Übung — AFB III

Auflösung: Alle acht Zeilen prüfen dieselbe Einsicht in verschiedenen Verkleidungen: Ein Faktor unter der Wurzel wirkt außen nur mit seiner Wurzel. Deshalb braucht man die vierfache Masse für die doppelte Schwingungsdauer, die vierfache Fadenlänge für dieselbe Verdopplung und die vierfache Kapazität, um die Schwingungsdauer des Schwingkreises zu verdoppeln. Wer den Faktor 4 einträgt, behandelt die Wurzel wie eine Klammer und verwechselt proportional mit proportional zur Wurzel.

Die zweite Unterscheidung betrifft die Stellung im Bruch. In \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) steht \(m\) im Zähler, \(D\) im Nenner; beide wirken also gleich stark, aber in entgegengesetzte Richtung. Vervierfachte Federhärte halbiert \(T\), vervierfachte Masse verdoppelt es. Genau dasselbe Muster zeigt das Fadenpendel mit \(l\) im Zähler und \(g\) im Nenner: Ein Ort mit einem Viertel der Fallbeschleunigung verdoppelt die Schwingungsdauer. Wer hier auf „kleiner“ tippt, verwechselt „schwächere Anziehung“ mit „schnellerer Schwingung“ — tatsächlich zieht eine schwächere rücktreibende Kraft das Pendel träger in die Ruhelage zurück.

Am lehrreichsten sind die beiden Zeilen, in denen zwei Größen gleichzeitig geändert werden. Werden \(m\) und \(D\) beide verdoppelt, bleibt der Quotient \(m/D\) unverändert — und damit auch \(T\). Beim Schwingkreis dagegen steht ein Produkt unter der Wurzel: Verdoppelt man \(L\) und halbiert gleichzeitig \(C\), bleibt \(L\cdot C\) gleich, \(T\) also ebenfalls. Deshalb lässt sich dieselbe Frequenz mit einer großen Spule und einem kleinen Kondensator ebenso erreichen wie umgekehrt. Merken Sie sich die Kurzform: Quotient beim Pendel, Produkt beim Schwingkreis — die Wurzel gilt für beide.

Auflösung: Falsch sind die Zeilen 2, 5 und 7 — und sie stehen für die drei Fehlerarten, die in Klausuren gemeinsam den größten Punktverlust verursachen. Zeile 2 ist ein Einheitenfehler: 200 g sind 0,20 kg, nicht 2,0 kg. Er ist besonders tückisch, weil er das Ergebnis nicht offensichtlich unsinnig macht — mit 2,0 kg käme \(T=1{,}26\,\mathrm s\) heraus, ein Wert, den man einem Federpendel ohne Weiteres abnehmen würde. Nur die Größenordnungsprobe hilft: Ein Laborfederpendel schwingt typischerweise ein- bis zweimal pro Sekunde.

Zeile 5 ist ein Reihenfolgefehler. Die Wurzel wurde übersprungen, aus 0,0040 wurde direkt mit \(2\pi\) multipliziert. Man erkennt das ohne Rechnung: Das Ergebnis 0,025 s wäre eine Frequenz von 40 Hz — dafür müsste man die Feder deutlich straffer oder die Masse hundertmal kleiner wählen. Merken Sie sich die feste Abfolge erst \(m/D\), dann die Wurzel, dann mal \(2\pi\); wer \(2\pi\) zu früh einsetzt oder die Wurzel vergisst, landet regelmäßig um eine Zehnerpotenz daneben.

Zeile 7 ist ein Linearitätsfehler, inhaltlich derselbe wie in Aufgabe 1: Doppelte Masse bedeutet Faktor \(\sqrt2\approx1{,}41\), also rund 0,56 s. Bemerkenswert ist schließlich, dass sich die Zeilen 2 und 4 gegenseitig widersprechen — in Zeile 4 wird korrekt mit 0,20 gerechnet. Solche inneren Widersprüche sind das verlässlichste Warnsignal beim Korrekturlesen: Wer beim Nachrechnen mitliest statt nur zu überfliegen, findet sie ohne jede Formelkenntnis.

a) Der Versuchsplan. Stufe 1 — die Feder eichen: Ein geeichtes Gewichtsstück (z. B. 100 g) anhängen und mit dem Lineal die Dehnung messen. Aus \(F=D\cdot y\), also Gewichtskraft geteilt durch Dehnung, ergibt sich die Richtgröße \(D\). Zur Kontrolle wiederholt man das mit mehreren Gewichtsstücken; liegen die Werte auf einer Geraden durch den Ursprung, ist das Kraftgesetz linear und die Feder für die zweite Stufe brauchbar. Stufe 2 — den unbekannten Körper messen: Ihn an dieselbe Feder hängen, leicht auslenken, loslassen und die Zeit für 20 volle Schwingungen stoppen. Aus \(T\) und dem bekannten \(D\) folgt \(m=D\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^2\).

Warum zwei Stufen? Weil eine einzige Schwingungsmessung nur den Quotienten \(m/D\) liefert. Eine dritte Größe steckt nicht in der Formel, also lässt sich \(m\) allein aus \(T\) grundsätzlich nicht bestimmen — man braucht eine unabhängige Information über die Feder. Wichtig ist dabei: Für die Eichung genügt die statische Dehnung. \(D\) ist eine Eigenschaft der Feder allein und hat mit dem Schwingen nichts zu tun.

b) Rechnung. \(T=\dfrac{12{,}6\,\mathrm s}{20}=0{,}63\,\mathrm s\); \(\dfrac{T}{2\pi}=0{,}100\,\mathrm s\); quadriert \(0{,}010\,\mathrm{s^2}\); \(m=20\,\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\cdot0{,}010\,\mathrm{s^2}=0{,}20\,\mathrm{kg}\). Zwei Details verdienen Beachtung. Erstens die 20 Perioden: Der Reaktionsfehler beim Stoppen von rund 0,2 s verteilt sich auf alle 20 Schwingungen und schrumpft damit auf 0,01 s je Periode — dieselbe Uhr wird durch geschicktes Messen zwanzigmal genauer. Zweitens die Reihenfolge: Das Quadrieren muss vor der Multiplikation mit \(D\) stehen; wer zuerst multipliziert, erhält 2,0 statt 0,20 und damit das Zehnfache.

Übertragung. Das Verfahren ist keine Schulkonstruktion, sondern ein echtes Messprinzip: Auf der Raumstation werden Astronauten genau so „gewogen“, weil eine Waage in der Schwerelosigkeit nichts anzeigen würde. Was dort gemessen wird, ist die träge Masse — und die verschwindet nicht, wenn die Gewichtskraft verschwindet.

Auflösung: Der richtige Wert ist \(C=0{,}25\,\mathrm{\mu F}\), also ein Viertel des Ausgangswertes. Die Kette der Übersetzungen lautet: doppelte Frequenz \(\rightarrow\) halbe Schwingungsdauer \(\rightarrow\) halbes \(\sqrt{L\,C}\) \(\rightarrow\) Produkt \(L\cdot C\) auf ein Viertel \(\rightarrow\) da \(L\) fest ist, \(C\) auf ein Viertel. Die Probe bestätigt es: \(L\cdot C=0{,}010\,\mathrm H\cdot0{,}25\cdot10^{-6}\,\mathrm F=2{,}5\cdot10^{-9}\,\mathrm{s^2}\), die Wurzel daraus ist \(5{,}0\cdot10^{-5}\,\mathrm s\), mal \(2\pi\) ergibt \(T=3{,}1\cdot10^{-4}\,\mathrm s\) und damit \(f\approx3{,}2\,\mathrm{kHz}\).

Zwei Beobachtungen lohnen sich. Erstens: Am Regler merkt man, wie unempfindlich die Frequenz auf kleine Kapazitätsänderungen im oberen Bereich reagiert und wie heftig sie im unteren Bereich springt. Das liegt an der Wurzel im Nenner von \(f=\dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\): Für kleine Frequenzänderungen im unteren Frequenzbereich braucht man erstaunlich große Kapazitätsänderungen. Genau deshalb sind Drehkondensatoren in Radios mechanisch aufwendig gebaut und werden oft mit einem Untersetzungsgetriebe fein bedient.

Zweitens: Man hätte dasselbe Ziel auch über \(L\) erreichen können — eine Spule mit einem Viertel der Induktivität hätte es ebenso getan, und ebenso jede Kombination, die das Produkt \(L\cdot C\) viertelt. In der Praxis nimmt man dennoch fast immer den Kondensator, weil sich eine Kapazität mechanisch viel bequemer verstellen lässt als eine Induktivität. Und ein Blick auf die Modellgrenzen gehört dazu: Der reale Empfangskreis hat einen Widerstand, seine Schwingung wäre ohne ständige Anregung gedämpft. Die Thomson-Gleichung liefert die Frequenz des idealen Kreises — für die Senderwahl genügt das, für die Frage, wie lange der Kreis von allein weiterschwingt, nicht.

a) Aufbau und Genauigkeit. Die Kugel an einem dünnen, möglichst unelastischen Faden aufhängen, die Länge \(l\) vom Aufhängepunkt bis zum Mittelpunkt der Kugel messen, um höchstens 10° auslenken und loslassen. Drei Maßnahmen erhöhen die Genauigkeit deutlich: (1) Viele Perioden stoppen. Der Reaktionsfehler von etwa 0,2 s verteilt sich bei 20 Schwingungen auf 0,01 s je Periode — dieselbe Uhr wird zwanzigmal genauer. (2) In der Ruhelage starten und stoppen. Dort ist das Pendel am schnellsten, der Durchgang also am schärfsten zu erkennen; an den Umkehrpunkten steht es kurz still und der Zeitpunkt ist kaum festzulegen. (3) Mehrfach messen und mitteln, außerdem die Länge sorgfältig bestimmen, weil \(l\) linear in das Ergebnis eingeht.

b) Rechnung. \(T=\dfrac{40{,}2\,\mathrm s}{20}=2{,}01\,\mathrm s\). Umgestellt: \(g=\dfrac{4\pi^2\,l}{T^2}=\dfrac{39{,}5\cdot1{,}00\,\mathrm m}{4{,}04\,\mathrm{s^2}}=9{,}77\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\). Das liegt rund 0,4 % unter dem Tabellenwert \(9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\) — für einen Schulversuch ein sehr gutes Ergebnis.

Warum das Verfahren so gut funktioniert. Eine Beschleunigung direkt zu messen ist schwierig: Man müsste Wege und Zeiten während eines schnellen Vorgangs erfassen. Das Pendel verwandelt die Aufgabe in eine reine Zeitmessung, und Zeiten lassen sich mit einfachen Mitteln sehr genau bestimmen, weil man beliebig viele Perioden aufsummieren darf. Genau deshalb war das Fadenpendel bis ins 20. Jahrhundert das Standardinstrument zur Vermessung von \(g\) an verschiedenen Orten der Erde. Beachten Sie zugleich die Empfindlichkeit: \(T\) geht quadratisch ein. Ein Fehler von 1 % bei der Zeitmessung erzeugt rund 2 % Fehler bei \(g\) — ein weiterer Grund, viele Perioden zu stoppen.

a) Faktor 1000. Aus \(f=\dfrac1T\) folgt \(f_{\text{Pendel}}=\dfrac{1}{0{,}63\,\mathrm s}\approx1{,}6\,\mathrm{Hz}\) und \(f_{\text{Kreis}}=\dfrac{1}{6{,}3\cdot10^{-4}\,\mathrm s}\approx1{,}6\cdot10^{3}\,\mathrm{Hz}=1{,}6\,\mathrm{kHz}\). Der Schwingkreis schwingt also tausendmal so schnell — das mechanische Pendel macht rund anderthalb Schwingungen pro Sekunde, der elektrische Kreis rund sechzehnhundert. Das ist kein Zufall der gewählten Zahlen: Mechanische Systeme sind an Massen gebunden, die man bewegen muss, elektrische an Ladungen, die praktisch trägheitsfrei fließen. Deshalb liegen die Schwingungsdauern von Schulschwingkreisen im Millisekundenbereich, die von Schulpendeln im Sekundenbereich.

b) Die Behauptung ist falsch — und zwar nicht ein bisschen daneben, sondern in der Struktur. Richtig ist \(m\leftrightarrow L\), aber die zweite Ersetzung muss \(D\leftrightarrow\dfrac1C\) lauten. Setzt man \(m\) durch \(L\) und \(D\) durch \(C\), so erhält man \(2\pi\sqrt{L/C}\) statt \(2\pi\sqrt{L\cdot C}\) — mit den Werten der Tabelle also \(2\pi\sqrt{0{,}010/10^{-6}}=2\pi\cdot100=630\), und das wäre nicht einmal eine Zeitangabe. Die Kontrolle über die Einheiten entlarvt den Fehler sofort: \(\sqrt{L\cdot C}\) ergibt Sekunden, \(\sqrt{L/C}\) nicht. Merken Sie sich die inhaltliche Begründung, dann müssen Sie die Zuordnung nicht auswendig lernen: Ein großes \(C\) ist eine weiche Feder, weil der Kondensator viel Ladung aufnimmt, ohne dass die Spannung stark steigt — große Kapazität und große Federhärte sind Gegenteile.

c) Die 0,63 ist kein Zufall, sondern der Faktor \(2\pi\) in Verkleidung. In beiden Fällen ist die Wurzel eine glatte Zehnerpotenz: Beim Pendel ist \(\sqrt{m/D}=\sqrt{0{,}010\,\mathrm{s^2}}=0{,}10\,\mathrm s\), beim Schwingkreis ist \(\sqrt{L\,C}=\sqrt{10^{-8}\,\mathrm{s^2}}=10^{-4}\,\mathrm s\). Multipliziert mit \(2\pi\approx6{,}283\) ergibt das \(0{,}63\,\mathrm s\) beziehungsweise \(0{,}63\,\mathrm{ms}\). Die gemeinsame Ziffernfolge stammt also allein aus dem \(2\pi\) — die Physik dahinter steckt in den Zehnerpotenzen. Genau deshalb ist die Größenordnungsprobe so wertvoll: Wer sich merkt, dass Schulpendel im Sekunden- und Schulschwingkreise im Millisekundenbereich liegen, erkennt einen Einheitenfehler, noch bevor er die Rechnung nachprüft.