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Auf- und Entladen

Ein Kondensator lädt und entlädt sich nicht schlagartig, sondern exponentiell. Wie schnell, bestimmt allein die Zeitkonstante τ = R·C.

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Warum der Strom beim Laden nachlässt

Ein Kondensator lädt sich nie schlagartig auf: Ein Widerstand \(R\) begrenzt den Strom.

  • Quelle:konstante Spannung \(U_0\).
  • Widerstand R:begrenzt den Strom.
  • Kondensator C:mit jeder Ladung wächst \(U_C=\dfrac{Q}{C}\) (1.3.1).
  • Umschalter:Stellung 1 lädt, Stellung 2 entlädt über denselben Widerstand.
Der Lade- und Entladekreis
1 2 Umschalter I(t) Stellung 1 — Laden: Quelle, R und C in Reihe Stellung 2 — Entladen: C entlädt sich über denselben R

Gleiches \(R\) und \(C\) → Laden und Entladen laufen gleich schnell ab.

  • Spannungsbilanz:\(U_0=U_R+U_C\) in jedem Augenblick.
  • Start:\(U_C=0\), volle Spannung an \(R\), maximaler Strom \(I=\dfrac{U_R}{R}\).
  • Selbstbremsung:\(U_C\) wächst, \(U_R\) und damit \(I\) sinken — der Strom bremst sich selbst aus.

Die Spannungsbilanz \(U_0=U_R+U_C\) ist der Kern der Selbstbremsung — in einem einzigen Standbild lässt sie sich aber schlecht zeigen. Mit fortschreitender Zeit gehen die beiden Anteile ineinander über, während der Strom versiegt.

Spannungsbilanz beim Laden

Die Zeit ist in Vielfachen der Zeitkonstanten \(\tau\) angegeben — dadurch gilt das Bild für jede Kombination aus \(R\) und \(C\). Die beiden farbigen Anteile ergeben zusammen immer die volle Quellenspannung.

Der Ladekreis C +++ −−− UR = 10,0 V UC = 0,0 V I = 100 % von I0 Wie sich U₀ aufteilt U0 0 UR UC U₀ = UR + UC 0τ2τ3τ4τ5τ Zeit
Zeitpunkt
0,00 τ
UR am Widerstand
10,0 V
UC am Kondensator
0,0 V
Strom I / I₀
100 %

Beim Entladen fehlt die Quelle: Dann gilt \(U_R=U_C\), beide fallen gemeinsam auf null.

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Der exponentielle Verlauf und τ = R·C

Anfangs viel Strom, später kaum noch: Die Kurven sind am Anfang steil und am Ende fast waagerecht (e-Funktion).

Formel

Entladen / Laden

Entladen:  \(U(t)=U_0\,e^{-\frac{t}{RC}}\)
Laden:  \(U(t)=U_0\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)\)
\(U(t)\): Spannung am Kondensator zur Zeit \(t\), \([U]=\mathrm V\); \(U_0\): Quellenspannung bzw. Anfangsspannung; \(t\): Zeit seit dem Umschalten, \([t]=\mathrm s\).
Laden und Entladen im direkten Vergleich
Laden U0 0,63·U0 0 τ t U Nach einem τ sind 63 % erreicht. Entladen U0 0,37·U0 0 τ t U Nach einem τ sind noch 37 % übrig.

Beide Kurven sind spiegelbildlich, \(\tau\) ist dieselbe.

Formel

Zeitkonstante

\(\tau=R\cdot C\)
\(R\): Widerstand, \([R]=\Omega\); \(C\): Kapazität, \([C]=\mathrm F\); \(\tau\): Zeitkonstante, \([\tau]=\mathrm s\). Zur Probe: \(1\,\Omega\cdot1\,\mathrm F=1\,\mathrm s\).
Merke

Die Zeitkonstante: \(\tau=R\cdot C\) ist das Tempomaß jedes Lade- und Entladevorgangs: nach \(\tau\) sind noch \(37\,\%\) übrig, nach \(5\,\tau\) ist er praktisch beendet. \(\tau\) hängt nur von R und C ab — nicht von der Anfangsspannung.

  • Einstellen:über \(R\) oder \(C\) — beide gehen als Faktor ein.
  • Laden:nach \(\tau\) sind \(63\,\%\) von \(U_0\) erreicht.
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Der Strom über die Zeit

Die Stromstärke fällt bei beiden Vorgängen — nach derselben e-Funktion. Am Anfang liegt \(U_0\) ganz an \(R\): \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\).

Formel

Der t-I-Zusammenhang

\(I(t)=I_0\,e^{-\frac{t}{RC}}\qquad\text{mit}\qquad I_0=\dfrac{U_0}{R}\)
\(I_0\): Anfangsstromstärke, \([I]=\mathrm A\); \(\tau=R\,C\): Zeitkonstante, \([\tau]=\mathrm s\). Dieselbe Gleichung gilt für den Lade- und den Entladevorgang.
Die Stromstärke fällt in beiden Fällen
Laden I0 0,37·I0 0 I t τ Strom fließt zum Kondensator Entladen I0 0,37·I0 0 I t τ Strom fließt vom Kondensator weg Gleiche Kurvenform, gleiche Zeitkonstante — nur die Stromrichtung dreht sich um.

Nach \(\tau\) sind noch 37 % von \(I_0\) übrig; beim Entladen fließt der Strom in umgekehrter Richtung durch \(R\).

Vom Bauteilwert zur Stromstärke

Laden über R = 2,0 kΩ auf U₀ = 12 V, Kapazität C = 500 µF.

Zeitkonstante\(\tau=R\,C=2000\,\Omega\cdot500\cdot10^{-6}\,\mathrm F=1{,}0\,\mathrm s\)
Anfangsstrom\(I_0=\dfrac{U_0}{R}=\dfrac{12\,\mathrm V}{2000\,\Omega}=6{,}0\,\mathrm{mA}\)
Strom nach τ\(I(\tau)=I_0\,e^{-1}=6{,}0\,\mathrm{mA}\cdot0{,}368\approx2{,}2\,\mathrm{mA}\)
Strom nach 3 s\(I(3\,\mathrm s)=6{,}0\,\mathrm{mA}\cdot e^{-3}\approx0{,}30\,\mathrm{mA}\)
  • Rückwärts:aus einem t-I-Diagramm: \(I_0\) ablesen → \(R=\dfrac{U_0}{I_0}\); Zeit bis 37 % → \(\tau\) → \(C=\dfrac{\tau}{R}\).

Spannung und Stromstärke gehorchen derselben Zeitkonstanten — im Diagramm sieht man das am besten nebeneinander. Der Messcursor zeigt zu einem beliebigen Zeitpunkt, was an \(R\), \(C\) und \(U_0\) wirklich anliegt.

Lade- und Entladekurve

Die Zeitachse passt sich automatisch an: Sie reicht immer bis \(5\tau\), damit der ganze Vorgang sichtbar bleibt. Die gestrichelte Marke sitzt bei \(\tau\), der rote Cursor lässt sich frei verschieben, und die orange Kurve ist die Stromstärke mit eigener Achse rechts.

U in V I in mA t 02,55,07,510,0 00,51,01,52,0 0τ2τ3τ4τ5τ 0 s2,0 s4,0 s6,0 s8,0 s10,0 s nach τ noch 37 % t = 0 s · U = 10,0 V U(t)I(t)
τ = R · C
2,0 s
Zeitpunkt t
0 s
U am Kondensator
10,0 V
Anteil von U₀
100 %
Stromstärke I
1,00 mA

Modell: widerstandsfreie Zuleitungen, verlustfreier Kondensator. \(U\) und \(I\) haben getrennte Achsen — dass die Kurven aufeinanderliegen, liegt an der gleichen Zeitkonstanten.

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Von τ zur Halbwertszeit

Anschaulicher als 37 % ist die Halbwertszeit \(t_{1/2}\): die Zeit, nach der nur noch die Hälfte der Spannung übrig ist.

Herleitung:

\(\tfrac12\,U_0=U_0\,e^{-\frac{t_{1/2}}{\tau}}\)
| : \(U_0\)
Gesucht ist die Zeit, nach der nur noch die halbe Spannung da ist.
\(\tfrac12=e^{-\frac{t_{1/2}}{\tau}}\)
| \(\ln\)
Die Anfangsspannung kürzt sich heraus.
\(-\ln 2=-\dfrac{t_{1/2}}{\tau}\)
| · \((-\tau)\)
Logarithmieren; dabei ist \(\ln\tfrac12=-\ln 2\).
\(t_{1/2}=\tau\cdot\ln 2\approx 0{,}69\cdot\tau\)
Ergebnis
Die Halbwertszeit ist immer rund 69 % der Zeitkonstante.
Formel

Halbwertszeit

\(t_{1/2}=\tau\cdot\ln 2\approx 0{,}69\cdot\tau\)
\(t_{1/2}\): Zeit bis zur halben Spannung, \(\tau=R\,C\): Zeitkonstante
Jede Halbwertszeit halbiert erneut
U t U0U0/2U0/4U0/8 t1/22·t1/23·t1/2 gleich lange Abschnitte — jedes Mal die Hälfte t1/2 = τ · ln 2 ≈ 0,69 · τ

Nach jeder Halbwertszeit halbiert sich die Spannung erneut — egal, von welchem Wert man startet.

Zeitkonstante und Halbwertszeit

Entladung über R = 10 kΩ und C = 100 µF.

Zeitkonstante\(\tau=R\,C=10^{4}\cdot10^{-4}=1{,}0\,\mathrm s\)
Halbe Spannung\(t_{1/2}=\tau\cdot\ln2\approx0{,}69\,\mathrm s\)
Nach τ\(U(\tau)=U_0\cdot e^{-1}\approx0{,}37\,U_0\)

Zeit gesucht: \(t=\tau\cdot\ln\dfrac{U_0}{U}\) — der Bruch immer „groß durch klein“.

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Allgemeine Hinweise

Auch beim Laden fällt I

\(I(t)=I_0e^{-t/RC}\) gilt für beide Vorgänge: Der Strom sinkt auch beim Laden, obwohl \(U_C\) dabei steigt. Nur die Stromrichtung durch \(R\) unterscheidet Laden und Entladen.

τ nur in Grundeinheiten

\(\tau=R\,C\) verlangt Ohm und Farad: \(4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\cdot1000\,\mu\mathrm F=4{,}7\,\mathrm s\). Wer \(\mathrm{k\Omega}\) und \(\mu\mathrm F\) direkt multipliziert, verfehlt das Ergebnis um Zehnerpotenzen.

37 Prozent und 63 Prozent

Nach einem \(\tau\) sind beim Entladen noch \(37\,\%\) übrig, beim Laden schon \(63\,\%\) erreicht — und \(\tau\) hängt nur von \(R\) und \(C\) ab, nie von \(U_0\).

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