Eine Flussdichte messbar machen
AFB I–IIIm Praktikum soll die magnetische Flussdichte im Luftspalt eines kräftigen Magneten bestimmt werden. Dazu benutzt eine Lerngruppe eine Stromwaage (Material M1): Der Magnet steht auf einer Digitalwaage, das waagerechte Leiterstück ist an einem Stativ fest eingespannt und ragt in den Luftspalt. Die wirksame Leiterlänge beträgt \(l = 5{,}0\,\mathrm{cm}\), sie steht senkrecht zum Feld.
Bei ausgeschaltetem Strom wird die Waage auf \(0{,}00\,\mathrm g\) tariert. Bei der Stromstärke \(I = 4{,}0\,\mathrm A\) zeigt sie anschließend \(\Delta m = 5{,}10\,\mathrm g\) an. Rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\).
Das Leiterstück ist an einem Stativ fest eingespannt und berührt den Magneten nicht; bewegt wird nichts. Nur der Teil des Leiters, der im Luftspalt liegt, befindet sich im Feld — seine Länge wird mit \(l = 5{,}0\,\mathrm{cm}\) gleich der Breite der Polschuhe gesetzt. Die Anzeige der Waage ist auf \(0{,}01\,\mathrm g\) genau.
- Erklären Sie mithilfe von Material M1, warum die Waage eine zusätzliche Masse \(\Delta m\) anzeigt, obwohl sich nichts bewegt, und leiten Sie daraus die Beziehung \(\displaystyle B = \frac{\Delta m\,g}{I\,l}\) her.
- Zeigen Sie mit dieser Beziehung, dass \(1\,\mathrm T = 1\,\mathrm{\frac{N}{A\,m}}\) gilt, und geben Sie das Tesla in Basiseinheiten an.
- Berechnen Sie aus der Einzelmessung die Flussdichte im Luftspalt.
- Das Erdmagnetfeld hat in Deutschland eine Flussdichte von etwa \(50\,\mu\mathrm T\). Vergleichen Sie den gemessenen Wert damit und schätzen Sie ab, welche Anzeige das Erdfeld an derselben Stromwaage hervorrufen würde.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Leiterstück im Luftspalt wird vom Strom durchflossen und steht senkrecht zum Feld (\(\alpha = 90^\circ\)). Auf das Leiterstück wirkt daher die Kraft \(F = B\,I\,l\), in M1 nach oben gerichtet. Der Leiter ist fest eingespannt und weicht nicht aus.
Nach dem Wechselwirkungsgesetz übt der Leiter auf den Magneten eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft aus — sie zeigt nach unten. Der Magnet drückt deshalb um genau diesen Betrag stärker auf die Waagschale.
Eine Digitalwaage misst diese Druckkraft und rechnet sie mit \(F = m\,g\) in eine Masse um. Die zusätzlich angezeigte Masse \(\Delta m\) entspricht also der zusätzlichen Kraft:
\(\displaystyle \Delta m\,g = B\,I\,l \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\Delta m\,g}{I\,l}\)
Alle vier Größen auf der rechten Seite sind unmittelbar messbar. Damit ist die Flussdichte nicht nur anschaulich beschrieben, sondern als Messgröße festgelegt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Einheiten einsetzen:
\(\displaystyle [B] = \frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{\frac{N}{kg}}}{\mathrm A\cdot\mathrm m} = \mathrm{\frac{N}{A\,m}}\)
Diese Einheit erhält den eigenen Namen Tesla: \(1\,\mathrm T = 1\,\mathrm{\frac{N}{A\,m}}\).
Mit \(1\,\mathrm N = 1\,\mathrm{\frac{kg\,m}{s^2}}\) folgt in Basiseinheiten:
\(\displaystyle 1\,\mathrm T = \frac{1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm m}{\mathrm{s^2}\cdot\mathrm A\cdot\mathrm m} = 1\,\mathrm{\frac{kg}{A\,s^2}}\)
Anschaulich: In einem Feld der Flussdichte \(1\,\mathrm T\) erfährt ein quer zum Feld liegender Leiter von \(1\,\mathrm m\) Länge bei \(1\,\mathrm A\) die Kraft \(1\,\mathrm N\). Das Tesla ist also eine sehr große Einheit.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Kraft aus der Anzeige:
\(\displaystyle F = \Delta m\,g = 5{,}10\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}} = 0{,}050\,\mathrm N\)
Flussdichte:
\(\displaystyle B = \frac{\Delta m\,g}{I\,l} = \frac{0{,}050\,\mathrm N}{4{,}0\,\mathrm A\cdot 0{,}050\,\mathrm m} = 0{,}25\,\mathrm T\)
Im Luftspalt herrscht also eine Flussdichte von etwa \(0{,}25\,\mathrm T\) — ein für einen kräftigen Dauermagneten mit engem Luftspalt typischer Wert.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Vergleich mit dem Erdfeld:
\(\displaystyle \frac{B}{B_\text{Erde}} = \frac{0{,}25\,\mathrm T}{50\cdot 10^{-6}\,\mathrm T} = 5{,}0\cdot 10^{3}\)
Das Feld im Luftspalt ist rund 5000-mal so stark wie das Erdfeld.
Abschätzung für das Erdfeld an derselben Stromwaage:
\(\displaystyle F = B_\text{Erde}\,I\,l = 50\cdot 10^{-6}\,\mathrm T\cdot 4{,}0\,\mathrm A\cdot 0{,}050\,\mathrm m = 1{,}0\cdot 10^{-5}\,\mathrm N\)
\(\displaystyle \Delta m = \frac{F}{g} = \frac{1{,}0\cdot 10^{-5}\,\mathrm N}{9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}} = 1{,}0\cdot 10^{-6}\,\mathrm{kg} = 1{,}0\,\mathrm{mg}\)
Das sind \(0{,}0010\,\mathrm g\) und damit rund ein Zehntel der Anzeigegenauigkeit von \(0{,}01\,\mathrm g\): Das Erdfeld ist an dieser Waage nicht nachweisbar und stört die Messung nicht. Einordnung der Größenordnungen: Erdfeld \(50\,\mu\mathrm T\), Luftspalt eines Schulmagneten einige Zehntel Tesla; Flussdichten von \(1\,\mathrm T\) und mehr erreicht man nur mit starken Elektromagneten.
Eine Messreihe an der Stromwaage
AFB II–IIIEine einzelne Messung ist der Gruppe zu unsicher. Sie nimmt deshalb am selben Aufbau eine Messreihe auf und erhöht die Stromstärke in Schritten von \(1{,}0\,\mathrm A\) von \(1{,}0\,\mathrm A\) auf \(6{,}0\,\mathrm A\) (Material M2). Magnet und wirksame Leiterlänge \(l = 5{,}0\,\mathrm{cm}\) bleiben unverändert.
Die Wertepaare sind in Material M3 bereits eingetragen; eine Ausgleichsgerade ist eingezeichnet. Rechnen Sie weiterhin mit \(g = 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\).
| Messung | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Stromstärke \(I\) in \(\mathrm A\) | \(1{,}0\) | \(2{,}0\) | \(3{,}0\) | \(4{,}0\) | \(5{,}0\) | \(6{,}0\) |
| Anzeige \(\Delta m\) in \(\mathrm g\) | \(1{,}32\) | \(2{,}44\) | \(3{,}88\) | \(5{,}10\) | \(6{,}25\) | \(7{,}66\) |
Vor jeder Einzelmessung wurde die Waage bei ausgeschaltetem Strom neu auf \(0{,}00\,\mathrm g\) tariert. Aufbau, Magnet und wirksame Leiterlänge \(l = 5{,}0\,\mathrm{cm}\) blieben unverändert; die Messung bei \(I = 4{,}0\,\mathrm A\) ist die aus Aufgabe 1.
Die Ausgleichsgerade wurde durch den Ursprung gelegt, weil ohne Strom keine Kraft auftritt. Sie verläuft bei \(I = 6{,}0\,\mathrm A\) durch \(\Delta m = 7{,}6\,\mathrm g\).
- Weisen Sie mithilfe von Material M2 rechnerisch nach, dass die Anzeige \(\Delta m\) im Rahmen der Messgenauigkeit proportional zur Stromstärke \(I\) ist.
- Bestimmen Sie aus der Steigung der Ausgleichsgeraden in Material M3 die Flussdichte im Luftspalt und begründen Sie, warum dieser Wert zuverlässiger ist als der aus einer einzelnen Messung.
- Erklären Sie, warum die so bestimmte Flussdichte nicht davon abhängt, mit welchem Messstrom gearbeitet wurde, obwohl die gemessene Kraft mit \(I\) wächst.
- Beim Auswerten diskutieren zwei Lernende über Fehlerquellen. Mira: „Das Feld hört am Rand der Polschuhe nicht plötzlich auf. Die wirksame Leiterlänge ist deshalb größer als die \(5{,}0\,\mathrm{cm}\), mit denen wir gerechnet haben — unser Wert für \(B\) ist also zu groß.“ Jonas: „Auch die beiden senkrechten Zuleitungen werden vom Feld gedrückt. Die Kräfte auf sie verfälschen die Anzeige der Waage.“ Beurteilen Sie beide Aussagen und entwickeln Sie ein verbessertes Messverfahren.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Quotienten \(\frac{\Delta m}{I}\) in \(\mathrm{\frac{g}{A}}\):
\(\displaystyle \frac{1{,}32}{1{,}0} = 1{,}32 \qquad \frac{2{,}44}{2{,}0} = 1{,}22 \qquad \frac{3{,}88}{3{,}0} = 1{,}29\)
\(\displaystyle \frac{5{,}10}{4{,}0} = 1{,}28 \qquad \frac{6{,}25}{5{,}0} = 1{,}25 \qquad \frac{7{,}66}{6{,}0} = 1{,}28\)
Der Mittelwert beträgt \(1{,}27\,\mathrm{\frac{g}{A}}\); die größte Abweichung davon (\(1{,}22\,\mathrm{\frac{g}{A}}\)) beträgt weniger als \(4\,\%\). Der Quotient ist also im Rahmen der Messgenauigkeit konstant, damit gilt \(\Delta m \sim I\).
Dazu passt Material M3: Die Messpunkte liegen ohne erkennbare Krümmung auf einer Geraden, und diese geht durch den Ursprung — ohne Strom wirkt keine Kraft, also \(\Delta m = 0\). Beides zusammen ist der Nachweis der Proportionalität.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Ablesen an der Ausgleichsgeraden: Sie geht durch den Ursprung und bei \(I = 6{,}0\,\mathrm A\) durch \(\Delta m = 7{,}6\,\mathrm g\). Damit ist
\(\displaystyle s = \frac{\Delta m}{I} = \frac{7{,}6\,\mathrm g}{6{,}0\,\mathrm A} = 1{,}27\,\mathrm{\frac{g}{A}} = 1{,}27\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{kg}{A}}\)
Aus \(B = \frac{\Delta m\,g}{I\,l}\) mit \(\frac{\Delta m}{I} = s\) folgt:
\(\displaystyle B = \frac{s\,g}{l} = \frac{1{,}27\cdot 10^{-3}\,\mathrm{\frac{kg}{A}}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}}{0{,}050\,\mathrm m} = 0{,}25\,\mathrm T\)
Begründung: In die Steigung gehen alle sechs Messpunkte ein, zufällige Abweichungen einzelner Werte mitteln sich weitgehend heraus. Wertet man dagegen jedes Wertepaar einzeln aus, so erhält man Flussdichten zwischen \(0{,}24\,\mathrm T\) und \(0{,}26\,\mathrm T\) — je nachdem, welches Wertepaar man auswählt. Zusätzlich verrät die Gerade, ob ein systematischer Nullpunktfehler vorliegt: Sie geht durch den Ursprung, ein Achsenabschnitt wäre sofort sichtbar.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nach \(F = B\,I\,l\) wächst die Kraft proportional zur Stromstärke: Verdoppelt man \(I\), so verdoppelt sich auch die Anzeige \(\Delta m\). Genau das zeigt die Messreihe.
In \(B = \frac{\Delta m\,g}{I\,l}\) steht \(I\) im Nenner, während der Zähler über \(\Delta m\) selbst proportional zu \(I\) ist. Beide Abhängigkeiten heben sich auf, der Quotient bleibt konstant. Die Flussdichte ist deshalb eine Eigenschaft des Feldes am Ort des Leiters und keine Eigenschaft der Messung — sonst wäre \(B = \frac{F}{I\,l}\) als Definition unbrauchbar.
Streng genommen erzeugt der Messstrom selbst ein Magnetfeld. Im Abstand \(r = 1{,}0\,\mathrm{cm}\) ergibt sich beim größten Messstrom \(I = 6{,}0\,\mathrm A\):
\(\displaystyle B_\text{Leiter} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi\cdot 10^{-7}\,\mathrm{\frac{V\,s}{A\,m}}\cdot 6{,}0\,\mathrm A}{2\pi\cdot 0{,}010\,\mathrm m} = 1{,}2\cdot 10^{-4}\,\mathrm T\)
Das sind nur etwa \(0{,}05\,\%\) von \(0{,}25\,\mathrm T\). Der Messstrom verändert das zu messende Feld also praktisch nicht — die Messung stört das Feld nicht, das sie bestimmen soll.
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mira: Reicht das Feld über die Polschuhe hinaus, so ist die tatsächlich wirksame Länge \(l_\text{w}\) größer als die eingesetzten \(5{,}0\,\mathrm{cm}\). Die gemessene Kraft steht fest; setzt man in \(B = \frac{F}{I\,l}\) ein zu kleines \(l\) ein, wird \(B\) zu groß. Zahlenbeispiel mit \(l_\text{w} = 5{,}4\,\mathrm{cm}\):
\(\displaystyle B_\text{w} = 0{,}25\,\mathrm T\cdot\frac{5{,}0\,\mathrm{cm}}{5{,}4\,\mathrm{cm}} = 0{,}23\,\mathrm T\)
Der berechnete Wert wäre dann um rund \(8\,\%\) zu groß. Miras Aussage ist richtig. Es handelt sich um einen systematischen Fehler: Er verschiebt alle Messwerte in dieselbe Richtung und ist deshalb an der geringen Streuung der Punkte in M3 gerade nicht zu erkennen.
Jonas: In den senkrechten Zuleitungen fließt der Strom senkrecht nach unten bzw. nach oben, das Feld zeigt in die Zeichenebene. Nach der Drei-Finger-Regel der rechten Hand steht die Kraft senkrecht auf beiden Richtungen, sie ist also waagerecht und hat keine senkrechte Komponente. Die Waage misst aber nur die senkrechte Kraft. Zudem fließt der Strom in den beiden Zuleitungen in entgegengesetzte Richtungen, sodass die beiden waagerechten Kräfte gleich groß und entgegengesetzt sind und sich aufheben. Jonas’ Aussage ist falsch; sie würde die Anzeige höchstens dann beeinflussen, wenn die Zuleitungen schräg verliefen.
Verbessertes Messverfahren:
(1) Jede Messung mit umgepolter Stromrichtung wiederholen und \(\Delta m = \tfrac{1}{2}\left(m_+ - m_-\right)\) auswerten. Damit fallen eine Drift des Nullpunkts und alle stromunabhängigen Anteile heraus; zugleich prüft man, ob die Kraft wirklich das Vorzeichen wechselt.
(2) Gegen Miras Randfeld-Fehler: Der Randbereich ist nur einige Millimeter breit, seine Breite hängt aber nicht von der Größe der Polschuhe ab. Wiederholt man die Messreihe mit deutlich breiteren Polschuhen, etwa \(l = 20\,\mathrm{cm}\), so fallen dieselben \(4\,\mathrm{mm}\) nur noch mit rund \(2\,\%\) statt mit \(8\,\%\) ins Gewicht. Ergeben beide Anordnungen denselben Wert für \(B\), ist der Randfehler vernachlässigbar; ergeben sie verschiedene Werte, ist der Wert der breiten Anordnung der bessere.
(3) Außerdem: die Stromstärke direkt im Leiterkreis messen, die Waage vor jeder Einzelmessung neu tarieren und dünne, biegsame und streng senkrecht geführte Zuleitungen verwenden, damit keine mechanischen Rückstellkräfte auf den Magneten wirken. Jede Messreihe sollte mehrfach aufgenommen werden.