MINT lernen

AbituraufgabenReflexion, Brechung und Beugung

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Der Blick ins Aquarium

AFB II

In einem Zoo betrachten Besucher ein großes Süßwasserbecken durch eine Scheibe von oben. Ein Lichtstrahl fällt aus der Luft unter dem Einfallswinkel \(\alpha = 40^\circ\) auf die ruhige Wasseroberfläche (Material M1). Für die Brechzahlen gilt \(n_1 = 1{,}00\) (Luft) und \(n_2 = 1{,}33\) (Wasser).

M1Lichtstrahl an der Wasseroberfläche
Luft n₁ = 1,00 Wasser n₂ = 1,33 Lot α β α′ einfallender Strahl reflektierter Strahl gebrochener Strahl

Alle Winkel werden gegen das Lot gemessen. Der gebrochene Strahl liegt in derselben Ebene wie der einfallende Strahl.

  1. Beschreiben Sie, was am Auftreffpunkt mit dem Licht geschieht, und geben Sie an, welchen Wert der Reflexionswinkel \(\alpha'\) hat.
  2. Berechnen Sie den Brechungswinkel \(\beta\) im Wasser.
  3. Ein Fisch schwimmt dicht über dem Boden des Beckens. Für die Besucher erscheint er höher zu stehen, als er wirklich ist. Erklären Sie diese Beobachtung mithilfe des Brechungsgesetzes.
Hinweis zu Aufgabe a)
Am Übergang zwischen zwei Stoffen passiert immer beides gleichzeitig. Für den einen Teil gilt das Reflexionsgesetz, für den anderen das Brechungsgesetz. Alle Winkel werden zum Lot gemessen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Snellius: \(n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta\). Stelle nach \(\sin\beta\) um und wende dann \(\sin^{-1}\) an. Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf Grad (DEG) steht.
Hinweis zu Aufgabe c)
Zeichne den Weg des Lichts vom Fisch zum Auge — also von Wasser nach Luft. Beim Übergang in den optisch dünneren Stoff wird der Strahl vom Lot weg gebrochen. Das Auge kann diesen Knick nicht erkennen und verlängert den ankommenden Strahl geradlinig nach hinten.„Erklären“ verlangt die Rückführung auf das Brechungsgesetz, nicht nur die Beschreibung des Eindrucks.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Am Auftreffpunkt wird der Lichtstrahl aufgeteilt: Ein Teil wird an der Wasseroberfläche reflektiert und läuft in die Luft zurück, der andere Teil tritt in das Wasser ein und wird dabei gebrochen, also in seiner Richtung geknickt.

Für den reflektierten Anteil gilt das Reflexionsgesetz \(\alpha = \alpha'\), also \(\alpha' = 40^\circ\). Der reflektierte Strahl liegt auf der anderen Seite des Lots, in derselben Ebene wie der einfallende Strahl.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(n_1\sin\alpha = n_2\sin\beta \Rightarrow \sin\beta = \dfrac{n_1\sin\alpha}{n_2}\).

\(\sin\beta = \dfrac{1{,}00\cdot\sin 40^\circ}{1{,}33} = \dfrac{0{,}6428}{1{,}33} = 0{,}4833\).

\(\beta = \sin^{-1}(0{,}4833) \approx 28{,}9^\circ\).

Wegen \(n_2 > n_1\) ist \(\beta < \alpha\): Der Strahl wird beim Übergang in das optisch dichtere Wasser zum Lot hin gebrochen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Das Licht, das die Besucher sehen, läuft vom Fisch aus vom Wasser in die Luft. Für diesen Übergang gilt dasselbe Gesetz \(n_2\sin\beta = n_1\sin\alpha\), nun aber mit \(n_2 > n_1\) auf der Seite des einfallenden Strahls. Daraus folgt \(\sin\alpha > \sin\beta\), also \(\alpha > \beta\): Der Strahl wird an der Oberfläche vom Lot weg gebrochen und verlässt das Wasser flacher, als er im Wasser gelaufen ist.

Das Auge kann diesen Knick nicht wahrnehmen. Es setzt voraus, dass Licht geradlinig läuft, und verlängert den ankommenden Strahl gedanklich geradlinig nach hinten ins Wasser hinein. Dieser Rückwärtsverlängerung begegnet der wahre Strahlengang oberhalb des Fisches. Der Fisch erscheint daher an der Stelle dieses Schnittpunkts — also näher an der Oberfläche und damit höher, als er tatsächlich schwimmt. Aus demselben Grund wirkt ein Schwimmbecken flacher, als es ist.

2

Zwei Hafeneinfahrten

AFB III

Zwei Fischerhäfen liegen an derselben Küste und werden von derselben Dünung getroffen. Die Wellen laufen als nahezu gerade Wellenfronten auf die Hafenmauern zu und gelangen nur durch die Einfahrt in das Hafenbecken. Hafen A hat eine 60 m breite Einfahrt, Hafen B nur eine 10 m breite (Material M2). Die Dünung hat die Schwingungsdauer \(T = 4{,}0\ \mathrm{s}\) und läuft mit \(c = 2{,}0\ \mathrm{\frac{m}{s}}\).

M2Wellenfronten hinter zwei verschieden breiten Hafeneinfahrten
60 mEinfahrt A — Öffnung 60 m 10 mEinfahrt B — Öffnung 10 m Wellenlänge der einlaufenden Dünung: 8,0 m — dieselbe für beide Einfahrten

Skizze nicht maßstäblich. Beide Häfen liegen an derselben Küste und werden von derselben Dünung getroffen.

  1. Berechnen Sie die Wellenlänge der Dünung und beschreiben Sie, welches Wellenphänomen an den Einfahrten auftritt.
  2. Vergleichen Sie die beiden Häfen anhand des Verhältnisses aus Öffnungsbreite und Wellenlänge und beurteilen Sie, welcher Hafen die ruhigeren Liegeplätze bietet.
  3. Steht man um eine Hausecke, so hört man ein Gespräch, sieht die Sprechenden aber nicht. Erklären Sie diesen Alltagsbefund mit demselben Phänomen. Rechnen Sie dazu mit \(f = 500\ \mathrm{Hz}\) und \(c_{\text{Schall}} = 340\ \mathrm{\frac{m}{s}}\), mit \(\lambda_{\text{Licht}} = 550\ \mathrm{nm}\) und einer Hindernisbreite von etwa 1 m.
Hinweis zu Aufgabe a)
Aus \(T\) folgt zuerst \(f\), dann \(\lambda\) über \(c=\lambda f\) — oder direkt \(\lambda = c\cdot T\). Für das Phänomen: Was passiert mit einer Welle, die auf ein Hindernis mit einer Öffnung trifft?
Hinweis zu Aufgabe b)
Entscheidend ist nicht die Öffnungsbreite allein, sondern ihr Verhältnis zur Wellenlänge. Beugung ist umso stärker, je näher die Öffnungsbreite an der Wellenlänge liegt.„Beurteilen“ verlangt ein begründetes Urteil aus deinen Rechenergebnissen, nicht nur den Vergleich der Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne für beide Wellenarten dasselbe Verhältnis \(\dfrac{b}{\lambda}\) wie in Teilaufgabe b) und vergleiche die Größenordnungen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(\lambda = c\cdot T\).
\(\lambda = 2{,}0\ \mathrm{\frac{m}{s}} \cdot 4{,}0\ \mathrm{s} = 8{,}0\ \mathrm{m}\).

An den Einfahrten tritt Beugung auf: Die Wellen laufen hinter der Öffnung nicht nur geradeaus weiter, sondern breiten sich auch in den geometrischen Schattenraum hinter der Hafenmauer aus. Die Öffnung wirkt dabei wie ein neuer Ausgangspunkt kreisförmiger Wellenfronten.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Hafen A: \(\dfrac{b_A}{\lambda} = \dfrac{60\ \mathrm{m}}{8{,}0\ \mathrm{m}} = 7{,}5\).
Hafen B: \(\dfrac{b_B}{\lambda} = \dfrac{10\ \mathrm{m}}{8{,}0\ \mathrm{m}} = 1{,}25\).

Bei Hafen A ist die Öffnung mehr als siebenmal so breit wie die Wellenlänge. Die Beugung beschränkt sich dann auf die Randbereiche; der größte Teil der Welle läuft nahezu geradlinig als schmales Wellenband weiter. Bei Hafen B liegt die Öffnungsbreite in der Größenordnung der Wellenlänge. Die Beugung ist deshalb sehr stark: Hinter der Einfahrt entsteht praktisch eine kreisförmig auslaufende Welle, die das gesamte Hafenbecken erfasst.

Urteil: Zunächst scheint Hafen B durch die enge Einfahrt besser geschützt. Tatsächlich verteilt die starke Beugung die einlaufende Energie dort über das ganze Becken, sodass auch die seitlichen Liegeplätze erreicht werden. In Hafen A bleibt der Wellengang dagegen auf einen schmalen Streifen hinter der Einfahrt beschränkt; die seitlich davon liegenden Plätze sind deutlich ruhiger. Hafen A bietet daher — bei geeigneter Wahl des Liegeplatzes — die ruhigeren Bedingungen. Einschränkend ist zu sagen, dass in Hafen B die insgesamt eindringende Energie kleiner ist, weil die Öffnung schmaler ist; das Urteil gilt also für den Vergleich einzelner Liegeplätze, nicht für die Gesamtenergie im Becken.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Schall: \(\lambda = \dfrac{c}{f} = \dfrac{340\ \mathrm{\frac{m}{s}}}{500\ \mathrm{Hz}} = 0{,}68\ \mathrm{m}\).
Verhältnis: \(\dfrac{b}{\lambda} = \dfrac{1\ \mathrm{m}}{0{,}68\ \mathrm{m}} \approx 1{,}5\).

Licht: \(\dfrac{b}{\lambda} = \dfrac{1\ \mathrm{m}}{5{,}5\cdot10^{-7}\ \mathrm{m}} \approx 1{,}8\cdot10^{6}\).

Für Schall liegt das Verhältnis bei etwa 1,5 — also im selben Bereich wie bei Hafen B. Die Schallwellen werden an der Hausecke stark gebeugt und gelangen deutlich in den Schattenraum: Man hört das Gespräch.

Für Licht ist das Verhältnis rund eine Million Mal größer. Die Beugung beschränkt sich auf einen unmessbar schmalen Saum am Rand der Ecke; das Licht läuft praktisch geradlinig weiter und der Schattenraum bleibt dunkel: Man sieht die Sprechenden nicht.

Beide Beobachtungen beruhen also auf demselben Phänomen. Der scheinbare Unterschied zwischen Schall und Licht entsteht allein daraus, dass die Wellenlänge des Lichts winzig gegenüber Alltagshindernissen ist, die des Schalls dagegen nicht.