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Übung AFB II

Jetzt wird kombiniert: mehrere Schritte, umgestellte Formeln und Aufgaben zu elektrischen Feldern und Kondensatoren, die du erst durchdenken musst.

0 Aufgaben

Jetzt verknüpfst du mehrere Größen: oft musst du zwei Formeln kombinieren, eine Größe zuerst aus einer anderen bestimmen oder einen Zusammenhang begründen. Das ist der Schwerpunkt jeder Abiturklausur — der Anforderungsbereich II. Konstanten: \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\), \(m_e=9{,}11\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\), \(\varepsilon_0=8{,}85\cdot10^{-12}\,\mathrm{\tfrac{F}{m}}\), \(g=9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\).

1

Beschleunigung und Bewegung im Feld

Energiesatz und Kraftansatz kombinieren
1Geschwindigkeit nach BeschleunigungAFB II

Ein Elektron wird aus der Ruhe durch die Spannung \(U=500\,\mathrm{V}\) beschleunigt.

Berechnen Sie die Endgeschwindigkeit \(v\) in \(10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\).

·10⁶ \(\mathrm{\frac{m}{s}}\)
Die gesamte vom Feld übertragene Energie wird zu kinetischer Energie: \(e\cdot U=\tfrac12 m_e v^2\).
Nach \(v\) umstellen: \(v=\sqrt{\dfrac{2eU}{m_e}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot500}{9{,}11\cdot10^{-31}}}\approx1{,}33\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}=13{,}3\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\).
2Beschleunigung im PlattenkondensatorAFB II

Im Plattenkondensator: \(U=300\,\mathrm{V}\), \(d=4{,}0\,\mathrm{cm}\). Ein Elektron startet im Feld.

Berechnen Sie die Beschleunigung \(a\) in \(10^{15}\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\).

·10¹⁵ \(\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\)
Drei Schritte: erst \(E=\dfrac{U}{d}\), dann \(F=e\cdot E\), dann \(a=\dfrac{F}{m_e}\).
\(E=\dfrac{300}{0{,}04}=7500\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\); \(F=eE=1{,}2\cdot10^{-15}\,\mathrm{N}\); \(a=\dfrac{F}{m_e}=\dfrac{1{,}2\cdot10^{-15}}{9{,}11\cdot10^{-31}}\approx1{,}3\cdot10^{15}\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\).
3Warum d nicht zähltAFB II

Begründen Sie, dass die Endgeschwindigkeit beim Durchlaufen der Spannung \(U\) nicht vom Plattenabstand \(d\) abhängt.

Musterlösung anzeigen

Die vom Feld übertragene Energie ist \(W=e\cdot U\) — sie hängt nur von der durchlaufenen Spannung ab, nicht von \(d\). Aus \(e U=\tfrac12 m_e v^2\) folgt \(v=\sqrt{\tfrac{2eU}{m_e}}\); \(d\) kommt nicht vor. Ein kleineres \(d\) erhöht zwar \(E\) und damit die Kraft, aber die Wirkstrecke wird im gleichen Maß kürzer — die Energie bleibt gleich.

2

Schwebende Ladung — Millikan-Prinzip

Kräftegleichgewicht auswerten
4Ladung eines schwebenden TröpfchensAFB II

Ein geladenes Öltröpfchen (\(m=1{,}63\cdot10^{-15}\,\mathrm{kg}\)) schwebt im Feld eines Plattenkondensators mit \(U=300\,\mathrm{V}\), \(d=6{,}0\,\mathrm{mm}\).

Berechnen Sie die Ladung \(q\) in \(10^{-19}\,\mathrm{C}\).

·10⁻¹⁹ C
Schweben heißt Kräftegleichgewicht: elektrische Kraft = Gewichtskraft, \(q\,E=m\,g\) mit \(E=\dfrac{U}{d}\).
\(E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{300}{0{,}006}=5{,}0\cdot10^{4}\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\). Aus \(qE=mg\): \(q=\dfrac{mg}{E}=\dfrac{1{,}63\cdot10^{-15}\cdot9{,}81}{5{,}0\cdot10^{4}}\approx3{,}2\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\).
5Anzahl der ElementarladungenAFB II

Verwende dein Ergebnis \(q=3{,}2\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\) und \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm{C}\).

Ermitteln Sie, wie vielen Elementarladungen das entspricht.

Elementarladungen
Die Ladung ist immer ein ganzzahliges Vielfaches von \(e\): \(n=\dfrac{q}{e}\).
\(n=\dfrac{q}{e}=\dfrac{3{,}2\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=2\). Das Tröpfchen trägt zwei überschüssige Elektronen.
2

Plattenkondensator und Dielektrikum

Kapazität aus dem Aufbau
6Kapazität eines PlattenkondensatorsAFB II

Plattenfläche \(A=120\,\mathrm{cm^2}\), Abstand \(d=0{,}50\,\mathrm{mm}\), Luft (\(\varepsilon_r=1\)).

Berechnen Sie die Kapazität \(C\) in Pikofarad (pF).

pF
Formel: \(C=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d}\). Umrechnen: \(A=0{,}012\,\mathrm{m^2}\), \(d=5{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{m}\).
\(C=\varepsilon_0\dfrac{A}{d}=8{,}85\cdot10^{-12}\cdot\dfrac{0{,}012}{5{,}0\cdot10^{-4}}\approx2{,}12\cdot10^{-10}\,\mathrm{F}=212\,\mathrm{pF}\).
7Wirkung des DielektrikumsAFB II

Begründen Sie, wie sich die Kapazität ändert, wenn der Zwischenraum vollständig mit einem Dielektrikum (\(\varepsilon_r=5\)) gefüllt wird, und geben Sie den neuen Wert an.

Musterlösung anzeigen

In \(C=\varepsilon_0\,\varepsilon_r\,\dfrac{A}{d}\) ist \(C\) direkt proportional zu \(\varepsilon_r\). Mit \(\varepsilon_r=5\) wird die Kapazität also fünfmal so groß: \(C=5\cdot212\,\mathrm{pF}\approx1060\,\mathrm{pF}=1{,}06\,\mathrm{nF}\). Anschaulich: Das Dielektrikum schwächt das Feld zwischen den Platten, sodass bei gleicher Spannung mehr Ladung gespeichert werden kann.

2

Entladung eines Kondensators

Exponentielles Verhalten und Herleitung
8ZeitkonstanteAFB II

Ein Kondensator \(C=100\,\mu\mathrm{F}\) entlädt sich über \(R=47\,\mathrm{k\Omega}\).

Berechnen Sie die Zeitkonstante \(\tau=R\cdot C\) in Sekunden.

s
\(\tau=R\cdot C\). Achtung Einheiten: \(47\,\mathrm{k\Omega}=4{,}7\cdot10^{4}\,\Omega\), \(100\,\mu\mathrm{F}=1{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{F}\).
\(\tau=R\,C=4{,}7\cdot10^{4}\,\Omega\cdot1{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm{F}=4{,}7\,\mathrm{s}\).
9Halbwertszeit der EntladungAFB II

Die Entladung verläuft nach \(U(t)=U_0\cdot e^{-\frac{t}{RC}}\), \(\tau=4{,}7\,\mathrm{s}\).

Berechnen Sie die Zeit \(t_{1/2}\), nach der die Spannung auf die Hälfte gesunken ist (in s).

s
Setze \(U=\tfrac12 U_0\) ein und löse nach \(t\): \(t_{1/2}=\tau\cdot\ln 2\).
\(\tfrac12=e^{-\frac{t}{\tau}}\Rightarrow t_{1/2}=\tau\ln2=4{,}7\,\mathrm{s}\cdot0{,}693\approx3{,}26\,\mathrm{s}\).
10Herleitung der HalbwertszeitAFB II

Leiten Sie ausgehend von \(U(t)=U_0\,e^{-\frac{t}{RC}}\) die Gleichung \(t_{1/2}=R\,C\cdot\ln 2\) her.

Musterlösung anzeigen

Bedingung halbe Spannung: \(U(t_{1/2})=\tfrac12 U_0\).

\(\tfrac12 U_0=U_0\,e^{-\frac{t_{1/2}}{RC}}\;\Rightarrow\;\tfrac12=e^{-\frac{t_{1/2}}{RC}}\)

Logarithmieren: \(\ln\tfrac12=-\dfrac{t_{1/2}}{RC}\). Mit \(\ln\tfrac12=-\ln2\) folgt \(t_{1/2}=R\,C\cdot\ln2\). \(\;\square\)