Typische Fehler

✓Die Amplitude \(\hat{y}\) ist die größte Auslenkung aus der Ruhelage. Gemessen wird also nur von der Ruhelage bis zu einem Umkehrpunkt, nicht von einem Umkehrpunkt zum anderen.

✓Der Abstand zwischen beiden Umkehrpunkten heißt Gesamthub und ist doppelt so groß: \(2\hat{y}\). Wer ihn als Amplitude einsetzt, verdoppelt jedes Ergebnis, das von \(\hat{y}\) abhängt.

✓Die Periodendauer \(T\) ist die Zeit für eine volle Hin- und Her-Bewegung, bis der Körper wieder im selben Bewegungszustand ist. Von Umkehrpunkt zu Umkehrpunkt vergeht nur \(\tfrac{T}{2}\).

✓Wer \(T\) halbiert misst, verdoppelt über \(f=\dfrac{1}{T}\) automatisch die Frequenz — der Fehler zieht sich durch die ganze Aufgabe.

✓Messtrick aus dem Kapitel: nicht eine einzelne Periode stoppen, sondern 20 Perioden und die Zeit durch 20 teilen. Das drückt den Reaktionsfehler auf ein Zwanzigstel.

✓Gleichförmig ist nur die Drehung. Die Schwingung ist die Projektion des Zeigers auf die \(y\)-Achse: \(y=\hat{y}\cdot\sin\varphi\) mit \(\varphi=\omega t\). Diese Projektion läuft ungleichförmig.

✓In der Ruhelage ist die Projektion am schnellsten, an den Umkehrpunkten steht sie kurz still. Genau diese Ungleichmäßigkeit erzeugt die Sinusform der Kurve.

✓Die Frequenz \(f=\dfrac{1}{T}\) zählt die Schwingungen pro Sekunde, Einheit Hertz mit \(1\,\mathrm{Hz}=\tfrac{1}{\mathrm s}\).

✓Die Kreisfrequenz \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\) gibt an, welchen Winkel der Zeiger pro Sekunde überstreicht. Sie ist um den Faktor \(2\pi\approx 6{,}28\) größer und wird in \(\tfrac{1}{\mathrm s}\) (rad/s) angegeben.

✓Ebenfalls falsch ist \(\omega=\dfrac{2\pi}{f}\): Durch \(T\) wird geteilt, mit \(f\) wird multipliziert.

✓Im Sinus steht das Argument \(\omega t\) — und \(\omega\) ist um \(2\pi\) größer als \(f\). Setzt man \(f\) ein, fehlt dieser Faktor, das Argument ist rund sechsmal zu klein.

✓Richtige Reihenfolge: erst \(\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f\) berechnen, dann \(y=\hat{y}\cdot\sin(\omega t)\) auswerten.

✓Die Kreisfrequenz hat die Einheit \(\tfrac{1}{\mathrm s}\). Das Produkt \(\omega t\) ist deshalb eine reine Zahl ohne Einheit — und genau so ist ein Winkel im Bogenmaß definiert. Der Rechner muss auf RAD stehen.

✓Kontrolle: Ein Viertel der Periode entspricht \(\omega t=\tfrac{\pi}{2}\approx 1{,}57\); dort muss \(\sin(\omega t)=1\) herauskommen. Zeigt der Rechner stattdessen \(0{,}027\), steht er im Gradmaß.

✓In \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\) kommt die Amplitude überhaupt nicht vor. Die Schwingungsdauer hängt nur von der Masse \(m\) und der Richtgröße \(D\) ab.

✓Physikalisch: Nach \(F=-D\cdot y\) ist die rücktreibende Kraft bei größerer Auslenkung genauso viel größer. Der Körper wird stärker beschleunigt und ist entsprechend schneller unterwegs — längerer Weg und höhere Geschwindigkeit heben sich exakt auf.

✓Eine größere Masse wird stärker gezogen, ist aber im selben Maß träger. Beides hebt sich auf: Die Masse kürzt sich heraus und taucht in \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) gar nicht mehr auf.

✓Die Schwingungsdauer des Fadenpendels hängt nur von der Länge \(l\) und der Fallbeschleunigung \(g\) ab — bei kleinen Winkeln bis etwa \(10^\circ\) auch nicht von der Amplitude. Vierfache Länge verdoppelt \(T\).

✓Genau deshalb lässt sich aus gemessenem \(T\) und bekannter Länge \(l\) umgekehrt die Fallbeschleunigung \(g\) bestimmen.

✓Feder-Masse-Pendel: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{m}{D}}\) — Masse in \(\mathrm{kg}\), Richtgröße in \(\tfrac{\mathrm N}{\mathrm m}\). Kein \(g\), denn die Feder liefert den Rücktrieb.

✓Fadenpendel: \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{l}{g}}\) — Länge in \(\mathrm m\), \(g=9{,}81\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm{s^2}}\). Keine Masse, denn der Rücktrieb kommt aus der Schwerkraft und die Masse kürzt sich heraus.

✓Merkhilfe ist der gemeinsame Bauplan \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{\text{Trägheit}}{\text{Rücktrieb}}}\): Man muss nur entscheiden, wer in diesem Aufbau die Trägheit stellt und wer zurücktreibt.

✓Es schwingen Ladung und Stromstärke: Der geladene Kondensator entlädt sich über die Spule, der Strom wechselt periodisch die Richtung, der Kondensator lädt sich immer wieder um.

✓Die Energie pendelt dabei zwischen dem elektrischen Feld des Kondensators und dem magnetischen Feld der Spule: Ist der Kondensator voll geladen, steckt die ganze Energie im elektrischen Feld und der Strom ist null; ist der Strom maximal, steckt die ganze Energie im magnetischen Feld und der Kondensator ist leer.

✓Die Analogie ist mehr als ein Bild: \(m\leftrightarrow L\) (Trägheit), \(D\leftrightarrow \tfrac{1}{C}\) (Rücktrieb), \(y\leftrightarrow q\) (Zustandsgröße). Deshalb steht neben \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\) die Thomson-Gleichung \(T=2\pi\sqrt{L\cdot C}\).

✓Es gilt \(1\,\mathrm{mH}=10^{-3}\,\mathrm H\) und \(1\,\mathrm{\mu F}=10^{-6}\,\mathrm F\). Also ist \(20\,\mathrm{mH}=0{,}020\,\mathrm H\), nicht \(0{,}20\,\mathrm H\).

✓In die Thomson-Gleichung \(T=2\pi\sqrt{L\cdot C}\) gehören \(L\) in Henry und \(C\) in Farad. Wer \(\mathrm{mH}\) und \(\mathrm{\mu F}\) unverändert einsetzt, liegt im Produkt um den Faktor \(10^{9}\) daneben.

✓Plausibilitätscheck: Schulschwingkreise mit \(\mathrm{mH}\) und \(\mathrm{\mu F}\) landen fast immer im Bereich einiger hundert Hertz bis einiger Kilohertz.

✓Die Wurzel steht über dem gesamten Produkt bzw. Quotienten: \(T=2\pi\sqrt{L\cdot C}\), \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{m}{D}}\), \(T=2\pi\sqrt{\tfrac{l}{g}}\). Der Faktor \(2\pi\) steht immer außerhalb.

✓Feste Reihenfolge: erst Produkt bzw. Quotient ausrechnen, dann die Wurzel ziehen, zuletzt mit \(2\pi\) multiplizieren.

✓Die Wurzel hat auch Folgen für Änderungen: Verdoppelt man \(C\), so wächst \(T\) nur um den Faktor \(\sqrt{2}\); vervierfachte Masse oder vervierfachte Fadenlänge verdoppeln \(T\).