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AbituraufgabenNuklidkarte und Zerfallsreihen

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Von Radium-226 bis Blei-210

AFB II

Die Nuklidkarte ordnet jedes Nuklid nach seiner Neutronenzahl \(N\) (waagerecht) und seiner Protonenzahl \(Z\) (senkrecht). Material M1 zeigt den Ausschnitt, in dem die Uran-Radium-Reihe endet — jeder Zerfall entspricht dort einem festen „Zug“ auf der Karte.

M1Ausschnitt aus der Nuklidkarte — Ende der Uran-Radium-Reihe
124 126 128 130 132 134 136 138 81 82 83 84 85 86 87 88 89 Neutronenzahl N Protonenzahl Z Ra 226 Rn 222 Po 218 Pb 214 Bi 214 Po 214 Pb 210 Bi 210 Po 210 Pb 206 Zerfallsart α β⁻ stabil

Jedes Kästchen steht für ein Nuklid; die Farbe gibt die dominante Zerfallsart an. Nicht eingezeichnete Kästchen sind für diese Aufgabe ohne Bedeutung.

  1. Geben Sie die vollständige Zerfallsgleichung für den Zerfall von \({}^{226}_{\ 88}\mathrm{Ra}\) an und beschreiben Sie, wie sich das Nuklid dabei auf der Nuklidkarte bewegt.
  2. Ermitteln Sie mithilfe von M1 die vollständige Zerfallsfolge von \({}^{222}\mathrm{Rn}\) bis \({}^{210}\mathrm{Pb}\) mit allen Zwischennukliden und Zerfallsarten.
  3. Es gibt in der Natur genau vier Zerfallsreihen. Begründen Sie diese Tatsache mithilfe der Verschiebungssätze und ordnen Sie \({}^{226}\mathrm{Ra}\) der richtigen Reihe zu.
Hinweis zu Aufgabe a)
Beim \(\alpha\)-Zerfall verlässt ein \({}^{4}_{2}\mathrm{He}\)-Kern den Mutterkern. Prüfe am Ende, ob Massenzahl und Ladungszahl auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Summe ergeben.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\({}^{226}\mathrm{Ra}\) ist in M1 orange eingefärbt, also ein \(\alpha\)-Strahler:

\({}^{226}_{\ 88}\mathrm{Ra}\ \longrightarrow\ {}^{222}_{\ 86}\mathrm{Rn}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\)

Bilanz: \(226=222+4\) und \(88=86+2\) — Massenzahl und Ladungszahl sind erhalten.

Auf der Karte sinkt \(Z\) um 2 und \(N\) um 2 (von \(N=138\) auf \(N=136\)). Das Nuklid rückt also zwei Spalten nach links und zwei Zeilen nach unten — ein diagonaler Zug in Richtung des Stabilitätstals.

Hinweis zu Aufgabe b)
Lies die Farbe jedes Kästchens ab und wende den passenden Verschiebungssatz an. Beim \(\beta^-\)-Zerfall bleibt \(A\) unverändert — das Kästchen rückt eine Zeile nach oben und eine Spalte nach links.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Aus den Farben in M1 ergibt sich die Folge:

\({}^{222}_{\ 86}\mathrm{Rn}\ \xrightarrow{\ \alpha\ }\ {}^{218}_{\ 84}\mathrm{Po}\ \xrightarrow{\ \alpha\ }\ {}^{214}_{\ 82}\mathrm{Pb}\ \xrightarrow{\ \beta^-\ }\ {}^{214}_{\ 83}\mathrm{Bi}\ \xrightarrow{\ \beta^-\ }\ {}^{214}_{\ 84}\mathrm{Po}\ \xrightarrow{\ \alpha\ }\ {}^{210}_{\ 82}\mathrm{Pb}\)

Das sind drei \(\alpha\)- und zwei \(\beta^-\)-Zerfälle. Die Massenzahl sinkt dabei von 222 auf 210 (dreimal um 4), die Ordnungszahl von 86 auf 82 (dreimal \(-2\), zweimal \(+1\)).

Hinweis zu Aufgabe c)
\(\alpha\) ändert \(A\) um 4, \(\beta^-\) gar nicht. Was bedeutet das für den Rest, den \(A\) beim Teilen durch 4 lässt?„Begründen“ verlangt die Rückführung auf die Gesetzmäßigkeit — hier auf die Verschiebungssätze, nicht auf die Beobachtung, dass es eben vier Reihen gibt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Der \(\alpha\)-Zerfall verringert \(A\) um genau 4, der \(\beta\)-Zerfall lässt \(A\) unverändert. Damit ändert sich der Rest, den \(A\) beim Teilen durch 4 lässt, bei keinem der beiden Zerfälle: Ein Nuklid kann seine Restklasse nie verlassen. Da es beim Teilen durch 4 nur die Reste 0, 1, 2 und 3 gibt, zerfallen alle schweren Kerne innerhalb von genau vier voneinander getrennten Familien — den vier Zerfallsreihen \(4n\), \(4n+1\), \(4n+2\) und \(4n+3\).

Für Radium-226 gilt \(226 = 4\cdot 56 + 2\), der Rest ist also 2. \({}^{226}\mathrm{Ra}\) gehört damit zur Reihe \(4n+2\), das ist die Uran-Radium-Reihe, die bei \({}^{238}\mathrm{U}\) beginnt und bei \({}^{206}\mathrm{Pb}\) endet.

2

Wege zum Stabilitätstal

AFB III

Die schwarzen, stabilen Nuklide bilden auf der Karte ein schmales Band — das Stabilitätstal. Jeder radioaktive Kern wandert mit seinen Zerfällen darauf zu. Aus der Lage eines Nuklids relativ zu diesem Band lässt sich deshalb vorhersagen, wie es zerfallen wird.

  1. Die Uran-Radium-Reihe führt von \({}^{238}_{\ 92}\mathrm{U}\) bis zum stabilen \({}^{206}_{\ 82}\mathrm{Pb}\). Bestimmen Sie, wie viele \(\alpha\)- und wie viele \(\beta^-\)-Zerfälle die Reihe insgesamt enthält.
  2. Das Nuklid \({}^{137}_{\ 55}\mathrm{Cs}\) entsteht bei der Kernspaltung; das stabile Nuklid mit \(A=137\) ist \({}^{137}_{\ 56}\mathrm{Ba}\). Nennen Sie die zu erwartende Zerfallsart von \({}^{137}\mathrm{Cs}\) und begründen Sie Ihre Vorhersage mit der Lage des Nuklids auf der Nuklidkarte.
  3. In einem Schulbuch steht: „Am Ende jeder Zerfallsreihe steht Blei — deshalb findet man in alten Uranmineralien immer Blei.“ Nehmen Sie zu dieser Aussage Stellung und beziehen Sie dabei die Neptunium-Reihe (\({}^{237}\mathrm{Np}\), \(T_{1/2}=2{,}1\cdot10^{6}\ \mathrm{a}\), Endnuklid \({}^{209}\mathrm{Bi}\)) sowie das Alter der Erde von etwa \(4{,}5\cdot10^{9}\ \mathrm{a}\) ein.
Hinweis zu Aufgabe a)
Nur der \(\alpha\)-Zerfall ändert die Massenzahl. Bestimme daraus zuerst die Anzahl der \(\alpha\)-Zerfälle und erst danach über die Ordnungszahl die Anzahl der \(\beta^-\)-Zerfälle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\alpha\)-Zerfälle: Nur sie ändern \(A\), und zwar jeweils um \(-4\).
\(\Delta A = 238-206 = 32\), also \(n_\alpha = \dfrac{32}{4} = 8\).

\(\beta^-\)-Zerfälle: Die acht \(\alpha\)-Zerfälle allein würden \(Z\) um \(8\cdot 2 = 16\) senken, also von 92 auf 76. Tatsächlich endet die Reihe bei \(Z=82\). Es fehlen \(82-76 = 6\) Einheiten, und jeder \(\beta^-\)-Zerfall erhöht \(Z\) um 1: \(n_{\beta^-} = 6\).

Kontrolle: \(92 - 2\cdot 8 + 1\cdot 6 = 92-16+6 = 82\) \(\checkmark\); \(238 - 4\cdot 8 = 206\) \(\checkmark\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Vergleiche die Neutronenzahlen der beiden Nuklide. Liegt \({}^{137}\mathrm{Cs}\) rechts oder links vom stabilen Nachbarn — und welche Zerfallsart bewegt ein Kästchen nach links oben?
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Erwartet wird ein \(\beta^-\)-Zerfall: \({}^{137}_{\ 55}\mathrm{Cs}\longrightarrow{}^{137}_{\ 56}\mathrm{Ba}+e^-+\bar\nu_e\).

Begründung: Beide Nuklide sind Isobare mit \(A=137\), liegen auf der Karte also auf derselben Diagonalen. \({}^{137}\mathrm{Cs}\) hat \(N=137-55=82\) Neutronen, das stabile \({}^{137}\mathrm{Ba}\) nur \(N=137-56=81\). Cäsium-137 besitzt also einen Neutronenüberschuss und liegt rechts vom Stabilitätstal. Kerne in diesem Bereich wandeln im Kern ein Neutron in ein Proton um; auf der Karte ist das der Zug „eine Spalte nach links, eine Zeile nach oben“ — und damit genau der Schritt, der von Cs-137 zum stabilen Ba-137 führt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfe zwei Dinge getrennt: Stimmt die Aussage für alle vier Reihen? Und wie viele Halbwertszeiten des Neptunium-Starters passen in das Alter der Erde?„Stellung nehmen“ verlangt ein abwägendes Urteil: Der zutreffende Kern der Aussage soll ebenso benannt werden wie ihre Ungenauigkeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Aussage trifft im Kern zu, ist aber zu allgemein formuliert und muss in zwei Punkten eingeschränkt werden.

Erstens: Nicht jede Reihe endet bei Blei. Drei der vier Reihen tun es (\({}^{208}\mathrm{Pb}\), \({}^{206}\mathrm{Pb}\), \({}^{207}\mathrm{Pb}\)), die Neptunium-Reihe \(4n+1\) endet dagegen beim stabilen Bismut-Isotop \({}^{209}\mathrm{Bi}\).

Zweitens: Der zweite Halbsatz gilt trotzdem — allerdings aus einem anderen Grund als dem im Buch genannten. Der Starter der Neptunium-Reihe hat mit \(2{,}1\cdot10^{6}\ \mathrm{a}\) eine Halbwertszeit, die winzig ist gegenüber dem Erdalter: \(\dfrac{4{,}5\cdot10^{9}}{2{,}1\cdot10^{6}}\approx 2100\) Halbwertszeiten. Von ursprünglich vorhandenem \({}^{237}\mathrm{Np}\) ist deshalb längst nichts mehr übrig — die Reihe ist in der Natur ausgestorben. In Uranmineralien laufen nur die Uran- und die Thorium-Reihe, und die enden tatsächlich alle bei Blei.

Präzise formuliert müsste es also heißen: „Die drei in der Natur noch vorkommenden Zerfallsreihen enden bei Blei.“ Das ist ein gutes Beispiel dafür, dass eine physikalische Aussage stets ihren Gültigkeitsbereich mitnennen sollte.