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Übung — AFB II

Zehn Aufgaben aus den Kapiteln 6.1.1 bis 6.2.3, alle auf der Stufe AFB II: Zusammenhänge herstellen, mehrere Schritte verketten, Messreihen auswerten und Größen ins Verhältnis setzen.

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Aufgabenblock — AFB II

Diese Übung deckt alle fünf Unterkapitel 6.1.1 bis 6.2.3 ab. Sie lösen 10 Aufgaben der Anforderungsstufe AFB II (Zusammenhänge herstellen): Messreihen auswerten, Formeln aus Bausteinen zusammensetzen, Verhältnisse bilden und Rechenketten über mehrere Schritte führen. In den Ketten wird der nächste Schritt erst frei, wenn der vorige stimmt — so merken Sie sofort, wo ein Zwischenergebnis kippt. Zu jeder Aufgabe gibt es gestufte Hilfen und eine ausführliche Lösung. Zwischendurch stehen zwei Werkzeuge zum Ausprobieren; sie werden nicht bewertet.

A1
Messreihe auswerten — bleibt r·√U konstant?
AFB II

Kapitel 6.1.1. An einer Elektronenbeugungsröhre wird der Radius r des inneren Rings für fünf Beschleunigungsspannungen gemessen (Ablesegenauigkeit ±0,03 cm).

Messreihe: Beschleunigungsspannung und Radius des inneren Beugungsrings
U in kV2,03,04,05,06,0
r in cm2,001,641,421,261,15

Prüfen Sie die Vermutung r ~ 1/√U, indem Sie das Produkt r·√U bilden. Arbeiten Sie die Kette Schritt für Schritt ab.

Schritt 1
√kV
Schritt 2
cm·√kV
Schritt 3
cm

So geht’s: Dezimalkomma benutzen, nur die Zahl eintragen. Mit Enter im Feld prüfst du direkt. Der nächste Schritt öffnet sich erst, wenn der vorige stimmt.

Idee des Tests: Wenn r ~ 1/√U gilt, dann muss das Produkt r·√U für alle Messwerte denselben Wert ergeben. Genau das prüft man bei einer Messreihe: nicht einzelne Werte vergleichen, sondern die vermutete Größe bilden.
Rechnen: √4,0 = 2,00. Damit ist r·√U = 1,42 cm · 2,00 = 2,84 cm·√kV. Für die Vorhersage stellen Sie um: r = Konstante / √U = 2,83 / √8,0.
Zum Abgleichen: √8,0 = 2,83. Also r = 2,83 cm·√kV / 2,83 √kV = 1,00 cm. Die Einheiten kürzen sich sauber weg — ein gutes Zeichen, dass die Kette stimmt.
Lösung anzeigen
Produkt r·√U für alle fünf Messpunkte: 2,83 · 2,84 · 2,84 · 2,82 · 2,82 cm·√kV. Der Wert ist im Rahmen der Ablesegenauigkeit konstant — die Vermutung r ~ 1/√U ist damit gestützt.

Vorhersage: r(8,0 kV) = 2,83 / √8,0 = 1,00 cm. Kontrolle über das Verhältnis: von 2,0 kV auf 8,0 kV ist die vierfache Spannung, also der halbe Radius — 2,00 cm : 2 = 1,00 cm. Beide Wege führen zum selben Ergebnis.

Wichtig für die Deutung: Eine Konstante über fünf Messpunkte ist ein Argument, kein Beweis. Sie zeigt, dass die Daten zum Wellenmodell passen — abprallende Kugeln hätten gar keinen scharfen Ring geliefert.
r/cm U/kV 2,01,0 2468 1,00 cm ?
Messpunkte und Vorhersage
A2
Welche Spannung drittelt den Ringradius?
AFB II

Kapitel 6.1.1. Bei U1 = 400 V misst man am inneren Ring r1 = 3,6 cm. Der Ring soll auf ein Drittel schrumpfen, also auf r2 = 1,2 cm.

a) Stellen Sie am Regler die Spannung ein, bei der der Ring den Zielradius erreicht. Der angezeigte Radius folgt r = r1·√(U1/U). Eine Abweichung von etwa ±150 V wird noch als Treffer gewertet.

U = 400 V → r = 3,60 cm

b) Beurteilen Sie außerdem: Auf wie viel Prozent des ursprünglichen Radius sinkt der Ring, wenn man die Spannung lediglich verdoppelt?

%

Bedienung: Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten in 50-V-Schritten verschieben (Pos1 und Ende springen an die Enden). Der Ring rechts folgt deiner Einstellung, der gestrichelte Kreis zeigt das Ziel.

Umgekehrte Richtung: Bisher war die Spannung gegeben und der Radius gesucht. Hier ist es andersherum. Stellen Sie r2 = r1·√(U1/U2) nach U2 um — die Wurzel wird dabei zum Quadrat.
Über den Faktor denken: Der Radius soll auf 1/3 sinken. Weil r ~ 1/√U gilt, muss √U das Dreifache werden — und U selbst damit das Neunfache. Für b) ist der Faktor bei doppelter Spannung 1/√2.
Zahlen: 9 · 400 V = 3600 V. Und 1/√2 = 0,707 = 70,7 %, also rund 71 %.
Lösung anzeigen
a) Aus r2 = r1·√(U1/U2) folgt U2 = U1·(r1/r2)² = 400 V · (3,6/1,2)² = 400 V · 9 = 3600 V.
b) Bei doppelter Spannung ist r2/r1 = 1/√2 = 0,707 ≈ 71 %.

Genau hier sitzt einer der häufigsten Fehler: „Doppelte Spannung halbiert den Ring“ ist falsch — es bleiben 71 % übrig. Erst die vierfache Spannung halbiert den Radius, die neunfache drittelt ihn. Weil r ~ λ gilt, sinkt mit dem Radius immer auch die de-Broglie-Wellenlänge im selben Verhältnis.
Leuchtschirm: der volle Ring gehoert zur eingestellten Spannung, der gestrichelte Kreis markiert den Zielradius von 1,2 Zentimetern eingestellt Ziel 1,2 cm
Ring und Zielradius
A3
Von der Energiebilanz zur Formel λ(U)
AFB II

Kapitel 6.1.2. Für beschleunigte Elektronen lässt sich die de-Broglie-Wellenlänge direkt aus der Spannung berechnen. Setzen Sie die Herleitung aus den Bausteinen zusammen — zwei Bausteine bleiben übrig.

1. Die Beschleunigungsarbeit steckt vollständig in der kinetischen Energie: e·U =

2. Nach der Geschwindigkeit aufgelöst: v =

3. Eingesetzt in λ = h/(me·v) ergibt sich λ =

Wenden Sie die fertige Formel an: U = 4,0 kV, h = 6,626·10−34 Js, me = 9,11·10−31 kg, e = 1,602·10−19 C.

Schritt 1
pm
Schritt 2
(= sin α)

So geht’s: Einen Baustein anklicken, dann die Lücke — oder mit Tab auf eine Lücke gehen und die Ziffer des Bausteins tippen. Backspace leert eine Lücke wieder.

Zwei bekannte Gleichungen treffen sich: die Energiebilanz beim Beschleunigen und λ = h/(m·v). Die Geschwindigkeit ist die Größe, die in beiden vorkommt — sie wird ersetzt.
Umformen: Aus e·U = ½·me·v² folgt v² = 2eU/me, also v = √(2eU/me). Setzt man das in λ = h/(mev) ein, wandert me mit unter die Wurzel: λ = h/√(2·me·e·U). Damit ist λ ~ 1/√U — dieselbe Abhängigkeit wie beim Ringradius.
Rechnung: 2·9,11·10−31·1,602·10−19·4000 = 1,17·10−45. Die Wurzel daraus ist 3,42·10−23. Also λ = 6,626·10−34 : 3,42·10−23 = 1,94·10−11 m — und 1 pm = 10−12 m.
Lösung anzeigen
Herleitung: e·U = ½·me·v² → v = √(2eU/me) → λ = h/(me·v) = h/√(2·me·e·U).

Zahlenwerte bei U = 4,0 kV: v = 3,75·107 m/s (rund 12,5 % der Lichtgeschwindigkeit), λ = 1,9·10−11 m = 19 pm.
Verglichen mit dem Netzebenenabstand von Graphit: λ/d = 1,9·10−11 / 2,1·10−10 = 0,092. Über die Gitterbedingung sin α = λ/d gehört dazu ein Beugungswinkel von etwa 5,3°.

Diese Formel erklärt auch das Elektronenmikroskop: hohe Spannung → kurze Wellenlänge → feine Auflösung. Zum Vergleich: sichtbares Licht mit 550 nm hätte λ/d = 2,6·103 — mit sin α > 1 ist Beugung am Graphitgitter damit unmöglich.
A4
Rechenkette: Impuls → Wellenlänge → Zielgeschwindigkeit
AFB II

Kapitel 6.1.2. Ein Elektron (me = 9,11·10−31 kg) fliegt mit v = 3,0·106 m/s. Es gilt λ = h/p = h/(m·v) mit h = 6,626·10−34 Js.

Berechnen Sie zunächst Impuls und Wellenlänge. Ermitteln Sie danach, wie schnell dasselbe Elektron sein müsste, damit seine Wellenlänge auf λ = 0,10 nm sinkt.

Schritt 1
·10−24 kg·m/s
Schritt 2
nm
Schritt 3
·106 m/s

So geht’s: Nur die Vorzahl eintragen — die Zehnerpotenz und die Einheit stehen schon daneben. Prüfen mit Enter oder über den Button.

Reihenfolge: erst p = m·v, dann λ = h/p. Für Schritt 3 wird dieselbe Gleichung nach v umgestellt: v = h/(me·λ).
Zehnerpotenzen: Vorzahlen multiplizieren, Exponenten addieren. 9,11·3,0 = 27,3 und 10−31·106 = 10−25, also 27,3·10−25 = 2,73·10−24. Beim Umrechnen der Wellenlänge gilt 1 nm = 10−9 m; 2,4·10−10 m sind also 0,24 nm — nicht 2,4 nm.
Plausibilität: Die geforderte Wellenlänge 0,10 nm ist kleiner als die berechneten 0,24 nm — das Elektron muss also schneller werden, weil v im Nenner steht. Der Faktor ist 0,242/0,10 ≈ 2,4; das Dreifache von 3,0·106 wäre zu viel.
Lösung anzeigen
1. p = 9,11·10−31 kg · 3,0·106 m/s = 2,73·10−24 kg·m/s
2. λ = 6,626·10−34 Js : 2,73·10−24 kg·m/s = 2,4·10−10 m = 0,24 nm
3. v = h/(me·λ) = 6,626·10−34 : (9,11·10−31 · 1,0·10−10) = 7,3·106 m/s

Zum Einordnen: Elektronen-Wellenlängen liegen bei einigen Zehntel Nanometern — also genau in der Größenordnung des Atomabstands im Kristall (Graphit: 2,1·10−10 m). Nur deshalb funktioniert Elektronenbeugung überhaupt. Und die Merkregel bleibt: λ ist antiproportional zu v; doppelte Geschwindigkeit bedeutet halbe Wellenlänge, nicht doppelte.
v = 3,0·10⁶ m/s λ = 0,24 nm v = 7,3·10⁶ m/s λ = 0,10 nm
Schneller heißt kurzwelliger
A5
Streifenabstand am Elektronen-Doppelspalt
AFB II

Kapitel 6.2.1. Ein Doppelspalt mit Spaltabstand d = 50 nm steht im Abstand L = 0,40 m vor dem Schirm. Die Elektronen werden mit U = 10 kV beschleunigt; dazu gehört λ = 1,23·10−11 m. In Kleinwinkelnäherung gilt Δy = L·λ/d.

Schritt 1
mm
Schritt 2
mm
Schritt 3
nm

So geht’s: Rechne konsequent in Metern und rechne erst das Ergebnis in die verlangte Einheit um. Der nächste Schritt öffnet sich, sobald der vorige stimmt.

Einheiten zuerst: 50 nm = 5,0·10−8 m und 0,50 mm = 5,0·10−4 m. In Δy = L·λ/d müssen alle drei Größen in Metern stehen.
Schritt 2 ohne neue Rechnung: λ ~ 1/√U und Δy ~ λ. Die vierfache Spannung halbiert also den Streifenabstand — dasselbe Wurzelgesetz wie beim Ringradius in A1 und A2.
Zahlen: 0,40 · 1,23·10−11 = 4,92·10−12; geteilt durch 5,0·10−8 ergibt 9,8·10−5 m. Das sind 0,098 mm, also rund 0,10 mm. Mit der 10 000-mal größeren Blende wird Δy 10 000-mal kleiner: 9,8·10−9 m.
Lösung anzeigen
1. Δy = 0,40 m · 1,23·10−11 m / 5,0·10−8 m = 9,8·10−5 m ≈ 0,10 mm — gut messbar.
2. Bei U = 40 kV ist die Spannung vervierfacht, λ und damit Δy halbieren sich: 0,049 mm.
3. Mit der Unterrichtsblende d = 0,50 mm: Δy = 0,40 · 1,23·10−11 / 5,0·10−4 = 9,8·10−9 m ≈ 10 nm.

Beurteilung: 10 nm sind rund 1000-mal kleiner als die Auflösung eines üblichen Detektors (etwa 0,01 mm). Man sähe also nur einen einzigen hellen Fleck — deshalb braucht der Elektronen-Doppelspalt Spaltabstände im Nanometerbereich. Der Streifenabstand wächst mit L und λ und sinkt mit d.
d Δy L = 0,40 m
Doppelspalt und Schirm
Werkzeug 1

Die Kette U → λ → Δy im Griff

Ziehen Sie die Beschleunigungsspannung durch und beobachten Sie, wie sich Geschwindigkeit, Wellenlänge und Streifenabstand gemeinsam ändern. Gerechnet wird mit λ = h/√(2·me·e·U) und Δy = L·λ/d für den Aufbau aus A5 (d = 50 nm, L = 0,40 m). Das Streifenbild rechts ist maßstäblich: Verdoppelt sich Δy, verdoppelt sich der Abstand der hellen Streifen. Dieses Werkzeug wird nicht bewertet.

Schirmbild eines Elektronen-Doppelspalts, dessen Streifenabstand von der eingestellten Beschleunigungsspannung abhaengt Schirm, 0,40 m hinter dem Doppelspalt
U = 10,0 kV

Bedienung: Regler mit der Maus ziehen oder mit den Pfeiltasten in 0,5-kV-Schritten verändern (Pos1/Ende springen an die Enden). Es wird nichts animiert — jedes Bild erscheint sofort.

A6
Ist wirklich immer nur ein Elektron unterwegs?
AFB II

Kapitel 6.2.1. In einem Doppelspaltversuch legen die Elektronen von der Quelle bis zum Schirm die Strecke s = 0,45 m mit v = 3,0·107 m/s zurück. Die Quelle liefert im Mittel 1,0·103 Elektronen pro Sekunde.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich praktisch nie zwei Elektronen gleichzeitig in der Apparatur befinden.

Schritt 1
ns
Schritt 2
ms
Schritt 3
·10−5

So geht’s: 1 ns = 10−9 s und 1 ms = 10−3 s. Im dritten Schritt musst du beide Zeiten in derselben Einheit haben, bevor du teilst.

Zwei Zeiten vergleichen: Wie lange ist ein Elektron unterwegs — und wie viel Zeit liegt im Mittel zwischen zwei Starts? Der Quotient beider Zeiten sagt, welcher Anteil der Zeit die Apparatur überhaupt belegt ist.
Rechnen: t = 0,45 m : 3,0·107 m/s = 1,5·10−8 s. Der mittlere Abstand ist der Kehrwert der Rate: Δt = 1 : 1000 s−1 = 1,0·10−3 s. Für Schritt 3 teilen Sie 1,5·10−8 durch 1,0·10−3.
Was die Zahl bedeutet: 1,5·10−5 heißt: Die Apparatur ist nur an etwa 0,0015 % der Zeit besetzt. Anders gesagt ist sie im Mittel rund 67 000-mal so lange leer, wie ein einzelner Flug dauert.
Lösung anzeigen
1. t = s/v = 0,45 m : 3,0·107 m/s = 1,5·10−8 s = 15 ns
2. Δt = 1/Rate = 1 : 1,0·103 s−1 = 1,0·10−3 s = 1,0 ms
3. t/Δt = 1,5·10−8 : 1,0·10−3 = 1,5·10−5, also etwa 0,0015 % der Zeit.

Schlussfolgerung: Zwischen zwei Elektronen liegt im Mittel rund 67 000-mal so viel Zeit, wie ein Flug dauert. Damit ist praktisch nie ein zweites Elektron gleichzeitig unterwegs — und trotzdem entsteht nach vielen Durchgängen das Streifenmuster. Die Erklärung „die Elektronen stoßen sich gegenseitig ab“ ist damit widerlegt: Bei Vereinzelung ist kein Partner da. Jedes Elektron interferiert mit sich selbst.
Δt = 1,0 ms t = 15 ns (nicht maßstäblich) Belegte Zeit: 1,5·10⁻⁵ der Gesamtzeit Die Röhre ist fast immer leer.
Flugdauer gegen Startabstand
A7
Erwartungswert und relative Abweichung im Streifenbild
AFB II

Kapitel 6.2.2. Der Schirm ist in fünf gleich breite Streifen S1 bis S5 geteilt. Aus |ψ|² ergeben sich die Findewahrscheinlichkeiten P. Zweimal wurde gemessen: einmal mit N = 200, einmal mit N = 20 000 Elektronen.

Findewahrscheinlichkeiten und gemessene Trefferzahlen in fünf Streifen
StreifenS1S2S3S4S5
P0,050,200,500,200,05
Treffer bei N = 200647963813
Treffer bei N = 20 0001017396210 04339711007

Untersuchen Sie den Streifen S2: Wie gut passt die Messung zur Vorhersage — und warum sieht das bei kleinem N so viel schlechter aus?

Schritt 1
Treffer
Schritt 2
Treffer
Schritt 3
%
Schritt 4
%

So geht’s: P ist ein Anteil zwischen 0 und 1, keine Prozentzahl. Die relative Abweichung ist Abweichung geteilt durch Erwartungswert, mal 100.

Erwartungswert: erwartete Trefferzahl = P·N. Die typische zufällige Streuung liegt bei etwa √Nerw, die relative Streuung sinkt daher mit 1/√N.
Beide Fälle nebeneinander: Bei N = 20 000 sind 0,20·20 000 = 4000 erwartet, gemessen wurden 3962 — Differenz 38. Bei N = 200 sind 0,20·200 = 40 erwartet, gemessen wurden 47 — Differenz 7. Rechnen Sie beide Differenzen in Prozent des jeweiligen Erwartungswerts um.
Zahlen: 38/4000 = 0,0095 = 0,95 %. Und 7/40 = 0,175 = 17,5 %. Das Verhältnis der beiden relativen Abweichungen ist rund 18 — passend dazu, dass N um den Faktor 100 größer ist und die relative Streuung mit 1/√N sinkt (√100 = 10).
Lösung anzeigen
Erwartet in S2 bei N = 20 000: 0,20 · 20 000 = 4000 Treffer. Gemessen: 3962, also 38 Treffer daneben — relativ 0,95 %.
Bei N = 200: erwartet 40, gemessen 47, Differenz 7 — relativ 17,5 %.

Deutung: Beide Messungen widersprechen der Theorie nicht. Der Einzelfall bleibt offen, aber die Häufigkeitsverteilung ist sehr genau vorhersagbar — je größer N, desto besser. Die typische Streuung wächst nur mit √N, die relative Abweichung sinkt deshalb mit 1/√N. Aus einer einzelnen Abweichung (etwa 480 statt 500) darf man also nie auf einen Fehler der Theorie schließen.
A8
Von der Amplitude zur Trefferzahl
AFB II

Kapitel 6.2.2. An der Stelle A ist die Amplitude von ψ dreimal so groß wie an der Stelle B. Insgesamt werden N = 20 000 Elektronen nachgewiesen; an der Stelle B zählt man 100 Treffer.

Schritt 1
Schritt 2
Treffer
Schritt 3
(Anteil)

So geht’s: Im dritten Schritt ist der Anteil gefragt, also eine Zahl zwischen 0 und 1 — nicht die Prozentzahl.

Quadrat, nicht Amplitude: Gemessen wird nicht ψ, sondern |ψ|². Wird die Amplitude mit einem Faktor multipliziert, ändert sich die Trefferdichte mit dem Quadrat dieses Faktors.
Der Reihe nach: Amplitudenfaktor 3 bedeutet Trefferfaktor 3² = 9. Also 9 · 100 Treffer an der Stelle A. Für PA teilen Sie diese Trefferzahl durch N = 20 000.
Zahlen: 9 · 100 = 900 Treffer. PA = 900 : 20 000 = 0,045, das sind 4,5 %.
Lösung anzeigen
Amplitudenverhältnis 3 : 1 → Trefferverhältnis 3² : 1 = 9 : 1. Damit hat A 9 · 100 = 900 Treffer und PA = 900 : 20 000 = 0,045 = 4,5 %.

Zur Einordnung: Halbe Amplitude bedeutet ein Viertel der Trefferdichte, ein Viertel Amplitude ein Sechzehntel, drei Viertel Amplitude noch 9/16 — also gut die Hälfte. Dass ψ auch negativ sein darf, spielt dabei keine Rolle: Gemessen wird das Quadrat, Wellenberg und Wellental sind gleichwertig. Und wo die Amplitude null ist, kommt wirklich kein Elektron an — nicht bloß selten eines.
Amplitude ψ Treffer ~ |ψ|² B A 3× 100 900 9× Faktor 3 in ψ wird zu Faktor 9 in der Trefferzahl.
Amplitude und Trefferzahl
Werkzeug 2

Erwartungswert und Streuung

Dieselben fünf Streifen wie in A7, dieselben Wahrscheinlichkeiten 0,05 / 0,20 / 0,50 / 0,20 / 0,05. Der helle Umriss zeigt den Erwartungswert P·N, die gefüllte Säule eine gewürfelte Messung. Wählen Sie N und würfeln Sie mehrfach: Die absolute Abweichung wächst mit √N, die relative sinkt mit 1/√N. Genau das ist gemeint, wenn es heißt, der Einzelfall bleibe offen, die Verteilung sei aber sehr genau vorhersagbar. Dieses Werkzeug wird nicht bewertet.

Saeulendiagramm: erwartete und gewuerfelte Trefferzahlen in fuenf Streifen Umriss = Erwartungswert, Füllung = Messung
Zahl der Elektronen N
N = 200

Bedienung: Mit Tab zu den Schaltern, dann Enter oder Leertaste. Jedes Bild erscheint sofort, es wird nichts animiert.

A9
Zwei Spalte einzeln — und beide zusammen
AFB II

Kapitel 6.2.3. An einem Elektronen-Doppelspalt werden drei Messungen mit je N = 20 000 Elektronen durchgeführt. Gezählt werden die Treffer an zwei Stellen des Schirms: P liegt im späteren dunklen, Q im späteren hellen Streifen.

Trefferzahlen an den Stellen P und Q bei drei Versuchsanordnungen
AnordnungTreffer an PTreffer an Q
nur Spalt 1 offen850900
nur Spalt 2 offen870880
beide Spalte offen353520

Vergleichen Sie die klassische Erwartung („jedes Elektron nimmt einen der beiden Wege“) mit der Messung und mit der Addition der Amplituden.

Schritt 1
Treffer
Schritt 2
%
Schritt 3
Treffer

So geht’s: In Schritt 3 zuerst beide Wurzeln ziehen, dann addieren, erst zum Schluss quadrieren. (√900 + √880)² ist nicht dasselbe wie 900 + 880.

Zwei Modelle, zwei Rechnungen: Wer feste Bahnen annimmt, addiert die Trefferzahlen der beiden Einzelspaltbilder. Die Quantenphysik addiert dagegen die Amplituden — und die Trefferzahl ist erst das Quadrat der Summe.
Rechenweg: An P: 850 + 870 = 1720 klassisch erwartet, gemessen aber nur 35. Anteil: 35/1720. An Q liefert die Amplitudenaddition √900 = 30 und √880 = 29,7; die Summe ist 59,7, und deren Quadrat ist die vorhergesagte Trefferzahl.
Zahlen: 35/1720 = 0,020 = 2,0 %. Und (30 + 29,7)² = 59,7² ≈ 3560 — die Messung an Q ergab 3520, also eine sehr gute Übereinstimmung. Klassisch erwartet wären an Q nur 900 + 880 = 1780 gewesen.
Lösung anzeigen
An P: klassische Summe 850 + 870 = 1720, gemessen 35 — das sind nur 2,0 % des erwarteten Wertes.
An Q: klassisch erwartet 1780, gemessen 3520 — fast das Doppelte. Die Amplitudenaddition (√900 + √880)² ≈ 3560 trifft die Messung dagegen sehr gut.

Schlussfolgerung: Die Annahme fester Bahnen durch je einen Spalt ist unhaltbar — sonst müsste das Bild bei zwei offenen Spalten die Summe der Einzelspaltbilder sein, und Minima wären unmöglich. Die Elektronen werden auch nicht vernichtet: Sie werden aus den Minima in die Maxima umverteilt, die Gesamtzahl der Treffer bleibt gleich. Interferenz ist Umverteilung von Intensität, nie Vernichtung.
A10
Fulleren-Interferometer — Streifenabstand und Sichtbarkeit
AFB II

Kapitel 6.2.3. Im Fulleren-Interferometer fliegen C60-Moleküle (m = 1,20·10−24 kg, v = 200 m/s, also λ = 2,8·10−12 m) durch ein Gitter mit d = 100 nm; der Detektor steht L = 1,25 m dahinter.

a) Berechnen Sie den Streifenabstand Δy = L·λ/d.

µm

b) Je heißer der Ofen, desto kurzwelliger die abgestrahlte Wärmestrahlung — und desto mehr Welcher-Weg-Information wird verfügbar. Gemessen wurde die Sichtbarkeit V des Streifenmusters: 900 K → 0,47 · 2100 K → 0,25 · 2400 K → 0,12 · 3000 K → 0,01. Ordnen Sie zu.

Zuordnung von Temperaturbereichen zur Sichtbarkeit des Interferenzmusters
Aussage über die OfentemperaturV bleibt nahezu unverändertV ist etwa halb so groß wie bei 900 KV sinkt auf etwa die Hälfte des vorherigen WertesV ist praktisch null
Die Temperatur steigt von 900 K auf 1500 K.
Die Temperatur liegt bei etwa 2150 K.
Die Temperatur steigt von 2100 K auf 2400 K.
Die Temperatur erreicht 3000 K.

So geht’s: Mit Tab in eine Zeile springen, mit den Pfeiltasten die Spalte wählen. Jede Spalte kommt genau einmal vor. Die Aufgabe zählt erst als gelöst, wenn auch Teil a) stimmt.

a) Rechnen Sie in Metern: 100 nm = 1,0·10−7 m, und 1 µm = 10−6 m. b) Vergleichen Sie die Messpunkte paarweise — mal mit dem Wert bei 900 K, mal mit dem unmittelbar vorhergehenden Wert.
a) Δy = 1,25 m · 2,8·10−12 m : 1,0·10−7 m. b) Bis etwa 1500 K bleibt die Kurve flach. Der Halbwert von 0,47 ist rund 0,24 — er wird bei etwa 2150 K erreicht. Von 0,25 auf 0,12 ist noch einmal eine Halbierung, und 0,01 ist praktisch kein Muster mehr.
a) 1,25 · 2,8·10−12 = 3,5·10−12; geteilt durch 1,0·10−7 ergibt 3,5·10−5 m = 35 µm. b) Der entscheidende Punkt ist nicht der Rückstoß der abgestrahlten Photonen, sondern die Wellenlänge der Strahlung: Erst wenn sie kurz genug ist, werden die beiden Wege unterscheidbar.
Lösung anzeigen
a) Δy = 1,25 m · 2,8·10−12 m / 1,0·10−7 m = 3,5·10−5 m = 35 µm.
Zum Vergleich: Die Wellenlänge der Fullerene ist etwa 7-mal kleiner als die 1,9·10−11 m der Elektronen bei 4,0 kV und rund 400-mal kleiner als das Molekül selbst — und trotzdem interferiert es.

b) 900 K → 1500 K: V bleibt nahezu unverändert (flacher Teil der Kurve). Etwa 2150 K: Halbwert gegenüber 900 K (V ≈ 0,24). 2100 K → 2400 K: V sinkt auf etwa die Hälfte (0,25 → 0,12). 3000 K: V ist praktisch null (0,01).

Deutung: Je heißer der Ofen, desto kurzwelliger die Wärmestrahlung und desto besser sind die beiden Wege unterscheidbar — die Wellenseite verschwindet allmählich. Der Übergang ist stetig, nicht sprunghaft; genau das ist Komplementarität. Ein reiner Rückstoß-Effekt könnte den flachen Anfangsbereich nicht erklären.
V T/K 0,50,25 90021003000 Halbwert heißer → mehr Weginformation → V sinkt
Sichtbarkeit gegen Ofentemperatur

Reflexion — bevor Sie weitergehen

Drei Fragen zum Nachdenken — beantworten Sie sie für sich selbst.

  • 1. Wurzel und Quadrat:In A1, A2 und A5 stand eine Wurzel im Spiel (r ~ λ ~ 1/√U), in A8 und A9 ein Quadrat (P ~ |ψ|²). Bei welcher der beiden Regeln greifen Sie noch zum falschen Faktor — und woran erkennen Sie in der Aufgabenstellung, welche gemeint ist?
  • 2. Rechenketten:Die Ketten in A4, A6 und A7 haben je drei bis vier Schritte. An welcher Stelle ist Ihnen ein Zwischenergebnis gekippt — bei der Zehnerpotenz, bei der Einheit oder beim Umstellen der Formel?
  • 3. Von der Zahl zur Aussage:A6 endet mit 1,5·10−5, A9 mit 2,0 %. Beide Zahlen sind erst dann eine Antwort, wenn Sie sie in einen Satz übersetzen. Formulieren Sie beide Sätze — und prüfen Sie, ob darin wirklich eine physikalische Aussage steckt.