Aufgabenblock — AFB II
Zehn Aufgaben der Anforderungsstufe AFB II (Zusammenhänge herstellen) aus allen Unterkapiteln 5.1.1 bis 5.2.5. Hier reicht das Einsetzen in eine Formel nicht mehr: Sie stellen Formeln um, ziehen Rechenketten über mehrere Schritte durch, gewinnen Größen aus einem Diagramm oder einer Messung und begründen, welche Größe sich ändert und welche fest bleibt. Jede Teilantwort wird einzeln geprüft; eine Aufgabe zählt erst als gelöst, wenn alle Felder stimmen. Dezimalkomma verwenden, Einheiten immer mitdenken, im Taschenrechner den Gradmodus (DEG) einstellen.
Von einem Steg aus zählen Sie, dass in 10 s genau 25 Wellenberge vorbeilaufen. Zwei benachbarte Wellenberge sind 1,2 m voneinander entfernt.
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b) T = 1 / f = 1 / 2,5 Hz = 0,4 s
c) c = λ · f = 1,2 m · 2,5 1/s = 3,0 m/s
d) s = c · t = 3,0 m/s · 60 s = 180 m
Der entscheidende Test des Verständnisses: Die 180 m legt die Wellenform zurück, nicht das Wasser. Ein Korken, der eine Minute lang dort treibt, hat in dieser Zeit 150-mal auf und ab gewippt und liegt danach immer noch fast an derselben Stelle. Zählen und ein Maßband genügen also, um c zu bestimmen.
Ein Ton hat in Luft (c = 340 m/s) die Wellenlänge λ = 0,68 m. Er tritt ins Wasser über, wo c = 1480 m/s gilt. Die Frequenz gibt die Schallquelle vor und bleibt unverändert.
Runden Sie erst am Ende und geben Sie bei d) zwei Nachkommastellen an.
Lösung anzeigen — und die Begründung
b) T = 1 ÷ f = 1 ÷ 500 = 0,002 s
c) λ = c ÷ f = 1480 ÷ 500 = 2,96 m
d) 2,96 ÷ 0,68 = 4,35
Begründung: T und damit f werden von der Quelle festgelegt und bleiben beim Medienwechsel gleich — pro Sekunde treffen im Wasser genauso viele Berge ein, wie in der Luft losgeschickt wurden. Ändern kann sich deshalb nur λ, und zwar im selben Verhältnis wie c (1480 ÷ 340 = 4,35). Wer stattdessen λ festhält, kommt auf eine veränderte Tonhöhe — hörbar wäre das ein anderer Ton, was beim Tauchen offensichtlich nicht passiert.
Ein Lichtstrahl trifft aus Luft (n1 = 1,0) unter dem Einfallswinkel α = 45° auf eine Wasseroberfläche (n2 = 1,33). Alle Winkel werden zum Lot gemessen. Achten Sie auf den Gradmodus (DEG).
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b) sin β = n1 · sin α ÷ n2 = 1,0 · 0,707 ÷ 1,33 = 0,53
c) β = arcsin(0,53) = 32,1°
d) α − β = 45° − 32,1° = 12,9°
Kontrolle: Wasser ist das optisch dichtere Medium, der Strahl knickt also zum Lot hin — β < α muss herauskommen. Wer den Arkussinus vergisst, notiert 0,53 fälschlich als Winkel; wer n1 und n2 vertauscht, erhält einen größeren Winkel als α, was beim Übergang ins dichtere Medium unmöglich ist.
Hinter dem Polarisator hat das linear polarisierte Licht die Intensität I0 = 240 W/m². Der Analysator wird gegen den Polarisator um den Winkel θ verdreht.
Lösung anzeigen — und der Vergleich
b) cos²θ = 0,5 ⇒ cos θ = 0,707 ⇒ θ = 45°
c) I0 · cos 60° = 240 · 0,5 = 120 W/m² (falsch!)
Was der Vergleich zeigt: Schon 60° Drehung schlucken drei Viertel des Lichts. Verlockend, aber falsch ist die Antwort 60° bei Teilaufgabe b) — halbe Intensität liegt bei 45°. Und: „je größer der Winkel, desto dunkler“ gilt nicht allgemein; cos²θ wiederholt sich alle 180°, bei 180° ist es genauso hell wie bei 0°, bei 100° ist cos²100° ≈ 0,03 — also wieder etwas Licht. Der einzige echte Nullpunkt zwischen 0° und 180° liegt exakt bei 90°.
Auf einer harmonischen Welle mit λ = 5,0 m liegen zwei Punkte A und B im Abstand Δx = 1,25 m. Bestimmen Sie ihre Phasendifferenz — einmal in Grad und einmal im Bogenmaß. Rechnen Sie mit π ≈ 3,1416.
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b) Δφ = 0,25 · 360° = 90°
c) k = 2π ÷ λ = 6,2832 ÷ 5,0 = 1,26 1/m
d) Δφ = k · Δx = 1,26 · 1,25 = 1,57 rad
Schritt b) und d) sind dieselbe Phasendifferenz in zwei Sprachen: 90° und π/2 ≈ 1,57 rad. Die Wellenzahl k = 2π/λ ist die „Phase pro Meter“ und spielt für den Ort dieselbe Rolle wie ω = 2π/T für die Zeit. Wer λ und 2π vertauscht, erhält 0,127 m — das wäre eine Länge und keine Wellenzahl.
Zwei gleichphasige Lautsprecher geben denselben Dauerton mit f = 680 Hz ab; in Luft ist c = 340 m/s. Ein Zuhörer sitzt 3,25 m vom einen und 3,00 m vom anderen Lautsprecher entfernt.
Lösung anzeigen — und was das für den Zuhörer bedeutet
b) Δs = 3,25 m − 3,00 m = 0,25 m
c) Δs ÷ λ = 0,25 ÷ 0,5 = 0,5 λ
d) Δφ = 0,5 · 360° = 180°
Urteil: 0,5 λ beziehungsweise 180° ist genau die Bedingung Δs = (n + ½)·λ mit n = 0 — also destruktive Interferenz. Der Ton ist an diesem Platz auffällig leise („tote Stelle“ im Konzertsaal) und verschwindet schon bei einer Kopfbewegung um wenige Zentimeter. Achtung: Δs = 0 wäre nicht Auslöschung, sondern der Fall n = 0 der konstruktiven Bedingung — maximale Verstärkung.
Eine beidseitig fest eingespannte Saite hat die Länge L = 0,65 m. Auf ihr breitet sich die Welle mit c = 260 m/s aus.
Lösung anzeigen — und was daraus folgt
b) f1 = c ÷ λ1 = 260 ÷ 1,3 = 200 Hz
c) λ3 = 2L ÷ 3 = 1,3 ÷ 3 = 0,43 m
d) f3 = 260 ÷ 0,43 = 600 Hz
Was passiert, wenn n wächst? 600 Hz = 3 · 200 Hz: Alle Eigenfrequenzen der eingespannten Saite sind ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz — deshalb klingen die Obertöne harmonisch. n steht in λ_n = 2L/n im Nenner: größeres n bedeutet kleinere Wellenlänge, die Frequenz wächst dagegen proportional mit n. Die dritte Harmonische hat 3 Bäuche und 4 Knoten (die Enden mitgezählt). Wer λ = L/n rechnet, erhält durchweg die Hälfte der richtigen Werte. Und c ist hier die Geschwindigkeit auf der Saite, nicht die Schallgeschwindigkeit in Luft.
Ein Doppelspalt mit dem Spaltabstand d = 0,40 mm steht L = 2,0 m vor dem Schirm. Auf dem Schirm messen Sie vom 1. bis zum 11. hellen Streifen insgesamt 24 mm.
Lösung anzeigen — und was sich ändern würde
b) 2,4 mm = 0,0024 m
c) λ = Δx · d ÷ L = 0,0024 · 0,40·10−3 ÷ 2,0 = 4,8·10−7 m = 480 nm
d) Δs = n · λ = 2 · 480 nm = 960 nm
Warum die Vielfachmessung? Sie zehntelt den Ablesefehler. 480 nm passt zu blauem Licht — der Plausibilitätscheck gegen den sichtbaren Bereich (400–700 nm) deckt Zehnerpotenzfehler sofort auf. Was passiert, wenn … man d verdoppelt? d steht im Nenner — die Streifen rücken enger zusammen, nicht weiter auseinander. Der Schirm weiter weg (größeres L) verbreitert das Muster, blaues statt rotes Licht verengt es, und dieselbe Lampe heller gedreht ändert gar nichts: die Helligkeit kommt in Δx = λL/d nicht vor.
Ein optisches Gitter trägt 500 Striche pro Millimeter. Es wird mit Licht der Wellenlänge λ = 600 nm beleuchtet. Betrachtet wird das Maximum 1. Ordnung.
Lösung anzeigen — und der Vergleich zweier Gitter
b) sin α = n · λ ÷ g = (1 · 600·10−9 m) ÷ (2,0·10−6 m) = 0,30
c) α = arcsin(0,30) = 17,5°
d) n ≤ g ÷ λ = 1500 nm ÷ 600 nm = 2,5 ⇒ n = 2
Der überraschende Vergleich: Ein feineres Gitter (kleineres g) lenkt stärker ab, zeigt aber weniger Ordnungen — denn sin α stößt schneller an die Grenze 1. Mit blauem Licht (450 nm) wäre g/λ ≈ 3,3, also wären an demselben Gitter drei Ordnungen sichtbar. Der Schirmabstand und die beleuchtete Breite kommen in sin α = nλ/g gar nicht vor: N bestimmt, wie scharf; g bestimmt, wo.
Am Michelson-Interferometer verschieben Sie den beweglichen Spiegel um Δd = 9,0 µm und zählen dabei N = 30 durchwandernde Ringe.
Lösung anzeigen — und die Merkregel
b) λ = Δs ÷ N = 18 µm ÷ 30 = 0,6 µm
c) 0,6 µm = 600 nm — orangerotes Licht, also plausibel im sichtbaren Bereich 400–700 nm
d) Δd = N · λ ÷ 2 = 100 · 500 nm ÷ 2 = 25 000 nm = 25 µm
Merkregel für den Faktor 2: von Δd nach N wird verdoppelt, in der Gegenrichtung halbiert. Wer bei d) stur mal 2 rechnet, landet bei 100 µm — dem Vierfachen. Und: Ob der bewegliche oder der feste Spiegel verschoben wird und wie weit der Detektor entfernt steht, ändert N nicht; in N = 2Δd/λ stehen nur Δd und λ.
Gangunterschied-Prüfstand — Δs, Δφ und die Summenkurve
Zwei kohärente Quellen senden dieselbe Welle aus. Die eine hat bis zum Aufpunkt einen längeren Weg zurückgelegt — den Gangunterschied Δs. Stellen Sie Δs in Einheiten der Wellenlänge ein und beobachten Sie, wie sich die Phasendifferenz Δφ = 2π · Δs / λ und die Summenkurve verändern. Prüfen Sie dabei die Regel: endet Δs/λ auf ,0, ist es konstruktiv; endet es auf ,5, ist es destruktiv.
Zwei Wellen überlagern
Ziehen Sie den Regler mit der Maus, oder wählen Sie ihn mit Tab an und bedienen Sie ihn mit den Pfeiltasten (Schritt 0,05 λ), Bild auf/ab (0,25 λ), Pos1 und Ende. Mit Enter oder Leertaste springen Sie zum nächsten Viertel einer Wellenlänge.
Δs = 0,00 λ · Δφ = 0° · Summenamplitude 2,00 (doppelt)
Rechnerisch: Δφ = 2π · Δs / λ, und für zwei gleich große Wellen ist die Summenamplitude A = |2 · cos(Δφ/2)|. Ab A > 1,8 gilt die Überlagerung als konstruktiv, unter A < 0,2 als destruktiv, dazwischen als teilweise Verstärkung. Bei Auslöschung verschwindet keine Energie — sie wird nur räumlich umverteilt.
Reflexion — bevor Sie weitergehen
Drei Fragen zum Nachdenken — beantworten Sie sie für sich selbst.
- 1. Umstellen:In A3, A8 und A10 mussten Sie eine Formel erst nach der gesuchten Größe auflösen. Bei welcher der drei Umstellungen mussten Sie am längsten überlegen — und hilft Ihnen dort die Einheitenprobe (m · m ÷ m = m, m ÷ (m/s) = s) weiter?
- 2. Verhältnisse statt Zahlen:In A5, A6 und A9 entschied nicht die absolute Meterzahl, sondern ein Verhältnis: Δx/λ, Δs/λ und n·λ/g. Können Sie in eigenen Worten sagen, warum ein Gangunterschied von 1,50 m einmal Auslöschung und einmal Verstärkung bedeuten kann?
- 3. Was bleibt, was ändert sich:A2 (Medienwechsel), A7 (höhere Harmonische) und A8 (größeres d) fragen alle nach einer Änderung. Welche Größe bleibt beim Medienwechsel fest — und woran erkennen Sie in einer Formel sofort, ob eine Größe im Zähler oder im Nenner steht?