dem elektrischen Feld (C) und dem magnetischen Feld (L).Kondensator voll geladen: ganze Energie im E-Feld, Strom null. Strom maximal: ganze Energie im B-Feld, Kondensator leer.
28
Schwingkreis
L und C
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Definition
L ist die Induktivität der Spule, C die Kapazität des Kondensators. Beide zusammen legen über die Thomson-Gleichung die Schwingungsdauer fest.Auch wenn sich nichts sichtbar bewegt: Ladung und Strom schwingen.
29
Schwingkreis
mH und µF umrechnen
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Antwort
\(1\,\mathrm{mH}=10^{-3}\,\mathrm H\qquad 1\,\mathrm{\mu F}=10^{-6}\,\mathrm F\)Beispiel: \(L=10\,\mathrm{mH}=0{,}010\,\mathrm H\), \(C=1{,}0\,\mathrm{\mu F}\Rightarrow T=2\pi\cdot10^{-4}\,\mathrm s=0{,}63\,\mathrm{ms}\), \(f\approx1{,}6\,\mathrm{kHz}\).
30
Schwingkreis
Analogie zur Mechanik
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Antwort
Masse m \(\leftrightarrow\) Induktivität L (Trägheit)
Federhärte D \(\leftrightarrow\) Kehrwert \(1/C\) (Rücktrieb)
Auslenkung y \(\leftrightarrow\) Ladung q (Zustandsgröße)Allgemeiner Bauplan: T = 2π · √(Trägheit / Rücktrieb) — daher \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) und \(T=2\pi\sqrt{LC}\).
Federhärte D \(\leftrightarrow\) Kehrwert \(1/C\) (Rücktrieb)
Auslenkung y \(\leftrightarrow\) Ladung q (Zustandsgröße)Allgemeiner Bauplan: T = 2π · √(Trägheit / Rücktrieb) — daher \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) und \(T=2\pi\sqrt{LC}\).
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Tipp zum Lernen
Arbeiten Sie in zwei Runden: Gehen Sie zuerst die drei Kategorien aus 4.1 durch (Kenngrößen, harmonische Schwingung, Zeigerformalismus), danach die drei schwingenden Systeme aus 4.2. Markieren Sie nur das mit „kann ich“, was Sie ohne Hinsehen erklären können; alles andere kommt mit „nochmal“ auf den Wiederholungsstapel. Achten Sie besonders auf die drei Wurzelformeln — sie folgen alle dem Bauplan T = 2π · √(Trägheit / Rücktrieb). Ihr Fortschritt wird im Browser gespeichert.