Ein Tsunami im Pazifik
AFB IIAm 11. März 2011 löste ein Seebeben vor der japanischen Küste einen Tsunami aus. Auf dem offenen Ozean ist eine solche Welle kaum zu bemerken: Der Wellenberg ist nur wenige Dezimeter hoch, aber extrem lang gezogen. Ein Warnzentrum auf Hawaii wertet die Daten von Bojen aus, die im Ozean verankert sind und ihre senkrechte Auslenkung ständig messen (Material M1).
| Größe | Wellenlänge \(\lambda\) | Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\) | Höhe des Wellenbergs | Entfernung Boje – Hawaii |
|---|---|---|---|---|
| Wert | 200 km | 720 km/h | 0,4 m | 3600 km |
Die Boje bewegt sich beim Durchlaufen der Welle auf und ab, wandert aber nicht mit der Welle mit.
- Erklären Sie am Beispiel der Warnboje, was sich bei einer Welle ausbreitet und was nicht.
- Berechnen Sie die Schwingungsdauer \(T\) und die Frequenz \(f\) der Tsunamiwelle.
- Das Warnzentrum erhält das Bojensignal praktisch verzögerungsfrei. Berechnen Sie, wie viel Zeit den Behörden auf Hawaii bis zum Eintreffen der Welle bleibt, und beurteilen Sie, ob diese Zeit für eine Evakuierung der Küstenorte ausreicht.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die Boje schwingt beim Durchlaufen der Welle nur senkrecht auf und ab und kehrt danach an ihren Ort zurück; sie wird nicht nach Hawaii mitgenommen. Ebenso schwingen die Wasserteilchen nur um ihre Ruhelage. Ausgebreitet wird also nicht Materie, sondern der Schwingungszustand und mit ihm Energie: Jedes Teilchen regt sein Nachbarteilchen zeitlich verzögert zum Mitschwingen an. Eine Welle ist damit eine sich ausbreitende Schwingung — sie transportiert Energie, aber keinen Stoff.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Umrechnung: \(\lambda = 200\ \mathrm{km} = 2{,}0\cdot10^{5}\ \mathrm{m}\); \(c = 720\ \mathrm{\frac{km}{h}} = \dfrac{720}{3{,}6}\ \mathrm{\frac{m}{s}} = 200\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).
Ansatz: \(c=\lambda f \Rightarrow f=\dfrac{c}{\lambda}\).
\(f = \dfrac{200\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{2{,}0\cdot10^{5}\ \mathrm{m}} = 1{,}0\cdot10^{-3}\ \mathrm{Hz}\).
\(T = \dfrac{1}{f} = 1{,}0\cdot10^{3}\ \mathrm{s} \approx 17\ \mathrm{min}\).
Zwischen zwei Wellenbergen vergehen an einem festen Ort also rund 17 Minuten.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Ansatz: \(t=\dfrac{s}{c}\).
\(t = \dfrac{3600\ \mathrm{km}}{720\ \mathrm{\frac{km}{h}}} = 5{,}0\ \mathrm{h}\).
Bewertung: Fünf Stunden sind für eine Evakuierung grundsätzlich ausreichend — Warnmeldungen, das Räumen von Stränden, Häfen und tief liegenden Stadtteilen sowie der Weg auf höher gelegenes Gelände sind in dieser Zeit organisierbar. Einschränkend gilt: Die Warnkette muss vorbereitet und eingeübt sein, und die Zeit gilt nur für weit entfernte Küsten. Für Orte nahe am Bebenherd — wie die japanische Küste selbst — beträgt die Vorwarnzeit nur Minuten; dort nützt die Bojenkette wenig. Die Vorwarnzeit ist also kein fester Sicherheitswert, sondern hängt entscheidend von der Entfernung zum Entstehungsgebiet ab.
Auflösung und Eindringtiefe beim Ultraschall
AFB IIIBei einer Ultraschalluntersuchung sendet der Schallkopf kurze Schallwellenpakete in das Gewebe. An Grenzflächen werden sie zurückgeworfen und wieder empfangen. In menschlichem Weichgewebe breitet sich Ultraschall mit \(c = 1540\ \mathrm{\frac{m}{s}}\) aus. Als Faustregel gilt: Zwei Strukturen können nur dann getrennt dargestellt werden, wenn ihr Abstand mindestens etwa eine Wellenlänge beträgt. Gleichzeitig wird die Welle im Gewebe umso stärker geschwächt, je höher ihre Frequenz ist (Material M1).
| Schallkopf | A | B | C |
|---|---|---|---|
| Frequenz \(f\) in MHz | 2,5 | 5,0 | 10,0 |
| Eindringtiefe in cm | 25 | 12 | 5 |
Die Wellenlängen sind nicht angegeben — sie sollen berechnet werden.
- Berechnen Sie die Wellenlänge des Schallkopfes B im Weichgewebe.
- Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die Wellenlängen der drei Schallköpfe umgekehrt wie ihre Frequenzen verhalten, und beschreiben Sie den Zusammenhang in Worten.
- Bei einer Untersuchung sollen Gallensteine mit einem Durchmesser von etwa 0,5 mm in 8 cm Tiefe dargestellt werden. Entscheiden Sie begründet, welcher Schallkopf gewählt werden sollte, und beurteilen Sie die Aussage: „Für ein besseres Bild nimmt man einfach immer die höchste Frequenz.“
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Ansatz: \(c=\lambda f \Rightarrow \lambda = \dfrac{c}{f}\).
\(\lambda_B = \dfrac{1540\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{5{,}0\cdot10^{6}\ \mathrm{Hz}} = 3{,}08\cdot10^{-4}\ \mathrm{m} \approx 0{,}31\ \mathrm{mm}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
\(\lambda_A = \dfrac{1540}{2{,}5\cdot10^{6}}\ \mathrm{m} = 6{,}16\cdot10^{-4}\ \mathrm{m} = 0{,}62\ \mathrm{mm}\);
\(\lambda_B = 3{,}08\cdot10^{-4}\ \mathrm{m} = 0{,}31\ \mathrm{mm}\);
\(\lambda_C = \dfrac{1540}{1{,}0\cdot10^{7}}\ \mathrm{m} = 1{,}54\cdot10^{-4}\ \mathrm{m} = 0{,}15\ \mathrm{mm}\).
Für alle drei gilt \(\lambda\cdot f = 1540\ \mathrm{\frac{m}{s}} = c\); das Produkt ist konstant. Eine Verdopplung der Frequenz (A → B) halbiert die Wellenlänge, eine Vervierfachung (A → C) viertelt sie. In Worten: Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit im Gewebe fest vorgegeben ist, sind Wellenlänge und Frequenz zueinander umgekehrt proportional — je höher die Frequenz, desto kürzer die Welle.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Anforderung an die Auflösung: Der Steindurchmesser von 0,5 mm muss mindestens eine Wellenlänge betragen, also \(\lambda \le 0{,}5\ \mathrm{mm}\). Damit scheidet Schallkopf A (\(\lambda=0{,}62\ \mathrm{mm}\)) aus. Anforderung an die Tiefe: 8 cm müssen erreicht werden. Damit scheidet Schallkopf C (nur 5 cm) aus. Übrig bleibt Schallkopf B: \(\lambda=0{,}31\ \mathrm{mm} < 0{,}5\ \mathrm{mm}\) und 12 cm Eindringtiefe reichen für 8 cm aus.
Bewertung der Aussage: Sie ist nur zur Hälfte richtig. Zutreffend ist, dass eine höhere Frequenz eine kürzere Wellenlänge und damit eine feinere Auflösung liefert. Übersehen wird jedoch der Preis dafür: Mit steigender Frequenz wird die Welle im Gewebe stärker geschwächt, die Eindringtiefe sinkt — im Beispiel von 25 cm auf 5 cm. Ein 10-MHz-Kopf liefert zwar das schärfste Bild, erreicht die Gallenblase aber gar nicht erst; das Bild wäre schärfer, aber leer. Die Frequenzwahl ist deshalb immer ein Kompromiss zwischen Auflösung und Eindringtiefe und muss für jede Fragestellung neu getroffen werden. Oberflächennahe Strukturen (Schilddrüse, Gefäße) untersucht man mit hohen, tief liegende Organe mit niedrigen Frequenzen.