Ein Zählrohr wird in Betrieb genommen
AFB IIIn einem Schulversuch soll ein Geiger-Müller-Zählrohr für spätere Messungen richtig eingestellt werden. Dazu wird die Betriebsspannung \(U\) schrittweise erhöht und jedes Mal die Zählrate \(n\) bestimmt (Material M1).
| \(U\) in V | 280 | 320 | 360 | 400 | 440 | 480 | 520 | 560 | 600 | 640 | 680 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(n\) in \(\tfrac{1}{\mathrm{s}}\) | 0 | 4 | 96 | 148 | 151 | 154 | 156 | 158 | 161 | 205 | 470 |
Ein Präparat bleibt während der gesamten Messreihe in festem Abstand vor dem Zählrohrfenster; gemessen wird jeweils 60 s lang. Die Werte sind bereits um den Nulleffekt korrigiert.
- Zeichnen Sie das \(n\)-\(U\)-Diagramm zu M1 und beschreiben Sie die drei Bereiche, die die Kurve erkennen lässt.
- Bestimmen Sie aus M1 eine geeignete Betriebsspannung für das Zählrohr und begründen Sie Ihre Wahl.
- Der Anodendraht im Inneren des Zählrohrs ist nur etwa \(0{,}05\ \mathrm{mm}\) dick. Für die Feldstärke im Zylinderkondensator gilt \(E(r)=\dfrac{U}{r\cdot\ln(r_{\text{a}}/r_{\text{i}})}\). Erklären Sie mithilfe dieser Beziehung, warum der Draht so dünn sein muss, damit das Zählrohr überhaupt Impulse liefert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Das Diagramm zeigt die typische Zählrohrcharakteristik:
Bereich 1 (bis etwa 340 V): Unterhalb der Einsatzspannung \(U_{\text{E}}\approx 350\ \mathrm{V}\) ist das Feld zu schwach, um Elektronenlawinen zu zünden — die Zählrate liegt bei nahezu null. Bereich 2 (etwa 400 V bis 600 V): das Plateau bzw. der Betriebsbereich. Die Zählrate steigt nur noch schwach von \(148\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\) auf \(161\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\) an; jedes eintreffende Teilchen löst genau einen Impuls aus. Bereich 3 (ab etwa 640 V): Die Rate steigt steil an (205, dann 470 \(\tfrac{1}{\mathrm{s}}\)) — das Rohr geht in die Dauerentladung über.
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Geeignet ist eine Spannung in der Mitte des Plateaus, also etwa \(U_{\text{B}}=500\ \mathrm{V}\). Begründung: Im Plateau ändert sich die Zählrate über \(200\ \mathrm{V}\) nur um \(\frac{161-148}{148}\approx 9\ \%\). Kleine Schwankungen der Betriebsspannung wirken sich daher kaum auf das Messergebnis aus. Am unteren Plateaurand bestünde die Gefahr, unter die Einsatzspannung zu rutschen, am oberen Rand die Gefahr der Dauerentladung, die das Rohr zerstören kann.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Nach \(E(r)=\dfrac{U}{r\cdot\ln(r_{\text{a}}/r_{\text{i}})}\) ist die Feldstärke umgekehrt proportional zum Abstand \(r\) von der Drahtachse. Direkt an einem sehr dünnen Draht wird \(r\) sehr klein und \(E\) damit sehr groß — deutlich größer als im übrigen Rohrvolumen. Nur in dieser schmalen Zone werden freie Elektronen auf einer Strecke zwischen zwei Stößen so stark beschleunigt, dass ihre Energie zur Stoßionisation ausreicht. Erst dadurch entsteht aus dem einen Startelektron die Elektronenlawine, die den messbaren Stromstoß liefert. Bei einem dicken Draht bliebe \(E\) überall klein, die Lawine würde nicht zünden und das Rohr könnte einzelne Teilchen nicht nachweisen.
Nulleffekt und Totzeit — welche Korrektur wann?
AFB IIIEine Schülergruppe misst mit demselben Zählrohr an drei sehr unterschiedlichen Situationen (Material M1). Beide Korrekturen, die man an einer Zählrate anbringen kann, wirken hier unterschiedlich stark.
| Messung | Situation | Impulse | Messdauer |
|---|---|---|---|
| N | kein Präparat im Raum (Nulleffekt) | 254 | 600 s |
| A | starkes Präparat, 2 cm vor dem Fenster | 150 000 | 60 s |
| B | schwache Bodenprobe, 2 cm vor dem Fenster | 96 | 60 s |
Das Zählrohr hat laut Datenblatt eine Totzeit von \(\tau = 120\ \mu\mathrm{s}\) und wird bei \(U_{\text{B}} = 500\ \mathrm{V}\) betrieben.
- Berechnen Sie für alle drei Messungen die Zählrate \(n\) und für die Messung A zusätzlich die totzeitkorrigierte Rate \(n_{\text{wahr}}=\dfrac{n}{1-n\tau}\).
- Beurteilen Sie, bei welcher der beiden Messungen A und B die Totzeitkorrektur und bei welcher der Abzug des Nulleffekts unverzichtbar ist. Begründen Sie mit den Zahlenwerten aus a).
- Ein Schüler schlägt vor, bei Messung B die Betriebsspannung von \(500\ \mathrm{V}\) auf \(680\ \mathrm{V}\) zu erhöhen, „damit das Rohr endlich mehr zählt“. Nehmen Sie zu diesem Vorschlag Stellung und entwickeln Sie ein besser geeignetes Vorgehen, um für die Bodenprobe ein belastbares Ergebnis zu erhalten.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nulleffekt: \(n_0=\dfrac{254}{600\ \mathrm{s}}=0{,}42\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\).
Messung A: \(n_{\text{A}}=\dfrac{150\,000}{60\ \mathrm{s}}=2500\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\).
Messung B: \(n_{\text{B}}=\dfrac{96}{60\ \mathrm{s}}=1{,}6\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\).
Totzeitanteil bei A: \(n_{\text{A}}\cdot\tau = 2500\cdot 120\cdot10^{-6}=0{,}30\).
\(n_{\text{wahr}}=\dfrac{2500}{1-0{,}30}=\dfrac{2500}{0{,}70}\approx 3{,}6\cdot10^{3}\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Messung A: Die Totzeitkorrektur ist unverzichtbar — das Rohr ist 30 % der Zeit blind, die wahre Rate liegt rund 43 % über der gemessenen. Der Nulleffekt beträgt dagegen nur \(\frac{0{,}42}{2500}\approx 0{,}02\ \%\) und ist völlig vernachlässigbar.
Messung B: Genau umgekehrt. Der Nulleffekt macht \(\frac{0{,}42}{1{,}6}\approx 26\ \%\) der Bruttorate aus; ohne Abzug erhielte man einen deutlich zu großen Wert. Die Nettorate der Probe beträgt nur \(1{,}6-0{,}42=1{,}18\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\). Die Totzeit ist hier bedeutungslos: \(n_{\text{B}}\cdot\tau=1{,}9\cdot10^{-4}\), also eine Korrektur von unter 0,02 %.
Fazit: Bei hohen Raten korrigiert man die Totzeit, bei kleinen Raten den Nulleffekt.
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Der Vorschlag ist abzulehnen. Bei \(680\ \mathrm{V}\) liegt das Rohr laut M1 aus Aufgabe 1 im Dauerentladungsbereich: Die Rate von \(470\ \tfrac{1}{\mathrm{s}}\) stammt dort nicht mehr von einzelnen Teilchen, sondern von einer selbstständigen Entladung. Man würde also nicht „mehr Strahlung“ messen, sondern gar keine gültigen Messwerte mehr erhalten — und riskiert zusätzlich, das Zählrohr zu zerstören.
Sinnvoll ist stattdessen: Betriebsspannung im Plateau belassen (500 V) und die Zahl der registrierten Impulse erhöhen. Konkret: (1) Messdauer stark verlängern, z. B. auf 30 min statt 60 s — dann steigt die Impulszahl von 96 auf etwa 2100, die relative statistische Unsicherheit sinkt entsprechend; (2) Probe näher ans Fenster bringen bzw. mehr Probenmaterial verwenden; (3) den Nulleffekt unter denselben Bedingungen ebenfalls über eine lange Zeit messen und erst dann abziehen; (4) das Präparat durch eine Bleiabschirmung gegen Umgebungsstrahlung abschirmen, um \(n_0\) zu senken.