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01
Begriff · 6.1.1
Elektronenbeugungsröhre
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Definition
Elektronen werden durch die Spannung U beschleunigt und durchlaufen eine dünne Graphitfolie; auf dem Leuchtschirm erscheinen konzentrische Ringe.Die regelmäßig angeordneten Kohlenstoffatome wirken wie ein Gitter — dasselbe Muster wie Röntgenwellen an einem Kristall.
02
Formel · 6.1.1
r ∼ 1/√U
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Antwort
r2 = r1 · √(U1/U2)Die vierfache Spannung halbiert den Ringradius.U1 = 2,0 kV, r1 = 2,0 cm → bei U2 = 8,0 kV ist r2 = 1,0 cm. Doppelte Spannung: nur auf 1/√2 ≈ 71 %.
03
Formel · 6.1.1
r · √U = konstant
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Antwort
Prüfgröße der Messreihe: bleibt das Produkt konstant, gilt r ∼ 1/√U.Innerer Ring: 2,00 cm bei 2,0 kV … 1,15 cm bei 6,0 kV → r·√U = 2,83 / 2,84 / 2,84 / 2,82 / 2,82 cm·√kV. Vorhersage für U = 8,0 kV: r = 2,83/√8,0 = 1,00 cm.
04
Formel · 6.1.1
sin α = λ/d
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Antwort
sin α = λ/dGitterbedingung: Beugung ist nur beobachtbar, wenn λ höchstens etwa so groß ist wie der Netzebenenabstand d.Graphit: d = 2,1·10−10 m. Rotes Laserlicht mit 630 nm ergäbe sin α = 3,0·103 > 1 — unmöglich. Sichtbares Licht mit 550 nm: λ/d = 2,6·103.
05
Begriff · 6.1.1
Warum Ringe, keine Punkte?
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Definition
Die Folie besteht aus sehr vielen winzigen Kristallen in allen Drehlagen. Ihre Beugungsrichtungen bilden einen Kegelmantel um die Strahlachse.Der Schnitt dieses Kegels mit dem Schirm ist ein Kreisring — je Ebenenschar genau ein Ring.
06
Begriff · 6.1.1
Ringe: Interferenz oder Abprallen?
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Definition
Scharfe Ringe mit dunklen Zwischenräumen verlangen konstruktive und destruktive Interferenz — ein reines Wellenphänomen. Abprallende Kugeln gäben einen gleichmäßig auslaufenden Fleck.Mehr Strahlstrom oder eine dickere Folie ändern nur die Helligkeit, nie die Ringgröße: der Gitterabstand bleibt derselbe.
07
Formel · 6.1.2
λ = h / p
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Antwort
λ = h / p = h / (m · v)De-Broglie-Wellenlänge, Louis de Broglie 1924; h = 6,626·10−34 Js.Elektron mit v = 1,0·106 m/s: λ = 7,3·10−10 m = 0,73 nm.
08
Begriff · 6.1.2
Materiewelle
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Definition
Jedem Objekt mit Impuls p ist eine Wellenlänge zugeordnet. Das Planck'sche Wirkungsquantum h verbindet die Teilchengröße p mit der Wellengröße λ.Die Gleichung gilt für jedes Teilchen — Elektron, Neutron, Fulleren, Fußball —, nicht nur für Elektronen.
09
Formel · 6.1.2
λ ∼ 1/v
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Antwort
λ ist antiproportional zu v und zu m: v verdoppeln heißt λ halbieren. Schneller bedeutet also kurzwelliger.Elektron: 1,0·106 m/s → 0,73 nm; 2,0·106 → 0,36 nm; 4,0·106 → 0,18 nm. Kaltes Neutron (1,675·10−27 kg, 630 m/s): p = 1,06·10−24 kg·m/s → λ = 6,3·10−10 m.
10
Formel · 6.1.2
λ = h/√(2 me e U)
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Antwort
Aus e·U = ½ me v2 folgt v = √(2eU/me) und damit λ ∼ 1/√U.U = 4,0 kV → v = 3,75·107 m/s (12,5 % von c), λ = 1,9·10−11 m = 19 pm; λ/d = 0,092 → α ≈ 5,3°. U = 10 kV → λ = 1,23·10−11 m.
11
Begriff · 6.1.2
Warum zeigt ein Ball keine Welle?
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Definition
Weil λ bei großer Masse unmessbar klein wird — nicht, weil es sie nicht gäbe.Fußball (0,43 kg, 25 m/s): p = 10,75 kg·m/s → λ = 6,2·10−35 m. Tennisball (58 g, 30 m/s): ≈ 4·10−34 m. Zum Vergleich: ein Atomkern misst ~10−15 m.
12
Formel · 6.1.2
h, e, me, d — die Konstanten
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Antwort
h = 6,626·10−34 Js · e = 1,602·10−19 C · me = 9,11·10−31 kg · mn = 1,675·10−27 kg · Graphit: d = 2,1·10−10 m.Elektronen-Wellenlängen liegen bei einigen Zehntel Nanometern — genau in der Größenordnung des Atomabstands im Kristall. Nur deshalb funktioniert Elektronenbeugung.
13
Begriff · 6.2.1
Doppelspalt mit einzelnen Elektronen
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Definition
Glühkathode setzt ein Elektron frei → Beschleunigung → Doppelspalt → genau ein Punkt auf dem Leuchtschirm → Punkt speichern → nächstes Elektron.Erst die Summe sehr vieler Einzelpunkte zeigt das Streifenmuster. Ein einzelnes Elektron erzeugt nie ein Muster, sondern einen Punkt.
14
Begriff · 6.2.1
Selbstinterferenz
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Definition
Das Muster entsteht auch dann, wenn immer nur ein Elektron unterwegs ist: Jedes Elektron interferiert mit sich selbst, nicht mit anderen.Damit ist der Einwand „die Elektronen stoßen sich gegenseitig“ widerlegt — bei Vereinzelung ist gar kein Partner da.
15
Begriff · 6.2.1
Vereinzelung — der Nachweis
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Definition
Weg s = 0,45 m bei v = 3,0·107 m/s → Flugdauer t = 1,5·10−8 s = 15 ns. Bei 1,0·103 Elektronen pro Sekunde liegen im Mittel 1,0 ms dazwischen.t/Δt = 1,5·10−5: nur rund 0,0015 % der Zeit ist ein Elektron unterwegs — die Apparatur ist im Mittel etwa 67 000-mal so lange leer, wie ein Flug dauert.
16
Begriff · 6.2.1
10 — 1000 — 100 000 Treffer
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Definition
10 Elektronen: wenige, scheinbar zufällige Punkte. 1000: Streifen erahnbar. 100 000: klares Interferenzmuster.Die Lage der Streifen ändert sich nie — die Punkte füllen dasselbe Muster nur dichter. Mit einzelnen Elektronen gelang der Versuch erst 1989 (Tonomura).
17
Formel · 6.2.1
Δy = L · λ / d
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Antwort
Streifenabstand in Kleinwinkelnäherung, aus sin αk = k·λ/d. L = Abstand zum Schirm, d = Spaltabstand.d = 50 nm, L = 0,40 m, U = 10 kV (λ = 1,23·10−11 m) → Δy = 9,8·10−5 m ≈ 0,10 mm. U auf 40 kV vervierfacht → Δy halbiert: 0,049 mm, denn Δy ∼ 1/√U.
18
Formel · 6.2.1
Warum keine Laser-Blende?
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Antwort
Weil Δy ∼ 1/d ist: Mit einer Unterrichtsblende d = 0,50 mm wird Δy = 9,8·10−9 m ≈ 10 nm.Das ist rund 1000-mal kleiner als die Detektorauflösung von etwa 0,01 mm — man sähe nur einen hellen Fleck. Der Spaltabstand muss in der Größenordnung von Nanometern liegen.
19
Begriff · 6.2.2
Wellenfunktion ψ
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Definition
ψ ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude — kein verschmiertes Elektron. ψ darf negativ sein; gemessen wird das Quadrat, deshalb sind Wellenberg und Wellental gleichwertig.ψ sagt nicht, wo das nächste Elektron einschlägt, sondern nur, mit welcher Wahrscheinlichkeit es irgendwo gefunden wird.
20
Formel · 6.2.2
P ∼ |ψ|²
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Antwort
P ∼ |ψ|²Stochastische Deutung nach Max Born: Die Trefferwahrscheinlichkeit ist das Quadrat der Amplitude.Halbe Amplitude → ¼ der Trefferdichte, doppelte → 4-fach, ¾ → ≈ 9/16. Beispiel: Amplitude an A dreimal so groß wie an B → bei 100 Treffern an B sind es an A 900.
21
Formel · 6.2.2
Erwartungswert = P · N
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Antwort
Erwartete Trefferzahl in einem Streifen: Wahrscheinlichkeit mal Gesamtzahl.P = 0,15 und N = 2000 → 300 Treffer. P = 0,12 und N = 5000 → 600. Umgekehrt: 480 Treffer von N = 8000 → P = 0,06. Achtung: P als Anteil einsetzen, nicht als Prozentzahl.
22
Formel · 6.2.2
Streuung ∼ √N
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Antwort
Die typische Schwankung wächst mit √N, die relative Abweichung sinkt mit 1/√N.Vorhersage 500, gemessen 480: √500 ≈ 22 → kein Widerspruch. Streifen S2: bei N = 200 erwartet 40, gemessen 47 (17,5 %); bei N = 20 000 erwartet 4000, gemessen 3962 (0,95 %) — Verhältnis ≈ 18.
23
Begriff · 6.2.2
Dunkler Streifen
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Definition
Amplitude null → Wahrscheinlichkeit null → dort trifft wirklich kein Elektron auf, nicht bloß „selten“.Interferenz vernichtet keine Elektronen, sie verteilt sie um: Die Gesamtzahl der Treffer bleibt gleich, sie wandern aus den Minima in die Maxima.
24
Begriff · 6.2.2
Grundsätzliche Unbestimmtheit
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Definition
Auch bei vollständiger Kenntnis von ψ bleibt der einzelne Auftreffort offen — das liegt nicht an ungenauen Messgeräten.Vorhersagbar ist die Häufigkeitsverteilung vieler Treffer, und die sehr genau: Aus „der Einzelfall ist zufällig“ folgt nicht „man kann nichts vorhersagen“.
25
Begriff · 6.2.3
Quantenobjekt
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Definition
Weder klassische Kugel noch klassische Welle, sondern etwas Eigenständiges mit zwei komplementären Seiten.Ein Quantenobjekt „verwandelt“ sich nicht — es ändert sich nur die Frage, die der Versuchsaufbau stellt.
26
Begriff · 6.2.3
Komplementarität
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Definition
Niels Bohr: Welle und Teilchen sind zwei einander ergänzende Seiten desselben Quantenobjekts.Welche Seite sichtbar wird, entscheidet der Versuchsaufbau — nie beide zugleich. Ein Aufbau, der beides gleichzeitig zeigt, ist ausgeschlossen.
27
Begriff · 6.2.3
Welcher-Weg-Detektor
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Definition
Detektor an, Weg bekannt → die Interferenz verschwindet; es bleiben zwei breite Streifen wie von zwei Einzelspalten. Die Gesamtzahl der Treffer bleibt gleich.Entscheidend ist die grundsätzliche Verfügbarkeit der Weginformation, nicht das Ablesen: ein eingebauter, aber ausgeschalteter Detektor ändert nichts. Ein zugeklebter Spalt liefert dagegen ein Einzelspaltbild.
28
Begriff · 6.2.3
Teil-Weginformation
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Definition
Misst der Detektor nur etwa jedes zweite Elektron, addieren sich halbes Interferenzbild und halbes Teilchenbild: Der Kontrast ist etwa halbiert.Der Übergang zwischen Wellen- und Teilchenbild verläuft stetig, nicht sprunghaft.
29
Formel · 6.2.3
P: 850 + 870 → 35
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Antwort
Je N = 20 000: nur Spalt 1 → P 850, Q 900; nur Spalt 2 → P 870, Q 880; beide offen → P 35, Q 3520.Klassische Summe wäre an P 1720 (gemessen 35 ≈ 2 %) und an Q 1780 (gemessen 3520, fast doppelt). Amplitudenaddition: (√900 + √880)² ≈ 3560 — also keine festen Bahnen durch je einen Spalt.
30
Formel · 6.2.3
Fulleren C60
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Antwort
m = 1,20·10−24 kg, v = 200 m/s → λ = 2,8·10−12 m; mit d = 100 nm und L = 1,25 m wird Δy = 3,5·10−5 m = 35 µm.Heißerer Ofen → kurzwelligere Wärmestrahlung → mehr Weginformation: Sichtbarkeit V fällt von 0,47 (900 K) über 0,25 (2100 K) auf 0,01 (3000 K); Halbwert bei T ≈ 2150 K.
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Lernmodus
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Tipp zum Lernen
Arbeite kapitelweise: erst 6.1.1 und 6.1.2 (Beugung und Wellenlänge), dann 6.2.1 bis 6.2.3 (Deutung). Markiere nur das als gewusst, was du ohne Hinsehen mit eigenen Worten und — bei Formeln — mit einem Zahlenbeispiel erklären kannst. Alles andere wandert auf „nochmal“ und kommt im Lernmodus zurück. Dein Stand wird im Browser gespeichert.