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Spannung: Energie pro Ladung

Eine Spannung ist mehr als „Antrieb“ — sie sagt, wie viel Energie pro Ladung im Feld steckt. Der Schlüssel ist die kompakte Formel W = q · U.

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Energie im elektrischen Feld

Auf eine Ladung im elektrischen Feld wirkt eine Kraft. Bewegt sie sich, überträgt das Feld Energie auf sie — wie die Gewichtskraft auf einen fallenden Körper.

  • Formelzeichen:Die Energie heißt hier \(W\) statt \(E\), weil \(E\) schon für die elektrische Feldstärke steht.
  • Kraft:\(F=q\cdot E\) (1.1.5); im homogenen Feld zwischen zwei Platten auf dem ganzen Weg konstant.
  • Energie:bei konstanter Kraft längs des Weges \(d\) gilt „Kraft mal Weg“: \(W=F\cdot d=q\cdot E\cdot d\).
  • Richtung:mit der Feldkraft gewinnt die Ladung Energie, gegen die Feldkraft muss Energie zugeführt werden.
  • Problem:\(W\) ist proportional zu \(q\) — doppelte Ladung, doppelte Energie, obwohl das Feld gleich bleibt.
  • Ausweg:der Quotient \(\dfrac{W}{q}\) ist für jede Ladung gleich; er beschreibt nur das Feld zwischen den beiden Punkten.
Kraft mal Weg — die Ausgangslage im homogenen Feld
Konstante Kraft — die Energie ist einfach Kraft mal Weg + − Feldstärke E q q F = q · E d W = F · d = q · E · d Gezählt wird nur der Wegabschnitt längs der Feldrichtung.
Die Energie wächst mit der Ladung — ihr Quotient nicht
Gleiches Feld, gleiche Strecke — nur die Ladung ändert sich Ladung übertragene Energie W = q · E · d Quotient W / q q W W / q 2q 2 W W / q 3q 3 W W / q verschieden lang immer gleich groß Der Quotient hängt nicht von der Ladung ab — nur vom Feld.
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Die zentrale Formel W = q · U

Der Quotient \(\dfrac{W}{q}\) aus Phase 1 bekommt einen eigenen Namen: elektrische Spannung \(U\).

Definition
Elektrische Spannung
Quotient aus der Energie \(W\), die beim Verschieben einer Ladung zwischen zwei Punkten umgesetzt wird, und dieser Ladung \(q\). Formelzeichen \(U\), Einheit Volt: \([U]=\mathrm{V}\).
\(\displaystyle U=\frac{W}{q}\)
\([U]=1\,\mathrm{V}=1\,\mathrm{\dfrac{J}{C}}\)
U = Spannung in Volt (V)  ·  W = Energie in Joule (J)  ·  q = Ladung in Coulomb (C)

Herleitung:

\(U=\dfrac{W}{q}\)
| · \(q\)
Die Definition der Spannung.
\(W=q\cdot U\)
Ergebnis
Die Energie, die eine Ladung \(q\) beim Durchlaufen der Spannung \(U\) aufnimmt oder abgibt.
Merke

Energie im Feld: \(W=q\cdot U\)

  • Bedeutung:12 V heißt: Jedes Coulomb setzt zwischen den beiden Punkten 12 J um.
  • Nur zwei Größen:in \(W=q\cdot U\) stehen nur Ladung und Spannung — keine Masse, kein Weg.
  • Wegunabhängig:zwischen zwei festen Punkten liegt immer dieselbe Spannung, egal auf welcher Bahn die Ladung läuft.
  • Proportional:doppelte Ladung oder doppelte Spannung → doppelte Energie.

Der Zähler unten misst die Energie, die das Feld an der Ladung umsetzt, wenn sie einen der drei Wege durchläuft.

Drei Wege von A nach B

Nur der Weganteil längs der Feldlinien zählt + − A B q umgesetzte Energie Der gerade Weg ist der kürzeste — die Energie ist bei allen Wegen gleich.
Weglänge
6,0 cm
Spannung U
400 V
Energie W = q · U
0,80 mJ

Ladung q = 2,0 µC. Quer zu den Feldlinien bleibt der Zähler stehen — dieser Wegabschnitt bringt keine Energie.

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Das Elektronenvolt — die Energieeinheit der Teilchen

Für einzelne Teilchen ist das Joule unhandlich groß. Deshalb gibt es eine eigene Energieeinheit.

  • Elektronenvolt:1 eV ist die Energie, die ein Teilchen mit der Ladung \(e\) beim Durchlaufen von 1 V aufnimmt.
  • Ablesen:bei einfach geladenen Teilchen gilt: Energie in eV = Spannung in V.
  • Mehrfach geladen:mit \(q=n\cdot e\) ist die Energie \(n\)-mal so groß.
  • Vielfache:keV, MeV, GeV (Tabelle unten).
Formel

Umrechnung

\(1\,\mathrm{eV}=e\cdot1\,\mathrm V=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm J\)

Beide Teilchen durchlaufen dieselbe Spannung. Oben liegt zum Vergleich immer ein einfach geladenes Teilchen, unten eines mit der eingestellten Ladungszahl n.

Ladungszahl und Energie

Gleiche Spannung, andere Ladung — die Energie wächst mit n Vergleich: einfach geladen (q = e) 1e 400 eV dein Teilchen: q = 1 · e 1e 400 eV 0 3 keV 6 keV Bei einfacher Ladung stimmt die eV-Zahl genau mit der Voltzahl überein.
Spannung U
400 V
Energie in eV
400 eV
Energie in Joule
6,4·10⁻¹⁷ J

Beispiel: Ein zweifach geladenes Ion nimmt bei 1000 V bereits 2000 eV auf.

Von Volt zu Joule und zurück

Welche Energie nimmt ein Elektron auf, das die Spannung U = 600 V durchläuft?

Ansatz\(W=e\cdot U\)
Einsetzen\(W=1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm C\cdot600\,\mathrm V=9{,}6\cdot10^{-17}\,\mathrm J\)
In eV\(600\,\mathrm{eV}=0{,}6\,\mathrm{keV}\) — ohne Rechnung an der Spannung ablesbar.
Vielfache des Elektronenvolts
Einheitin Joulewo sie auftritt
\(1\,\mathrm{eV}\)\(1{,}6\cdot10^{-19}\,\mathrm J\)Bindung eines Elektrons in einem Molekül
\(1\,\mathrm{keV}=10^{3}\,\mathrm{eV}\)\(1{,}6\cdot10^{-16}\,\mathrm J\)Elektronen in einer Röntgenröhre
\(1\,\mathrm{MeV}=10^{6}\,\mathrm{eV}\)\(1{,}6\cdot10^{-13}\,\mathrm J\)Teilchen aus radioaktiven Zerfällen
\(1\,\mathrm{GeV}=10^{9}\,\mathrm{eV}\)\(1{,}6\cdot10^{-10}\,\mathrm J\)Protonen in großen Beschleunigern
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Allgemeine Hinweise

Elektronen laufen zur Plusplatte

Negative Ladungen werden gegen die Feldlinien beschleunigt. Für die Energie rechnest du mit dem Betrag: \(W=|q|\cdot U\).

eV gleich Volt nur bei einfacher Ladung

Ein einfach geladenes Teilchen nimmt bei 600 V genau 600 eV auf. In \(W=q\cdot U\) steht aber die volle Ladung \(q=n\cdot e\): ein zweifach geladenes Ion holt bei 1000 V schon 2000 eV.

Einheitenprobe Coulomb mal Volt

\(1\,\mathrm{C}\cdot 1\,\mathrm{V}=1\,\mathrm{J}\) — so prüfst du, ob dein Ergebnis wirklich eine Energie ist. Von eV nach Joule geht es mit \(1{,}6\cdot 10^{-19}\).

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