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Erklärung — die Schwingungsdauer des Fadenpendels
Die Schwingungsdauer
Beim Fadenpendel treibt ein Teil der Gewichtskraft die Kugel zurück. Für kleine Winkel führt das auf die Formel des Federpendels (4.2.1):
Herleitung:
- Rückstellkraft:die Komponente der Gewichtskraft längs der Bahn: \(F=-m\,g\cdot\sin\alpha\)
- Kleine Winkel:\(\sin\alpha\approx\alpha=\dfrac{s}{l}\) (Bogenmaß, Bogen \(s\))
\(F=-\dfrac{m\,g}{l}\cdot s\)
| \(D\) ablesen
Lineares Kraftgesetz — wie bei der Feder, mit \(D=\tfrac{m\,g}{l}\).
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}=2\pi\sqrt{\dfrac{m\,l}{m\,g}}\)
| kürzen
Die Formel des Federpendels (4.2.1) mit diesem \(D\).
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)
Ergebnis
Die Masse kürzt sich heraus — schwere und leichte Kugeln schwingen gleich schnell.
Schwingungsdauer des Fadenpendels
\(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\)
l: Pendellänge (m), g: Fallbeschleunigung (\(9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\))
Das Pendel schwingt, die Schwingungsdauer wird mit \(T=2\pi\sqrt{l/g}\) berechnet (g = 9,81 m/s²).
Überraschend: Die Schwingungsdauer hängt nur von der Länge ab — nicht von der Masse des Pendelkörpers. Ein längeres Pendel schwingt langsamer.
- Keine Masse:schwere und leichte Kugeln gleicher Fadenlänge schwingen gleich schnell.
- Keine Amplitude:ob 5° oder 10° ausgelenkt — \(T\) bleibt praktisch gleich.
Das Sekundenpendel
Welche Schwingungsdauer hat ein Fadenpendel der Länge \(l=1{,}0\,\mathrm m\)?
Formel\(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\)
Einsetzen\(T=2\pi\sqrt{\tfrac{1{,}0}{9{,}81}}=2\pi\sqrt{0{,}1019}\)
Ergebnis\(T=2\pi\cdot0{,}319=2{,}0\,\mathrm s\) — ein 1-m-Pendel braucht rund 2 s.
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Allgemeine Hinweise
Länge bis zur Kugelmitte
l wird vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt der Kugel gemessen, nicht nur der Faden.
Wurzel
Vierfache Länge = doppelte Schwingungsdauer.
Kleine Winkel
Die Formel gilt nur für kleine Auslenkungen (bis ca. 10°).