Übung — AFB I

Warum das so ist: \(T\) und \(f\) beschreiben dieselbe Schwingung von zwei Seiten. \(T\) beantwortet die Frage „Wie lange dauert eine Schwingung?“, \(f\) die Frage „Wie viele Schwingungen passen in eine Sekunde?“. Wenn eine Schwingung eine halbe Sekunde dauert, passen zwei davon in eine Sekunde — deshalb der Kehrwert. Die Einheit trägt das mit: \(1\,\mathrm{Hz}=1\,\tfrac{1}{\mathrm s}\).

Ihr Plausibilitätscheck: Ist \(T\) kleiner als eine Sekunde, muss \(f\) größer als \(1\,\mathrm{Hz}\) sein — und umgekehrt. Wer den Kehrwert vergisst und \(0{,}50\) stehen lässt, fällt bei dieser Regel sofort auf. Ein zweiter beliebter Fehler ist die Multiplikation mit 60: Das ergibt Schwingungen pro Minute, nicht Hertz.

Warum man so misst: Beim Drücken der Stoppuhr entsteht jedes Mal ein Reaktionsfehler von etwa einer Zehntelsekunde — einmal beim Start, einmal beim Stopp. Bei einer einzelnen Schwingung von \(0{,}80\,\mathrm s\) wäre das ein Fehler von über zehn Prozent. Verteilen Sie denselben Fehler auf 20 Schwingungen, schrumpft er beim Teilen auf ein Zwanzigstel. Das ist der wichtigste Messtrick der Schwingungslehre und wird in Klausuren gern begründet verlangt.

Wo es schiefgeht: Manche setzen die \(16{,}0\,\mathrm s\) direkt in \(f=1/T\) ein und erhalten \(0{,}0625\,\mathrm{Hz}\) — das ist die Frequenz eines Pendels, das für eine Schwingung 16 Sekunden bräuchte. Achten Sie also darauf, immer zuerst durch die Anzahl zu teilen. Und prüfen Sie am Ende: \(T<1\,\mathrm s\), also muss \(f>1\,\mathrm{Hz}\) sein — \(1{,}25\,\mathrm{Hz}\) passt.

Warum das so ist: Während einer vollen Periode dreht sich der Zeiger genau einmal herum, also um den Winkel \(2\pi\) im Bogenmaß. Verteilt man diesen Winkel gleichmäßig auf die Zeit \(T\), erhält man den Winkel pro Sekunde — und genau das ist \(\omega\). Bei \(T=2{,}0\,\mathrm s\) schafft der Zeiger in einer Sekunde einen halben Umlauf, also \(\pi\).

Der Klassiker unter den Fehlern: \(\omega\) und \(f\) zu verwechseln. Hier wäre \(f=\dfrac{1}{T}=0{,}50\,\mathrm{Hz}\) — das ist etwas ganz anderes als \(3{,}14\,\tfrac{1}{\mathrm s}\). Zwischen beiden liegt der Faktor \(2\pi\approx 6{,}28\): \(\omega=2\pi f\). Merken Sie sich die Bedeutung: \(f\) zählt Umläufe pro Sekunde, \(\omega\) misst den überstrichenen Winkel pro Sekunde. Deshalb heißt \(\omega\) auch nicht „Frequenz in Hertz“, sondern Kreisfrequenz.

Warum das Ergebnis genau die Amplitude ist: \(t=0{,}50\,\mathrm s\) ist ein Viertel der Periodendauer. Eine Schwingung, die in der Ruhelage startet, hat nach einer Viertelperiode den ersten Umkehrpunkt erreicht — dort ist die Auslenkung maximal, also gleich \(\hat y\). Der Sinus liefert an dieser Stelle seinen Höchstwert 1. Das können Sie als Kontrolle nutzen: Kommt bei \(t=T/4\) etwas anderes als \(\hat y\) heraus, steckt ein Rechenfehler drin.

Die beiden typischen Fallen: Erstens der Taschenrechner im Gradmaß. Wer \(\sin(1{,}571^\circ)\) rechnet, erhält \(0{,}027\) und damit \(0{,}14\,\mathrm{cm}\) statt \(5{,}0\,\mathrm{cm}\) — ein absurd kleiner Wert, der sofort auffallen sollte. Zweitens die Verwechslung von \(\omega\) und \(f\): Mit \(f=0{,}5\,\mathrm{Hz}\) statt \(\omega=\pi\,\tfrac{1}{\mathrm s}\) rechnet man \(\sin(0{,}25)\) und landet bei \(1{,}2\,\mathrm{cm}\). Im Argument des Sinus steht immer \(\omega t\), nie \(ft\).

Warum genau diese beiden Größen: Die Masse ist die Trägheit, die Federhärte der Rücktrieb. Eine größere Masse macht das System träger und verlängert \(T\); eine härtere Feder zieht stärker zurück und verkürzt \(T\). Weil beide unter der Wurzel stehen, wirken Änderungen nur abgeschwächt: Erst die vierfache Masse verdoppelt die Schwingungsdauer.

Was hier nicht vorkommt — und deshalb keine Rolle spielt: die Amplitude und die Fallbeschleunigung \(g\). Wie weit Sie den Körper ausziehen, ist für \(T\) gleichgültig; \(g\) taucht in der Formel gar nicht auf, das Federpendel schwingt auf dem Mond genauso schnell wie auf der Erde. Wer hier \(g\) einsetzt, verwechselt Feder- und Fadenpendel. Der zweite Fehler ist die Reihenfolge: Wer \(2\pi\) mit unter die Wurzel zieht oder die Wurzel ganz vergisst, erhält \(0{,}063\,\mathrm s\) beziehungsweise \(0{,}0016\,\mathrm s\) — beides erkennbar unrealistisch für ein sichtbar schwingendes Pendel.

Warum dieses Ergebnis so berühmt ist: Ein Fadenpendel von einem Meter Länge braucht für eine volle Hin-und-Her-Bewegung rund zwei Sekunden — für jeden einzelnen Weg also genau eine Sekunde. Deshalb heißt es Sekundenpendel und steckt in klassischen Pendeluhren. Sie können die Rechnung auch umkehren: Aus einer gemessenen Schwingungsdauer und der bekannten Länge lässt sich \(g\) am Ort bestimmen.

Was in der Formel fehlt, ist die eigentliche Aussage: Weder die Masse des Pendelkörpers noch die Amplitude kommen vor. Eine Bleikugel schwingt genauso schnell wie eine Holzkugel gleicher Länge, und bei kleinen Winkeln bis etwa \(10^\circ\) ändert eine größere Auslenkung nichts. Wenn eine Aufgabe die Masse mitliefert, ist das oft Absicht — Sie brauchen sie nicht. Der zweite Stolperstein ist wieder die Wurzel: Die doppelte Schwingungsdauer verlangt nicht die doppelte, sondern die vierfache Länge.

Warum die Formel so aussieht: Der Schwingkreis ist ein mechanisches Pendel in elektrischer Gestalt. Die Spule übernimmt die Rolle der trägen Masse (\(m \leftrightarrow L\)), der Kondensator die Rolle der Feder — allerdings als Kehrwert (\(D \leftrightarrow 1/C\)), denn eine große Kapazität ist eine weiche Feder. Setzt man das in \(T=2\pi\sqrt{m/D}\) ein, wird aus \(m/D\) das Produkt \(L\cdot C\). Der Bauplan bleibt derselbe: \(T=2\pi\sqrt{\text{Trägheit}/\text{Rücktrieb}}\).

Der Fehler Nummer eins ist die Einheit: Wer \(10\) und \(1{,}0\) unumgerechnet einsetzt, erhält \(T=2\pi\sqrt{10}\approx 20\,\mathrm s\) — um den Faktor 30 000 daneben. Rechnen Sie Milli- und Mikro-Vorsätze vor dem Einsetzen in Henry und Farad um. Und noch eine physikalische Warnung: Dass sich nichts sichtbar bewegt, heißt nicht, dass nichts schwingt. Ladung und Stromstärke pendeln hin und her, und die Energie wechselt dabei ständig zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem Magnetfeld der Spule.

Warum dieselbe Formel wie am Anfang des Kapitels: \(f=1/T\) ist keine Formel des Federpendels und keine des Schwingkreises, sondern die Definition der Frequenz. Sie gilt für jede periodische Bewegung — ob eine Masse an der Feder auf und ab geht oder eine Ladung im Kreis hin und her fließt. Nur die Zahlenordnung unterscheidet sich: Mechanische Pendel schwingen mit einigen Hertz, dieser Schwingkreis mit etwa 1600 Schwingungen pro Sekunde — das liegt bereits im Bereich der Langwelle.

Die Falle steckt in den Vorsätzen: Wer \(1/0{,}63\) rechnet, ohne die Millisekunden umzurechnen, erhält \(1{,}6\,\mathrm{Hz}\) — genau um den Faktor 1000 zu klein. Rechnen Sie Zeiten immer erst in Sekunden um, dann ergibt \(f\) automatisch Hertz, und erst am Schluss teilen Sie für Kilohertz durch 1000. Als Kontrolle taugt die Größenordnung: Eine Schwingung, die weniger als eine Millisekunde dauert, muss über 1000-mal pro Sekunde stattfinden.