Aufgabenblock — AFB III
Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel 6.1.1 bis 6.2.3 ab. Sie bearbeiten 10 Aufgaben der Anforderungsstufe AFB III (Verallgemeinern und Reflektieren). Gerechnet wird hier wenig — verlangt sind Urteile: Sie beurteilen Aussagen von Mitschülerinnen und Mitschülern, spüren Fehler in einer Heftlösung auf, folgen einem Entscheidungsbaum, schätzen Größenordnungen ab und entwerfen Experimente samt Entscheidungskriterium. Bei den Auswahlaufgaben sind Distraktoren eingebaut: Aussagen, die für sich genommen richtig sind, aber die gestellte Frage nicht entscheiden. Zu jeder Aufgabe gibt es gestufte Hilfen und eine ausführliche Lösung. Zwischendurch stehen zwei Werkzeuge zum Ausprobieren; sie werden nicht bewertet.
Kapitel 6.1.1. In der Auswertung des Versuchs mit der Elektronenbeugungsröhre meldet sich Nele.
Beurteilen Sie Neles Modell. Wählen Sie alle Aussagen aus, die es tragfähig widerlegen. Aussagen, die zwar zutreffen, aber zwischen Kugel- und Wellenmodell gar nicht unterscheiden, gehören nicht dazu.
So geht’s: Mit Tab von Aussage zu Aussage springen, mit Enter oder Leertaste an- und abwählen. Es sind mehrere Aussagen richtig — such alle. Prüfen zeigt dir jede Zeile einzeln.
Lösung und Bewertung anzeigen
Tragfähig sind die Aussagen 1, 3 und 5.
Zu 1: Abprallende Kugeln streuen in alle Richtungen und ergäben einen gleichmäßig nach außen auslaufenden Fleck. Beobachtet werden dagegen scharfe helle Ringe, getrennt durch dunkle Zwischenräume. Dunkle Stellen bedeuten: Hier kommt nichts an, obwohl in der Umgebung sehr viel ankommt. Das ist die Signatur der destruktiven Interferenz und lässt sich mit Abprallen nicht erzeugen.
Zu 3: Die regelmäßig angeordneten Kohlenstoffatome wirken wie ein Gitter. Schickt man Röntgenwellen auf denselben Kristall, entsteht dasselbe Muster. Ein Modell, das für Wellen und für Elektronen dasselbe Bild liefert, spricht dafür, dass beide Male derselbe Mechanismus wirkt — Interferenz.
Zu 5: Die Ringradien hängen systematisch von der Beschleunigungsspannung ab: r ~ 1/√U. Über λ = h/√(2·me·e·U) ist das genau die Abhängigkeit der Wellenlänge. Ein Abprallmodell kennt keine Wellenlänge und liefert für diese Abhängigkeit keinen Grund.
Die Distraktoren: Aussage 2 (Strahlstrom) und Aussage 4 (Foliendicke) sind physikalisch richtig — der Strahlstrom ändert nur die Helligkeit, die dickere Folie hat denselben Gitterabstand und damit dieselbe Geometrie. Aber beide Modelle sagen das voraus; sie entscheiden nichts. Aussage 6 ist zwar wahr, hat mit der Musterbildung aber nichts zu tun.
Antwortsatz: Neles Modell ist nicht haltbar. Die dunklen Zwischenräume, der Vergleich mit der Röntgenbeugung am Kristall und die Abhängigkeit r ~ 1/√U zeigen übereinstimmend, dass die Ringe ein Interferenzmuster sind — ein reines Wellenphänomen.
Kapitel 6.1.1. Gegeben ist die Aufgabe: „An der Elektronenbeugungsröhre misst man bei U1 = 2,5 kV für den inneren Ring den Radius r1 = 2,4 cm. Welchen Radius hat dieser Ring bei U2 = 10 kV, und wie ändert sich dabei die Wellenlänge?"
Aus einem Heft stammt die folgende Lösung. Sie enthält genau drei fehlerhafte Zeilen.
Markieren Sie die fehlerhaften Zeilen und korrigieren Sie sie anschließend im Kopf, bevor Sie die Lösung öffnen.
So geht’s: Mit Tab durch die Zeilen gehen, mit Enter oder Leertaste eine Zeile als fehlerhaft markieren (sie wird durchgestrichen). Nochmal drücken hebt die Markierung auf. Es sind genau drei Zeilen fehlerhaft.
Lösung, Korrektur und Fehlernamen anzeigen
Fehlerhaft sind die Zeilen 3, 4 und 5.
Zeile 3 — die Wurzel wird vergessen. Richtig ist: r ~ 1/√U. Bei vierfacher Spannung steht im Nenner √4 = 2, der Radius wird also halbiert, nicht geviertelt. (Wer stattdessen glaubt, schon die doppelte Spannung halbiere den Radius, macht denselben Fehler in die andere Richtung: dort ergibt sich 1/√2 ≈ 71 %.)
Zeile 4 — Folgefehler mit falscher Zahl. Richtig: r2 = r1·√(U1/U2) = 2,4 cm · √(2,5/10) = 2,4 cm · 0,5 = 1,2 cm.
Zeile 5 — dieselbe fehlende Wurzel bei der Wellenlänge. Aus λ = h/√(2·me·e·U) folgt λ ~ 1/√U. Die Wellenlänge sinkt also auf die Hälfte, nicht auf ein Viertel. Genau das ist der Grund für den halbierten Radius: r ~ λ.
Die beiden Fallen: Zeile 1 und Zeile 2 sind korrekt, obwohl Zeile 2 schon den Vervierfachungsfaktor nennt — die Zahl 4 ist richtig, nur der Schluss daraus in Zeile 3 ist falsch. Und Zeile 6 ist inhaltlich richtig: Der Ring ist kleiner. Eine richtige Antwort beweist eben nicht, dass der Weg dorthin stimmt.
Saubere Lösung: U2/U1 = 4 → √4 = 2 → r2 = 2,4 cm : 2 = 1,2 cm, und λ sinkt auf die Hälfte. Zur Kontrolle: Das Produkt r·√U bleibt konstant (2,4·√2,5 = 3,79 und 1,2·√10 = 3,79).
Kapitel 6.1.2. Nach der Einführung von λ = h/p meldet sich ein Mitschüler.
Nehmen Sie Stellung. Schätzen Sie dazu zuerst die Größenordnung der de-Broglie-Wellenlänge eines Fußballs ab: m = 0,43 kg, v = 25 m/s. Stellen Sie den Regler auf den Zehnerexponenten, den Sie erwarten.
So geht’s: Den Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten in Einerschritten des Exponenten bewegen; Pos1 und Ende springen an die Enden. Rechne im Kopf: erst p = m·v, dann λ = h/p — die Zehnerpotenz genügt.
Rechnung, Vergleich und Stellungnahme anzeigen
Rechnung: p = m·v = 0,43 kg · 25 m/s = 10,75 kg·m/s. Damit λ = h/p = 6,626·10−34 Js : 10,75 kg·m/s = 6,2·10−35 m.
Vergleich: Ein Atomkern hat einen Durchmesser von etwa 10−15 m, der Netzebenenabstand in Graphit beträgt 2,1·10−10 m. Die Wellenlänge des Fußballs ist also rund zwanzig Zehnerpotenzen kleiner als ein Atomkern. Es gibt keine Struktur, an der man eine solche Welle beugen könnte — und keine Messanordnung, die eine Länge dieser Größe auflöst.
Gegenprobe von der anderen Seite: Damit die Wellenlänge des Balls die Breite eines Fußballtors erreichte (7,3 m), müsste er sich mit v = h/(m·λ) = 2,1·10−34 m/s bewegen. Für einen einzigen Millimeter bräuchte er dann 4,8·1030 s, also etwa 1,5·1023 Jahre — das Universum ist mit rund 1,4·1010 Jahren unvorstellbar viel jünger.
Stellungnahme: Der Einwand verwechselt „nicht messbar" mit „nicht vorhanden". Die Gleichung λ = h/p gilt für jedes Objekt mit Impuls, auch für den Fußball. Weil aber seine Masse und damit sein Impuls riesig sind, wird λ so winzig, dass sich Beugung grundsätzlich nicht beobachten lässt. Der Ball beugt sich nicht um den Pfosten — nicht weil die Formel für ihn ungültig wäre, sondern weil die von ihr vorhergesagte Wellenlänge um dreißig Zehnerpotenzen unter allem liegt, was ein Hindernis in der Welt an Struktur zu bieten hat. Genau deshalb sehen wir Quanteneffekte im Alltag nicht: Nicht die Natur wechselt die Regeln, sondern die Größenordnung.
Kapitel 6.1.1 mit 6.1.2. Jonas möchte den Versuch vereinfachen.
Entscheiden Sie, ob Jonas’ Versuch gelingen kann. Arbeiten Sie den Entscheidungsbaum Knoten für Knoten ab; nach jeder Wahl wird der nächste Knoten sichtbar. Am Ende prüfen Sie den ganzen Pfad.
Welche Größe entscheidet überhaupt darüber, ob an einer regelmäßigen Struktur ein Beugungsbild entstehen kann?
Setzen Sie ein: λ = 630 nm und d = 2,1·10−10 m. Welchen Wert nimmt sin α = λ/d an?
Was folgt daraus für Jonas’ Versuch?
So geht’s: In jedem Knoten mit Tab zwischen den Ästen wechseln und mit Enter oder Leertaste wählen. Der nächste Knoten erscheint danach von selbst — auch wenn der Ast nicht der beste war. Erst „Pfad prüfen" bewertet alle drei Entscheidungen.
Lösung und allgemeines Entscheidungskriterium anzeigen
Knoten 1: Entscheidend ist das Verhältnis λ/d. Leistung und Foliendicke bestimmen nur die Helligkeit des Bildes, nicht seine Geometrie.
Knoten 2: sin α = λ/d = 6,3·10−7 m : 2,1·10−10 m = 3,0·103. Der Wert 0,09 gehört zum Elektron bei 4,0 kV, der Wert 3,3·10−4 entstünde, wenn man versehentlich d/λ rechnet.
Knoten 3: Ein Sinus liegt immer zwischen −1 und 1. Ein Ergebnis von 3000 bedeutet: Es gibt keinen Winkel, der die Gitterbedingung erfüllt. Jonas’ Versuch liefert kein Ringmuster, und daran ändert weder ein stärkerer Laser noch ein weiter entfernter Schirm etwas. Auch sichtbares Licht von 550 nm hilft nicht: dort ist λ/d = 2,6·103.
Das allgemeine Kriterium: Beugung an einer Struktur mit dem Abstand d ist nur beobachtbar, wenn die Wellenlänge höchstens etwa so groß wie d ist. Sichtbares Licht ist rund tausendmal zu langwellig für den Atomabstand im Kristall. Elektronen dagegen erreichen bei einigen Kilovolt Wellenlängen von einigen Zehntel Nanometern bis wenigen Pikometern — genau in der Größenordnung des Netzebenenabstands. Nur deshalb funktioniert die Elektronenbeugung an Graphit, und nur deshalb ist sie überhaupt der Versuch, mit dem sich das Wellenverhalten von Elektronen zeigen lässt.
Antwortsatz: Jonas’ Versuch kann nicht gelingen. Mit λ = 630 nm ergäbe die Gitterbedingung sin α = 3,0·103 > 1, was unmöglich ist. Das Licht ist um mehr als drei Zehnerpotenzen zu langwellig für den Netzebenenabstand des Graphits.
Kapitel 6.1.2. Eine Arbeitsgruppe fragt: „Kann man auch mit C60-Molekülen (Fullerenen) ein Interferenzmuster erzeugen?" Statt zu raten, soll ein allgemein verwendbares Prüfverfahren entstehen.
Entwerfen Sie den Ablauf: Bringen Sie die fünf Arbeitsschritte in eine sinnvolle Reihenfolge und benennen Sie anschließend das Entscheidungskriterium. Daten: m = 1,20·10−24 kg, v = 200 m/s, Gitterkonstante d = 100 nm, Abstand Gitter–Detektor L = 1,25 m.
- Eine Struktur mit passendem Abstand aussuchen — hier ein Gitter mit d = 100 nm.
- Die Messgröße festlegen und abschätzen: Δy = L·λ/d = 35 µm — groß genug für den Detektor?
- Den Impuls des Objekts bestimmen: p = m·v = 2,40·10−22 kg·m/s.
- Das Verhältnis λ/d bilden und mit dem Kriterium vergleichen.
- Daraus die Wellenlänge berechnen: λ = h/p = 2,8·10−12 m.
So geht’s: Mit Tab zu den Pfeiltasten eines Schrittes springen und mit Enter oder Leertaste den Schritt nach oben oder unten schieben. Jede Verschiebung wird angesagt. Überlege zuerst: Welche Größe kannst du ohne alle anderen berechnen?
Reihenfolge, Kriterium und Gegenbeispiel anzeigen
Reihenfolge:
1. p = m·v = 1,20·10−24 kg · 200 m/s = 2,40·10−22 kg·m/s.
2. λ = h/p = 6,626·10−34 : 2,40·10−22 = 2,8·10−12 m.
3. Struktur wählen: Gitter mit d = 100 nm = 1,0·10−7 m.
4. λ/d = 2,8·10−12 : 1,0·10−7 = 2,8·10−5 — deutlich kleiner als 1, die Gitterbedingung ist erfüllbar.
5. Δy = L·λ/d = 1,25 m · 2,8·10−12 : 1,0·10−7 = 3,5·10−5 m = 35 µm.
Das Entscheidungskriterium besteht aus zwei Teilen. Erstens muss die Wellenlänge höchstens etwa so groß wie der Strukturabstand sein, sonst gibt es überhaupt keine Beugungsrichtung. Zweitens muss der vorhergesagte Streifenabstand Δy größer als die Auflösung des Detektors sein, sonst verschmiert das Muster zu einem einzigen Fleck. Beide Bedingungen sind hier erfüllt: 35 µm lassen sich messen.
Warum der zweite Teil nötig ist — ein Gegenbeispiel: Nimmt man statt des feinen Gitters eine Unterrichtsblende mit d = 0,50 mm und Elektronen mit λ = 1,23·10−11 m, so ist die erste Bedingung glänzend erfüllt, aber Δy = 9,8·10−9 m ≈ 10 nm. Das ist rund tausendmal kleiner als die Detektorauflösung von etwa 0,01 mm — man sieht nur einen hellen Fleck. Ein Versuch kann also an der Geometrie scheitern, obwohl die Physik ihn erlaubt.
Bemerkenswert am Fulleren: Seine Wellenlänge von 2,8·10−12 m ist etwa siebenmal kleiner als die 1,9·10−11 m eines Elektrons bei 4,0 kV und rund vierhundertmal kleiner als das Molekül selbst. Trotzdem interferiert es. Das Verfahren macht sichtbar, dass die Frage „Quantenobjekt oder nicht?" keine Frage der Größe des Objekts ist, sondern eine Frage von λ, d und Auflösung.
Die Leiter der Wellenlängen
Neun Objekte aus dem Kapitel, alle nach derselben Regel λ = h/(m·v) gerechnet, auf einer logarithmischen Achse von 10−36 m bis 100 m. Zwei Marken helfen beim Urteilen: der Netzebenenabstand in Graphit (2,1·10−10 m) und der Durchmesser eines Atomkerns (10−15 m). Wählen Sie ein Objekt und lesen Sie ab, wie weit seine Wellenlänge von der Marke entfernt liegt, an der Beugung überhaupt möglich wird. Dieses Werkzeug wird nicht bewertet.
Bedienung: Mit Tab zu den Schaltflächen, mit Enter oder Leertaste auswählen; die Pfeiltasten wechseln direkt zum nächsten oder vorigen Objekt. Nichts wird animiert — jedes Bild erscheint sofort.
Kapitel 6.2.1. Im Doppelspaltversuch mit einzelnen Elektronen erscheint jedes Mal genau ein Punkt auf dem Leuchtschirm. Zur Auswertung liegen Messwerte vor (je N = 20 000 Elektronen), einmal für einen dunklen Streifen P und einmal für einen hellen Streifen Q:
nur Spalt 1 offen: P 850, Q 900 · nur Spalt 2 offen: P 870, Q 880 · beide offen: P 35, Q 3520
Beurteilen Sie die vier Aussagen. Ordnen Sie jede genau einer Spalte zu; eine Spalte darf mehrfach vorkommen.
| Aussage | trifft zu | trifft nicht zu | richtig beobachtet, aber falsch gedeutet |
|---|---|---|---|
| Jedes einzelne Elektron wird als punktförmiger Fleck nachgewiesen, nie als verschmierter Streifen. | |||
| Weil der Treffer punktförmig ist, muss das Elektron auf einer festen Bahn durch genau einen der beiden Spalte geflogen sein. | |||
| Gäbe es feste Bahnen, müsste das Bild bei zwei offenen Spalten die Summe der beiden Einzelspaltbilder sein — an P also etwa 1720 statt der gemessenen 35 Treffer. | |||
| In P fehlen fast alle erwarteten Treffer — dort müssen die Elektronen also vernichtet worden sein. |
So geht’s: Mit Tab in eine Zeile springen, mit den Pfeiltasten die Spalte wählen. Die dritte Spalte ist für Aussagen gedacht, deren Beobachtung stimmt, deren Schlussfolgerung aber nicht.
Beurteilung und Begründung anzeigen
Zeile 1 — trifft zu. Der Nachweis ist immer punktförmig: ein einzelner Fleck, nie ein verschmiertes Muster. Ein einzelnes Elektron erzeugt keine Streifen; das Muster ist stets die Summe sehr vieler Ereignisse. Bei 10 Elektronen sieht man scheinbar zufällige Punkte, bei 1000 lässt sich das Streifenmuster erahnen, bei 100 000 ist es klar ausgeprägt — und die Lage der Streifen ändert sich dabei nie.
Zeile 2 — trifft nicht zu. Aus dem punktförmigen Nachweis folgt nur, wo das Elektron registriert wurde, nicht, wie es dorthin gelangte. Der Schluss auf eine feste Bahn durch einen bestimmten Spalt ist eine Zusatzannahme, die die Messung nicht hergibt.
Zeile 3 — trifft zu. Das ist genau die Gegenprobe zu Zeile 2: Wären die Bahnen fest, wäre jedes Elektron entweder ein Spalt-1- oder ein Spalt-2-Elektron, und das Gesamtbild müsste die Summe der Einzelbilder sein. An P erwartete man 850 + 870 = 1720 Treffer, gemessen werden 35 — rund 2 %. Minima wären bei festen Bahnen gar nicht möglich. Die Amplitudenaddition trifft dagegen: An Q ergibt (√900 + √880)2 ≈ 3560, gemessen wurden 3520.
Zeile 4 — richtig beobachtet, aber falsch gedeutet. Dass in P fast alle erwarteten Treffer fehlen, ist korrekt abgelesen. Der Schluss auf Vernichtung ist falsch: Die Gesamtzahl der Elektronen bleibt gleich. An Q kommen statt der klassisch erwarteten 1780 gleich 3520 an — die fehlenden Treffer aus den Minima tauchen in den Maxima wieder auf. Interferenz ist Umverteilung von Intensität, nie Vernichtung; die Energieerhaltung bleibt gewahrt.
Antwortsatz: Der punktförmige Treffer zeigt, dass Elektronen stets als Ganzes und an einem Ort nachgewiesen werden. Er erlaubt aber keinen Schluss auf eine Bahn durch genau einen Spalt — die Messwerte widerlegen diese Annahme sogar, denn sonst dürfte es keine Minima geben.
Kapitel 6.2.1. Eine verbreitete Erklärung für das Streifenmuster lautet:
Entwerfen Sie ein Experiment, das diese Behauptung entscheidet, und benennen Sie das Entscheidungskriterium. Wählen Sie alle Bausteine aus, die der Versuch dafür braucht.
So geht’s: Mit Tab zur Aussage, mit Enter oder Leertaste an- und abwählen. Frag dich bei jedem Baustein: Bringt er die Entscheidung näher — oder arbeitet er ihr sogar entgegen?
Versuchsplan, Kriterium und Ergebnis anzeigen
Nötig sind die Bausteine 1, 2, 4 und 6.
Der Plan: Man drosselt die Glühkathode so weit, dass sie einzelne Elektronen freisetzt — etwa 60 pro Minute. Jedes Elektron wird beschleunigt, durchläuft den Doppelspalt und erzeugt genau einen Punkt auf dem Leuchtschirm. Dieser Punkt wird gespeichert, dann folgt das nächste Elektron. Nach sehr vielen Durchgängen betrachtet man die Summe aller Punkte.
Der Nachweis der Vereinzelung gehört zwingend dazu, sonst bleibt der Einwand bestehen: Die Flugdauer beträgt t = s/v = 0,45 m : 3,0·107 m/s = 15 ns, der mittlere zeitliche Abstand bei 1,0·103 Elektronen pro Sekunde dagegen Δt = 1,0 ms. Das Verhältnis t/Δt = 1,5·10−5 heißt: Die Apparatur ist nur an etwa 0,0015 % der Zeit überhaupt besetzt und im Mittel rund 67 000-mal so lange leer, wie ein Flug dauert. Ein Stoßpartner ist praktisch nie da.
Das Entscheidungskriterium: Entsteht das Streifenmuster auch bei Vereinzelung — mit denselben Streifenlagen wie im starken Strahl —, so kann es nicht von gegenseitigen Stößen herrühren. Bliebe dagegen ein strukturloser Fleck, wäre die Behauptung gestützt.
Das Ergebnis: Das Muster entsteht. Jedes Elektron interferiert mit sich selbst; man spricht von Selbstinterferenz. Bei 60 Elektronen pro Minute und 50 Minuten Messzeit kommen 3000 Treffer zusammen, in denen sich das Muster gerade erahnen lässt; für ein sauberes Bild braucht man Hunderttausende Ereignisse. Genau deshalb gelang dieser Versuch mit einzelnen Elektronen erst 1989.
Warum die beiden anderen Bausteine schaden: Ein höherer Strahlstrom bringt mehr Elektronen gleichzeitig in die Apparatur — er stellt genau die Bedingung wieder her, die der Versuch ausschließen soll. Zwei gleichzeitig betriebene Quellen tun dasselbe noch deutlicher. Beide Maßnahmen würden das Bild schneller sichtbar machen, aber die Frage unbeantwortet lassen.
Kapitel 6.2.2. Nach der Einführung der stochastischen Deutung sagt Mia:
Beurteilen Sie Mias Position. Wählen Sie alle Aussagen aus, die sie tragfähig widerlegen. Zwei der Antwortmöglichkeiten sind selbst verbreitete Fehlvorstellungen — die gehören nicht dazu.
So geht’s: Mit Tab zur Aussage, mit Enter oder Leertaste an- und abwählen. Vier Aussagen widerlegen Mia, zwei sind selbst falsch.
Beurteilung und Stellungnahme anzeigen
Tragfähig sind die Aussagen 1, 2, 4 und 6.
Zu 1: Helle Streifen entstehen dort, wo ψ eine große Amplitude hat: hohe Wahrscheinlichkeit. In dunklen Streifen ist die Amplitude null, also ist auch die Findewahrscheinlichkeit null — dort landet kein Elektron. Ein bloß unbekannter, aber tatsächlich vorhandener Auftreffort müsste sich dort gelegentlich zeigen.
Zu 2: Die Unbestimmtheit ist grundsätzlicher Natur. Selbst wenn ψ vollständig bekannt ist, bleibt offen, wo das nächste Elektron einschlägt. Bessere Geräte ändern daran nichts, weil das Problem nicht in den Geräten steckt.
Zu 4: ψ ist eine Wahrscheinlichkeitsamplitude, keine Wissenslücke und auch kein verschmiertes Elektron. Sie darf sogar negativ werden; gemessen wird das Quadrat, weshalb Wellenberg und Wellental gleichwertig sind. Nachgewiesen wird immer ein Punkt.
Zu 6: Mia hätte recht, wenn die Theorie nichts vorhersagte. Sie sagt aber die Häufigkeitsverteilung sehr genau voraus: Erwartungswert P·N = 0,12 · 5000 = 600 Treffer, typische Streuung √600 ≈ 25, also rund 4 %. Vorhersagbar ist die Verteilung, unbestimmt der Einzelfall.
Die beiden Fehlvorstellungen: Aussage 3 überzieht in die Gegenrichtung — aus dem zufälligen Einzelfall folgt gerade nicht, dass nichts vorhersagbar wäre. Aussage 5 deutet ψ als „verschmiertes Elektron"; tatsächlich wird stets ein punktförmiger Treffer registriert, und ψ beschreibt nicht das Objekt selbst, sondern die Amplitude, aus deren Quadrat die Findewahrscheinlichkeit folgt.
Antwortsatz: Mias Vergleich mit dem Würfel trägt nicht. Beim Würfel verdeckt Unwissenheit einen bestehenden Wert; beim Elektron gibt es vor der Messung keinen bestimmten Auftreffort. Die Theorie ist deshalb nicht unvollständig — sie sagt exakt das voraus, was überhaupt bestimmt ist: die Verteilung sehr vieler Treffer.
Kapitel 6.2.2. Zu bearbeiten war: „In einem Streifen beträgt die Findewahrscheinlichkeit P = 12 %. Wie viele Treffer erwartet man bei N = 5000 Elektronen? In einem anderen Streifen sagt die Rechnung 500 Treffer voraus, gemessen werden 480 — was folgt daraus? Und was geschieht, wenn die Amplitude von ψ verdoppelt wird?"
Die folgende Heftlösung enthält genau drei fehlerhafte Zeilen. Markieren Sie sie und formulieren Sie die Korrektur.
So geht’s: Mit Tab durch die Zeilen, mit Enter oder Leertaste markieren. Drei Zeilen sind fehlerhaft — je eine bei der Einheit, eine bei der Deutung einer Abweichung und eine beim Quadrat.
Korrektur der drei Zeilen anzeigen
Fehlerhaft sind die Zeilen 2, 4 und 5.
Zeile 2 — Prozent statt Anteil. In P·N muss P als Anteil eingesetzt werden: 12 % = 0,12. Richtig ist 0,12 · 5000 = 600 Treffer. Der Fehler kostet den Faktor 100; ein Blick auf die Plausibilität hätte ihn gefangen — mehr Treffer als Elektronen kann es nicht geben.
Zeile 4 — Streuung als Widerspruch missdeutet. Die typische Streuung beträgt etwa √Nerw = √500 ≈ 22 Treffer. Die gemessene Abweichung von 20 liegt also innerhalb der normalen Schwankung; von einem Widerspruch kann keine Rede sein. Erwartungswerte sind Vorhersagen über Häufigkeiten, keine Garantien für jede einzelne Messung. Je größer N, desto kleiner wird die relative Abweichung: Sie geht wie 1/√N.
Zeile 5 — das Quadrat vergessen. Es gilt P ~ |ψ|². Doppelte Amplitude bedeutet daher vierfache Trefferzahl, halbe Amplitude ein Viertel, ein Viertel der Amplitude ein Sechzehntel und drei Viertel der Amplitude etwa neun Sechzehntel — also gut die Hälfte.
Die korrekten Zeilen: Zeile 1 nennt die richtige Formel, Zeile 3 die richtige Größenordnung der Streuung, und Zeile 6 trifft zu: ψ darf negativ sein, weil gemessen wird das Quadrat — Wellenberg und Wellental sind gleichwertig.
Zur Kontrolle mit anderen Zahlen: Ist die Amplitude an einer Stelle A dreimal so groß wie an B, so treffen dort neunmal so viele Elektronen ein. Werden bei N = 20 000 in B 100 Treffer gezählt, sind es in A 900, entsprechend PA = 0,045 = 4,5 %.
Die Komplementaritäts-Waage
Der Regler bestimmt, für welchen Anteil der Elektronen der Weg bekannt wird. Bei 0 % ist keine Weginformation verfügbar und man sieht das volle Streifenmuster; bei 100 % ist jeder Weg bekannt und es bleiben zwei breite Streifen wie von zwei Einzelspalten. Dazwischen addieren sich beide Bilder — der Übergang ist stetig, nicht sprunghaft. Achten Sie darauf, dass die Gesamtzahl der Treffer dabei unverändert bleibt: Es verschwindet nichts, es wird nur umverteilt. Dieses Werkzeug wird nicht bewertet.
Bedienung: Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten in 5-Prozent-Schritten verändern; die drei Schaltflächen springen direkt zu den Eckfällen. Es wird nichts animiert — jedes Bild erscheint sofort.
Kapitel 6.2.3. Im Fulleren-Interferometer wird die Sichtbarkeit V des Streifenmusters in Abhängigkeit von der Ofentemperatur gemessen: 900 K → V ≈ 0,47 · 2100 K → 0,25 · 2400 K → 0,12 · 3000 K → 0,01. Bis etwa 1500 K bleibt die Kurve nahezu flach, der Halbwert gegenüber 900 K liegt bei rund 2150 K.
Nehmen Sie Stellung und beurteilen Sie die vier Aussagen. Eine Spalte darf mehrfach vorkommen.
| Aussage | trifft zu | trifft nicht zu | richtig beobachtet, aber falsch gedeutet |
|---|---|---|---|
| Die Sichtbarkeit fällt von 0,47 bei 900 K auf 0,01 bei 3000 K; bei etwa 2150 K ist der Halbwert erreicht. | |||
| Bis etwa 1500 K bleibt V nahezu unverändert, obwohl der Ofen bereits deutlich heißer geworden ist. | |||
| Der flache Anfangsbereich lässt sich allein mit dem Rückstoß der abgestrahlten Photonen erklären. | |||
| Weil die Kurve mit steigender Temperatur abfällt, muss das Molekül mechanisch aus seiner Bahn geworfen werden. |
So geht’s: Mit Tab in eine Zeile springen, mit den Pfeiltasten die Spalte wählen. Nutze vorher Werkzeug 2, um den stetigen Übergang zwischen Wellen- und Teilchenbild zu sehen.
Beurteilung, Deutung und Stellungnahme anzeigen
Zeile 1 — trifft zu. Das ist die reine Beschreibung der Messreihe: 900 K → 0,47, 2100 K → 0,25, 2400 K → 0,12, 3000 K → 0,01. Der Halbwert gegenüber 900 K (V ≈ 0,24) wird bei etwa 2150 K erreicht.
Zeile 2 — trifft zu. Der flache Anfangsbereich bis rund 1500 K ist kein Messfehler, sondern ein Befund, den jede Erklärung leisten muss.
Zeile 3 — trifft nicht zu. Genau daran scheitert die Rückstoß-Erklärung. Auch unterhalb von 1500 K strahlt das heiße Molekül bereits; nach der Rückstoß-Vorstellung müsste die Sichtbarkeit dort schon spürbar abnehmen. Sie tut es nicht. Entscheidend ist nicht der Stoß, sondern die Wellenlänge der Wärmestrahlung: Erst wenn sie kurz genug wird, lassen sich die beiden Wege durch das Gitter unterscheiden, und erst dann geht Interferenz verloren.
Zeile 4 — richtig beobachtet, aber falsch gedeutet. Dass die Kurve abfällt, stimmt. Der Schluss auf einen mechanischen Bahnverlust ist es nicht. Maßgeblich ist die grundsätzliche Verfügbarkeit der Weginformation — unabhängig davon, ob jemand sie tatsächlich abliest. Deshalb ändert auch ein eingebauter, aber ausgeschalteter Welcher-Weg-Detektor nichts am Interferenzbild.
Stellungnahme: Der Einwand beschreibt die Beobachtung korrekt, deutet sie aber falsch. Was hier stetig verschwindet, ist nicht die Bahntreue, sondern die Wellenseite des Quantenobjekts — in dem Maße, in dem die Teilchenseite verfügbar wird. Wird nur etwa jedes zweite Molekül „verraten", so addieren sich halbes Interferenzbild und halbes Teilchenbild und der Kontrast halbiert sich ungefähr. Genau diesen stetigen Übergang zeigt die Messkurve. Welle und Teilchen sind zwei einander ergänzende Seiten desselben Quantenobjekts; welche sichtbar wird, entscheidet der Versuchsaufbau — nie beide zugleich. Das Objekt „verwandelt" sich dabei nicht, und es wird auch nicht aus der Bahn geworfen: Nur die Frage, die das Experiment stellt, hat sich geändert.
Reflexion — bevor Sie weitergehen
Drei Fragen zum Nachdenken — beantworten Sie sie für sich selbst.
- 1. Was entscheidet ein Argument?In A1, A7 und A8 waren Aussagen dabei, die zwar zutreffen, die gestellte Frage aber nicht entscheiden. Woran haben Sie diese Distraktoren erkannt — und welche haben Sie zunächst angeklickt?
- 2. Beobachtung und Deutung:Die Spalte „richtig beobachtet, aber falsch gedeutet" gab es in A6 und A10 genau einmal. Formulieren Sie zu beiden Fällen in einem Satz, wo die Beobachtung endet und die Deutung beginnt.
- 3. Größenordnung als Argument:A3, A4 und A5 endeten alle mit demselben Muster: eine Zahl ausrechnen und sie mit einer Schranke vergleichen (λ gegen d, sin α gegen 1, Δy gegen die Auflösung). Welche der drei Schranken würden Sie in einer Klausur am ehesten vergessen?