Magnetfeld einer Freileitung
AFB I–IIÜber einen Feldweg führt eine 110-kV-Freileitung. In einem der Leiterseile fließt bei voller Auslastung die Stromstärke \(I = 400\,\mathrm A\). An der tiefsten Stelle hängt das Seil \(8{,}0\,\mathrm m\) über dem Boden; der Punkt \(P\) liegt senkrecht darunter (Material M1).
Für das Magnetfeld eines langen geraden Leiters gilt \(\displaystyle B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}\) mit \(\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}}\). Das Erdmagnetfeld hat in Deutschland den Betrag \(B_\text{Erde} \approx 50\,\mu\mathrm T\).
Die Zeichnung ist nicht maßstäblich; der Umlaufsinn der Feldlinien ist absichtlich nicht eingetragen. Die Felder der übrigen Leiterseile der Leitung bleiben unberücksichtigt.
- Beschreiben Sie den Verlauf der magnetischen Feldlinien um das Leiterseil und geben Sie mithilfe der Rechte-Hand-Regel die Richtung der magnetischen Flussdichte im Punkt \(P\) an.
- Berechnen Sie den Betrag der magnetischen Flussdichte im Punkt \(P\).
- Vergleichen Sie das Ergebnis aus b) mit dem Erdmagnetfeld und begründen Sie damit, ob eine Kompassnadel unter der Leitung merklich abgelenkt wird.
- Berechnen Sie den Abstand vom Leiterseil, in dem die Flussdichte der Leitung gerade so groß ist wie das Erdmagnetfeld.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Feldlinien sind konzentrische Kreise um das Leiterseil. Sie liegen in Ebenen senkrecht zum Leiter, haben weder Anfang noch Ende (sie sind in sich geschlossen) und liegen nahe am Seil dichter beieinander als weiter außen — dort ist das Feld also stärker.
Richtung: Der Daumen der rechten Hand zeigt in die technische Stromrichtung, hier aus der Zeichenebene heraus auf den Betrachter zu. Die gekrümmten Finger geben dann den Umlaufsinn an: Die Feldlinien laufen in M1 gegen den Uhrzeigersinn.
Im Punkt \(P\) senkrecht unter dem Seil verläuft die Tangente an den Kreis waagerecht; bei Umlauf gegen den Uhrzeigersinn zeigt \(\vec B\) dort waagerecht nach rechts, also senkrecht zum Seil und senkrecht zur Verbindungsstrecke Seil–\(P\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ansatz: \(\displaystyle B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}\). Wegen \(\displaystyle \frac{\mu_0}{2\pi} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}}{2\pi}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}} = 2\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}}\) folgt
\(\displaystyle B = 2\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}}\cdot \frac{400\,\mathrm A}{8{,}0\,\mathrm m} = 1{,}0\cdot 10^{-5}\,\mathrm T\)
Im Punkt \(P\) beträgt die magnetische Flussdichte der Leitung also \(10\,\mu\mathrm T\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\displaystyle \frac{B}{B_\text{Erde}} = \frac{10\,\mu\mathrm T}{50\,\mu\mathrm T} = 0{,}20\)
Das Feld der Leitung ist am Boden nur ein Fünftel des Erdfeldes. Es bestimmt die Richtung der Kompassnadel daher nicht, überlagert sich ihr aber merklich: Stehen beide Felder senkrecht aufeinander, so ergibt sich eine Ablenkung von \(\tan\alpha = 0{,}20\), also \(\alpha \approx 11^\circ\) — deutlich sichtbar, aber weit von einer vollständigen Umlenkung entfernt.
Für die Ablenkung ist genau genommen nur die waagerechte Komponente des Erdfeldes maßgeblich; sie ist kleiner als \(50\,\mu\mathrm T\), sodass der Effekt in Wirklichkeit noch etwas größer ausfällt. Umgekehrt schwächt sich das Feld der Leitung bei geringerer Auslastung entsprechend ab.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Umstellen nach \(r\):
\(\displaystyle B = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{\mu_0\,I}{2\pi\,B}\)
\(\displaystyle r = 2\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}}\cdot \frac{400\,\mathrm A}{50\cdot 10^{-6}\,\mathrm T} = 1{,}6\,\mathrm m\)
Erst in einem Abstand von weniger als \(1{,}6\,\mathrm m\) vom Seil übertrifft das Feld der Leitung das Erdfeld. Da die Seile mehrere Meter hoch hängen, bleibt man am Boden stets im Bereich unterhalb des Erdfeldes. Weil \(B\) nur mit \(\frac{1}{r}\) abnimmt, ist der Abfall allerdings langsam: Bei doppeltem Abstand halbiert sich die Flussdichte, sie sinkt also nicht so rasch wie etwa beim Feld einer Punktladung.
Elektromagnet im Praktikum
AFB II–IIIIm Praktikum steht eine Zylinderspule mit \(N = 600\) Windungen, der Länge \(l = 30\,\mathrm{cm}\) und dem Durchmesser \(d = 4{,}0\,\mathrm{cm}\) (Material M2). Der Widerstand der Wicklung beträgt \(R = 4{,}0\,\Omega\); sie wird an ein Netzgerät mit der festen Spannung \(U = 8{,}0\,\mathrm V\) angeschlossen.
Im Inneren einer langen Spule gilt \(B = \mu_0\,\mu_\mathrm{r}\,n\,I\) mit der Windungsdichte \(n = \frac{N}{l}\). Anschließend wird ein Eisenkern eingeschoben und die Messreihe aus Material M3 aufgenommen.
Im Inneren einer langen Spule ist das Feld nahezu homogen; außen verläuft es wie beim Stabmagneten von der Nord- zur Südseite. Der Spulendurchmesser beträgt \(4{,}0\,\mathrm{cm}\), ist also klein gegen die Spulenlänge.
| Stromstärke \(I\) in \(\mathrm A\) | Flussdichte \(B\) in \(\mathrm T\) |
|---|---|
| \(0{,}50\) | \(0{,}25\) |
| \(1{,}0\) | \(0{,}51\) |
| \(1{,}5\) | \(0{,}74\) |
| \(2{,}0\) | \(1{,}00\) |
| \(2{,}5\) | \(1{,}15\) |
| \(3{,}0\) | \(1{,}24\) |
Gemessen wurde mit einer Feldsonde in der Mitte der Spule; die Stromstärke wurde über ein regelbares Netzgerät eingestellt. Die Messunsicherheit der Flussdichte beträgt etwa \(2\,\%\).
- Berechnen Sie die Stromstärke in der Wicklung, die Windungsdichte \(n\) sowie die magnetische Flussdichte im Inneren der Spule ohne Eisenkern.
- Bestimmen Sie aus dem Messwert für \(I = 2{,}0\,\mathrm A\) in Material M3 die Permeabilitätszahl \(\mu_\mathrm{r}\) des Eisenkerns.
- Werten Sie die Messreihe in Material M3 aus: Prüfen Sie, ob \(B\) proportional zu \(I\) ist, und deuten Sie die Abweichung bei großen Stromstärken.
- Die Spule soll ohne Eisenkern die doppelte Flussdichte erzeugen. Mara will mit demselben Draht eine zweite Lage auf denselben Spulenkörper wickeln (\(N = 1200\), \(l = 30\,\mathrm{cm}\)), Jonas will denselben Draht mit \(N = 600\) auf einen halb so langen Spulenkörper wickeln (\(l = 15\,\mathrm{cm}\)). Beide betreiben die Spule am selben Netzgerät. Beurteilen Sie beide Vorschläge rechnerisch.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Stromstärke: \(\displaystyle I = \frac{U}{R} = \frac{8{,}0\,\mathrm V}{4{,}0\,\Omega} = 2{,}0\,\mathrm A\)
Windungsdichte: \(\displaystyle n = \frac{N}{l} = \frac{600}{0{,}30\,\mathrm m} = 2000\,\mathrm{\frac{1}{m}}\)
Flussdichte ohne Kern (\(\mu_\mathrm{r} = 1\)):
\(\displaystyle B_0 = \mu_0\,n\,I = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}}\cdot 2000\,\mathrm{\frac{1}{m}}\cdot 2{,}0\,\mathrm A = 5{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm T\)
Das sind \(5{,}0\,\mathrm{mT}\), also etwa das Hundertfache des Erdmagnetfeldes — für einen kräftigen Elektromagneten aber noch wenig.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Mit Kern gilt \(B = \mu_0\,\mu_\mathrm{r}\,n\,I = \mu_\mathrm{r}\cdot B_0\), also
\(\displaystyle \mu_\mathrm{r} = \frac{B}{B_0} = \frac{1{,}00\,\mathrm T}{5{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm T} = 2{,}0\cdot 10^{2}\)
Der Eisenkern verstärkt das Feld also etwa um den Faktor \(200\). \(\mu_\mathrm{r}\) ist eine Verhältniszahl und daher einheitenlos.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Quotienten \(\frac{B}{I}\) (in \(\mathrm{\frac{T}{A}}\)):
\(0{,}50\) — \(0{,}51\) — \(0{,}49\) — \(0{,}50\) — \(0{,}46\) — \(0{,}41\)
Bis \(I = 2{,}0\,\mathrm A\) ist der Quotient im Rahmen der Messunsicherheit von \(2\,\%\) konstant: In diesem Bereich ist \(B\) proportional zu \(I\), wie es \(B = \mu_0\,\mu_\mathrm{r}\,n\,I\) mit konstantem \(\mu_\mathrm{r}\) verlangt.
Ab \(2{,}5\,\mathrm A\) sinkt der Quotient deutlich unter diesen Wert; die Abweichung ist mit \(8\,\%\) bzw. \(18\,\%\) viel größer als die Messunsicherheit. Da \(\mu_0\), \(n\) und \(I\) feststehen, kann nur \(\mu_\mathrm{r}\) kleiner geworden sein: \(\mu_\mathrm{r}(3{,}0\,\mathrm A) = \frac{1{,}24\,\mathrm T}{7{,}5\cdot 10^{-3}\,\mathrm T} \approx 1{,}6\cdot 10^{2}\).
Deutung: Der Eisenkern gerät in die Sättigung. Sein Beitrag zum Feld lässt sich nicht beliebig steigern, und die Flussdichte wächst schwächer als der Strom. Die Formel \(B = \mu_0\,\mu_\mathrm{r}\,n\,I\) mit festem \(\mu_\mathrm{r}\) gilt für Eisen also nur in einem begrenzten Bereich; ohne Kern (\(\mu_\mathrm{r} = 1\)) bliebe die Proportionalität erhalten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mara: Die doppelte Windungszahl bei gleichem Spulenkörper bedeutet die doppelte Drahtlänge, also \(R' = 8{,}0\,\Omega\). Am festen Netzgerät folgt
\(\displaystyle I' = \frac{8{,}0\,\mathrm V}{8{,}0\,\Omega} = 1{,}0\,\mathrm A\), \(\displaystyle n' = \frac{1200}{0{,}30\,\mathrm m} = 4000\,\mathrm{\frac{1}{m}}\)
\(\displaystyle B' = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}}\cdot 4000\,\mathrm{\frac{1}{m}}\cdot 1{,}0\,\mathrm A = 5{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm T\)
Die Flussdichte bleibt unverändert: Die Verdopplung von \(n\) wird durch die Halbierung der Stromstärke genau aufgehoben. Maras Vorschlag scheitert an der Rückwirkung der längeren Wicklung auf den Stromkreis. Er würde funktionieren, wenn das Netzgerät die Stromstärke konstant hielte oder die Spannung mitverdoppelt würde.
Jonas: Die Drahtlänge bleibt gleich (\(N = 600\) wie zuvor), also auch \(R = 4{,}0\,\Omega\) und \(I = 2{,}0\,\mathrm A\). Neu ist nur die Windungsdichte:
\(\displaystyle n' = \frac{600}{0{,}15\,\mathrm m} = 4000\,\mathrm{\frac{1}{m}}\), \(\displaystyle B' = 4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{T\,m}{A}}\cdot 4000\,\mathrm{\frac{1}{m}}\cdot 2{,}0\,\mathrm A = 1{,}0\cdot 10^{-2}\,\mathrm T\)
Die Flussdichte verdoppelt sich auf \(10\,\mathrm{mT}\). Nur Jonas erreicht das Ziel.
Einschränkungen: Bei Jonas ist \(\frac{l}{d} = \frac{15\,\mathrm{cm}}{4{,}0\,\mathrm{cm}} \approx 3{,}8\); die Näherung der „langen Spule“ wird schlechter, an den Enden tritt bereits merklich Feld aus, sodass der wahre Wert etwas unter \(10\,\mathrm{mT}\) liegt. Außerdem wird bei ihm dieselbe Leistung \(P = U\,I = 16\,\mathrm W\) in einem halb so langen Wickel umgesetzt — die Spule wird deutlich wärmer (bei Mara sind es nur \(8{,}0\,\mathrm W\)). Am wirksamsten wäre ohnehin ein Eisenkern; er vervielfacht \(B\) um rund zwei Zehnerpotenzen, allerdings um den Preis der in c) gezeigten Sättigung.