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Probeklausur Quantenobjekte

60 Punkte, 90 Minuten, drei Anforderungsbereiche — die ganze Kapitelbreite von 6.1.1 bis 6.2.3 in einer Klausur. Punkte, Note und Themenbilanz gibt es direkt nach dem Abgeben.

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Deckblatt — Physik eA, Kapitel 6 „Quantenobjekte“

Diese Probeklausur deckt die Unterkapitel 6.1.1 bis 6.2.3 ab: Wellenverhalten von Elektronen, De-Broglie-Wellenlänge, Doppelspalt mit einzelnen Elektronen, stochastische Deutung und Komplementarität. Bearbeiten Sie alle zehn Aufgaben. Runden Sie erst am Ende und geben Sie Zahlenwerte in der jeweils geforderten Einheit an — Komma und Punkt sind beide zulässig.

Gesamtpunkte60 Punkte10 Aufgaben
Bearbeitungszeit90 Minutenohne Einlesezeit
Verteilung15 / 30 / 15 PAFB I / II / III
HilfsmittelTaschenrechnerFormelsammlung mit Konstanten

Notenschlüssel (prozentual)

Notenschlüssel der Probeklausur, prozentual auf 60 Punkte umgerechnet
PunkteAnteilNoteBeurteilung
56 – 60 Pab 92 %1sehr gut
48 – 55 Pab 80 %2gut
36 – 47 Pab 60 %3befriedigend
27 – 35 Pab 44 %4ausreichend
15 – 26 Pab 24 %5mangelhaft
0 – 14 Punter 24 %6ungenügend

Konstanten (dürfen verwendet werden)

h = 6,626·10−34 Js  ·  e = 1,602·10−19 C  ·  me = 9,11·10−31 kg  ·  mn = 1,675·10−27 kg  ·  Netzebenenabstand Graphit d = 2,1·10−10 m

AFB I

Wissen und Reproduzieren

15 Punkte
A1
De-Broglie-Wellenlänge — Grundgrößen
AFB I 5 Punkte

Kapitel 6.1.2. Ein Elektron bewegt sich frei. Berechnen Sie mit λ = h/(m·v) die gesuchten Größen.

a) Berechnen Sie die De-Broglie-Wellenlänge für v = 1,0·106 m/s. Geben Sie das Ergebnis in Nanometern an (zwei Nachkommastellen). 2 P
nm
b) Berechnen Sie den Impuls des Elektrons für v = 2,0·106 m/s in Einheiten von 10−24 kg·m/s. 1 P
·10−24 kg·m/s
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, die zu λ = 0,10 nm gehört, in Einheiten von 106 m/s (eine Nachkommastelle). 2 P
·106 m/s

So geht’s: Trag nur die Zahl ein — die Einheit steht schon daneben. Komma oder Punkt sind beide erlaubt.

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) λ = h/(me·v) = 6,626·10−34 / (9,11·10−31 · 1,0·106) = 7,3·10−10 m = 0,73 nm

b) p = me·v = 9,11·10−31 · 2,0·106 = 1,82·10−24 kg·m/s (die zugehörige Wellenlänge wäre 0,36 nm — halbe Wellenlänge bei doppelter Geschwindigkeit).

c) Aus λ = h/(me·v) folgt v = h/(me·λ) = 6,626·10−34 / (9,11·10−31 · 1,0·10−10) = 7,3·106 m/s

Merke: v steht im Nenner — schneller bedeutet kürzere Wellenlänge, nicht längere.

A2
Elektronenbeugungsröhre — was man beobachtet
AFB I 5 Punkte

Kapitel 6.1.1. In einer Elektronenbeugungsröhre werden Elektronen durch die Spannung U beschleunigt, treffen auf eine dünne Graphitfolie und erzeugen auf dem Leuchtschirm konzentrische Ringe.

a) Erklären Sie die Entstehung der Ringe: Welche Aussage trifft zu? 2 P
b) Entscheiden Sie, welche Aussagen über den Versuch richtig sind. (mehrere Antworten richtig) 3 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Die Kohlenstoffatome der Folie sind regelmäßig angeordnet und wirken wie ein Gitter — genau wie bei Röntgenwellen an einem Kristall. Die Ringe sind Orte konstruktiver Interferenz. Abprallende Kugeln ergäben einen gleichmäßig auslaufenden Fleck ohne dunkle Zwischenräume.

b) Richtig sind: r ~ 1/√U; der Strahlstrom ändert nur die Helligkeit; die Foliendicke ändert die Geometrie nicht.

Falsch: Die doppelte Spannung senkt den Radius nur auf 1/√2 ≈ 71 % — erst die vierfache Spannung halbiert ihn. Abprallende Kugeln erzeugen keine Ringe. Und für sichtbares Licht ist λ/d ≈ 2,6·103, also sinα > 1 — Beugung an Graphit ist damit unmöglich.

Kathode Graphitfolie Leuchtschirm U beschleunigt
Elektronenbeugung an Graphit
A3
Stochastische Deutung — Begriffe und Erwartungswert
AFB I 5 Punkte

Kapitel 6.2.2. Max Born deutet das Interferenzmuster stochastisch. Ordnen Sie zu und rechnen Sie.

a) Ordnen Sie jedem Begriff die passende Aussage zu. Es stehen mehr Aussagen zur Auswahl, als Sie brauchen. 3 P
b) An einer Stelle des Schirms beträgt die Findewahrscheinlichkeit P = 0,15. Berechnen Sie die erwartete Trefferzahl für N = 2000 Elektronen. 2 P
Treffer
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) ψ ist die Wahrscheinlichkeitsamplitude; erst das Betragsquadrat |ψ|² liefert die Findewahrscheinlichkeit. Ein dunkler Streifen bedeutet Amplitude null — dort trifft wirklich kein Elektron auf, nicht nur selten. Der Erwartungswert ist P·N.

Nicht gebraucht: „der Ort, an dem das nächste Elektron einschlägt“ — genau das sagt ψ nicht voraus — sowie Ringradius und Spaltzahl.

b) P · N = 0,15 · 2000 = 300 Treffer. Achtung: P ist ein Anteil, keine Prozentzahl — sonst liegt man um den Faktor 100 daneben.

AFB II

Anwenden und Übertragen

30 Punkte
A4
Messreihe auswerten — r·√U
AFB II 8 Punkte

Kapitel 6.1.1. An einer Elektronenbeugungsröhre wird der Radius r des inneren Rings für fünf Beschleunigungsspannungen gemessen (Ablesegenauigkeit ±0,03 cm).

Messreihe: innerer Ring, Ablesegenauigkeit ±0,03 cm
U in kV2,03,04,05,06,0
r in cm2,001,641,421,261,15
r·√U in cm·√kV2,83?2,842,82?
a) Berechnen Sie die beiden fehlenden Produkte r·√U (zwei Nachkommastellen). 2 P
cm·√kV
cm·√kV
b) Deuten Sie das Ergebnis: Was folgt aus der Konstanz des Produkts? 2 P
c) Sagen Sie mit dem Mittelwert 2,83 cm·√kV den Ringradius für U = 8,0 kV voraus (zwei Nachkommastellen). 2 P
cm
d) Bestimmen Sie, welche Änderungen den Ringradius nicht beeinflussen. (mehrere Antworten richtig) 2 P

So geht’s: Die Tabelle lässt sich auf dem Handy seitlich schieben. Rechne mit den abgelesenen Werten, runde erst zum Schluss.

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) 1,64 · √3,0 = 1,64 · 1,732 = 2,84  ·  1,15 · √6,0 = 1,15 · 2,449 = 2,82 (jeweils cm·√kV).

b) Alle fünf Produkte liegen zwischen 2,82 und 2,84 — im Rahmen der Ablesegenauigkeit also konstant. Aus r·√U = const. folgt r ~ 1/√U, und wegen r ~ λ auch λ ~ 1/√U.

c) r = 2,83 / √8,0 = 2,83 / 2,828 = 1,00 cm.

d) Ohne Einfluss auf den Radius sind Strahlstrom (nur die Helligkeit ändert sich) und Foliendicke (der Gitterabstand bleibt gleich). Spannung und Netzebenenabstand gehen dagegen direkt in sinα = λ/d ein.

A5
Herleitung von λ = h/√(2·me·e·U)
AFB II 7 Punkte

Kapitel 6.1.2. Ein zunächst ruhendes Elektron wird durch die Spannung U beschleunigt. Ordnen Sie die Herleitung der Wellenlänge in vier Bausteinen und rechnen Sie anschließend.

a) Ordnen Sie jedem Herleitungsschritt den passenden Ausdruck zu. 4 P
b) Berechnen Sie damit die Wellenlänge für U = 10 kV. Geben Sie das Ergebnis in Pikometern an (eine Nachkommastelle; 1 pm = 10−12 m). 2 P
pm
c) Begründen Sie: Wie ändert sich λ, wenn U vervierfacht wird? 1 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Schritt 1: die gesamte Beschleunigungsarbeit wird kinetische Energie, e·U = ½·me·v². Schritt 2: v = √(2eU/me). Schritt 3: p = me·v = √(2·me·e·U). Schritt 4: eingesetzt in λ = h/p ergibt sich λ = h/√(2·me·e·U).

b) 2·me·e·U = 2 · 9,11·10−31 · 1,602·10−19 · 104 = 2,92·10−45; die Wurzel ist 5,40·10−23 kg·m/s.

λ = 6,626·10−34 / 5,40·10−23 = 1,23·10−11 m = 12,3 pm — das liegt in der Größenordnung des Atomabstands im Kristall, und nur deshalb funktioniert Elektronenbeugung.

c) Wegen λ ~ 1/√U halbiert sich die Wellenlänge bei vierfacher Spannung. (Bei U = 4,0 kV ergäbe die Formel 1,9·10−11 m, also 19 pm.)

A6
Doppelspalt — Streifenabstand berechnen
AFB II 8 Punkte

Kapitel 6.2.1. Einzelne Elektronen durchlaufen einen Doppelspalt und erzeugen nach vielen Durchgängen ein Streifenmuster. In der Kleinwinkelnäherung gilt Δy = L·λ/d.

Gegeben: Spaltabstand d = 50 nm  ·  Abstand Blende–Schirm L = 0,40 m  ·  Beschleunigungsspannung U = 10 kV, also λ = 1,23·10−11 m.

a) Berechnen Sie den Streifenabstand Δy. Geben Sie das Ergebnis in Millimetern an (zwei Nachkommastellen). 3 P
mm
b) Die Spannung wird auf U = 40 kV vervierfacht. Berechnen Sie den neuen Streifenabstand in Millimetern (drei Nachkommastellen). 2 P
mm
c) Begründen Sie diese Änderung. 2 P
d) Prüfen Sie einen Vorschlag aus dem Unterricht: Man nimmt die Laserblende mit d = 0,50 mm, sonst alles wie in a). Berechnen Sie Δy in Nanometern (eine Nachkommastelle). 1 P
nm
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) Δy = L·λ/d = 0,40 · 1,23·10−11 / 50·10−9 = 9,8·10−5 m ≈ 0,10 mm.

b) Vierfache Spannung ⇒ halbe Wellenlänge ⇒ halber Streifenabstand: 0,049 mm.

c) Δy ist proportional zu λ, und λ ist antiproportional zu √U. Aus √4 = 2 folgt der Faktor ½ — nicht ¼.

d) Δy = 0,40 · 1,23·10−11 / 0,50·10−3 = 9,8·10−9 m ≈ 9,8 nm — rund 1000-mal kleiner als die Detektorauflösung von etwa 0,01 mm. Man sähe nur einen hellen Fleck; die Unterrichtsblende ist für Elektronen völlig ungeeignet.

Quelle d L Δy
Doppelspalt: d, L und Δy
A7
Erwartungswert und relative Abweichung
AFB II 7 Punkte

Kapitel 6.2.2. Der Schirm wird in fünf gleich breite Streifen S1 bis S5 eingeteilt. Zu jedem Streifen ist die aus |ψ|² berechnete Findewahrscheinlichkeit P angegeben; darunter stehen die gemessenen Trefferzahlen für zwei Versuchsläufe.

Zwei Läufe desselben Aufbaus, gleiche Wahrscheinlichkeitsverteilung
StreifenS1S2S3S4S5
P0,050,200,500,200,05
Treffer bei N = 200647963813
Treffer bei N = 20 0001017396210 04339711007
a) Berechnen Sie den Erwartungswert der Trefferzahl im Streifen S2 für N = 20 000. 2 P
Treffer
b) Berechnen Sie für S2 bei N = 20 000 die relative Abweichung des Messwerts vom Erwartungswert in Prozent (zwei Nachkommastellen). 2 P
%
c) Berechnen Sie dieselbe relative Abweichung für S2 bei N = 200 (eine Nachkommastelle). 2 P
%
d) Interpretieren Sie den Vergleich beider Läufe. 1 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) P · N = 0,20 · 20 000 = 4000 Treffer.

b) Abweichung 4000 − 3962 = 38; relativ 38/4000 = 0,0095 = 0,95 %.

c) Erwartet 0,20 · 200 = 40, gemessen 47, Abweichung 7; relativ 7/40 = 17,5 %.

d) Das Verhältnis der beiden relativen Abweichungen beträgt etwa 18 — die typische Streuung wächst nur mit √N, die relative Abweichung sinkt daher mit 1/√N. Der Einzelfall bleibt offen, die Häufigkeitsverteilung ist aber sehr genau vorhersagbar. Eine einzelne Abweichung widerlegt nichts.

AFB III

Verknüpfen und Beurteilen

15 Punkte
A8
Klassische Summe gegen gemessene Trefferzahl
AFB III 6 Punkte

Kapitel 6.2.3. Ein Doppelspaltversuch wird dreimal mit je N = 20 000 Elektronen durchgeführt. Gezählt werden die Treffer an zwei festen Orten des Schirms: P liegt im späteren dunklen, Q im späteren hellen Streifen.

Je N = 20 000 Elektronen; P im dunklen, Q im hellen Streifen
AufbauTreffer bei PTreffer bei Q
nur Spalt 1 offen850900
nur Spalt 2 offen870880
beide Spalte offen353520
a) Berechnen Sie die klassisch erwartete Summe der Treffer am Ort P. 1 P
Treffer
b) Berechnen Sie die klassisch erwartete Summe der Treffer am Ort Q. 1 P
Treffer
c) Nicht die Trefferzahlen, sondern die Amplituden addieren sich. Berechnen Sie (√900 + √880)² und vergleichen Sie mit dem Messwert 3520. 2 P
Treffer
d) Beurteilen Sie die Messung: Welche Schlüsse sind zulässig? (mehrere Antworten richtig) 2 P

So geht’s: Erst beide Einzelmessungen addieren, dann mit der Messung bei zwei offenen Spalten vergleichen — der Unterschied ist der eigentliche Befund.

Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) 850 + 870 = 1720 erwartet — gemessen werden aber nur 35, also rund 2 %.

b) 900 + 880 = 1780 erwartet — gemessen werden 3520, also fast das Doppelte.

c) √900 = 30,0 und √880 = 29,7; (30,0 + 29,7)² ≈ 3560. Das passt zum Messwert 3520, die einfache Summe 1780 dagegen überhaupt nicht: Es addieren sich die Amplituden, gemessen wird deren Quadrat.

d) Zulässig sind die ersten beiden Aussagen. Gäbe es feste Bahnen durch je einen Spalt, müsste das Bild die Summe der Einzelspaltbilder sein — dann wären Minima unmöglich. Nichts wird vernichtet: Interferenz ist Umverteilung von Intensität, die Gesamtzahl der Elektronen bleibt erhalten.

A9
Vereinzelung nachweisen
AFB III 5 Punkte

Kapitel 6.2.1. Ein Kritiker behauptet, das Streifenmuster entstehe nur, weil sich die Elektronen unterwegs gegenseitig beeinflussen. Prüfen Sie diese Behauptung an den Betriebsdaten der Apparatur.

Gegeben: Weg Quelle–Schirm s = 0,45 m  ·  Geschwindigkeit v = 3,0·107 m/s  ·  Zählrate 1,0·103 Elektronen pro Sekunde.

a) Berechnen Sie die Flugdauer eines Elektrons von der Quelle bis zum Schirm in Nanosekunden. 2 P
ns
b) Berechnen Sie den mittleren zeitlichen Abstand zweier aufeinanderfolgender Elektronen in Millisekunden. 1 P
ms
c) Nehmen Sie zur Behauptung des Kritikers Stellung. 2 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) t = s/v = 0,45 / 3,0·107 = 1,5·10−8 s = 15 ns.

b) Δt = 1 / 1,0·103 s−1 = 1,0·10−3 s = 1,0 ms.

c) t/Δt = 1,5·10−8 / 1,0·10−3 = 1,5·10−5, also nur etwa 0,0015 % der Zeit. Die Apparatur ist im Mittel rund 67 000-mal so lange leer, wie ein Flug dauert — es ist praktisch nie ein zweites Elektron da, mit dem sich das erste beeinflussen könnte.

Das Muster entsteht trotzdem: Jedes Elektron interferiert mit sich selbst. Genau das gelang 1989 im Versuch mit einzelnen Elektronen.

A10
Fulleren-Interferometer abschätzen
AFB III 4 Punkte

Kapitel 6.2.3. Auch Fulleren-Moleküle C60 aus 60 Kohlenstoffatomen zeigen Interferenz. Schätzen Sie die Größenordnungen ab und beurteilen Sie den Einfluss der Ofentemperatur.

Gegeben: m = 1,20·10−24 kg  ·  v = 200 m/s  ·  Gitterkonstante d = 100 nm  ·  Abstand Gitter–Detektor L = 1,25 m.

a) Berechnen Sie den Impuls in Einheiten von 10−22 kg·m/s (zwei Nachkommastellen). 1 P
·10−22 kg·m/s
b) Berechnen Sie daraus die De-Broglie-Wellenlänge in Pikometern (zwei Nachkommastellen). 1 P
pm
c) Berechnen Sie mit dem gerundeten Wert λ = 2,8·10−12 m den Streifenabstand am Detektor in Mikrometern. 1 P
µm
d) Beim Aufheizen des Ofens von 900 K auf 3000 K sinkt die Sichtbarkeit V von etwa 0,47 auf etwa 0,01. Erklären Sie die Ursache. 1 P
Lösung anzeigen (nach Auswerten freigeschaltet)

a) p = m·v = 1,20·10−24 · 200 = 2,40·10−22 kg·m/s.

b) λ = h/p = 6,626·10−34 / 2,40·10−22 = 2,76·10−12 m, gerundet 2,8 pm — etwa 7-mal kleiner als die 19 pm der Elektronen bei 4,0 kV und rund 400-mal kleiner als das Molekül selbst.

c) Δy = L·λ/d = 1,25 · 2,8·10−12 / 1,0·10−7 = 3,5·10−5 m = 35 µm.

d) Je heißer der Ofen, desto kurzwelliger die abgestrahlte Wärmestrahlung — und desto besser lässt sich prinzipiell unterscheiden, welchen Weg das Molekül genommen hat. Mit wachsender Weginformation sinkt die Sichtbarkeit; der Halbwert V ≈ 0,24 liegt bei rund 2150 K. Bis etwa 1500 K bleibt die Kurve flach, und reiner Rückstoß erklärt diesen flachen Teil gerade nicht — entscheidend ist die Wellenlänge der Strahlung, also die Unterscheidbarkeit der Wege.

Probeklausur auswerten

Wenn Sie alle zehn Aufgaben bearbeitet haben, klicken Sie auf „Auswerten“. Jede Teilaufgabe wird automatisch geprüft — Sie erhalten Punktzahl, Note, die Bilanz nach Anforderungsbereichen und Themen sowie alle Lösungswege.

Ihr Ergebnis

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Punkte je Anforderungsbereich

Punkte je Thema

Erreichte Punkte je Thema Für jedes der fünf Unterkapitel zeigt ein waagerechter Balken die erreichten Punkte im Verhältnis zu den möglichen Punkten.

Noch nicht ausgewertet.

So geht’s: Klick in das Diagramm oder Tab setzt den Fokus, Pfeil auf/ab wechselt das Thema, Pos1 und Ende springen an den Anfang bzw. ans Ende.

Aufgabenübersicht

AufgabeAFBThemaPunkte

Gezielt weiterarbeiten

Bei Aufgaben mit mehreren richtigen Antworten zählt jede richtige Angabe, jede falsch angekreuzte zieht wieder ab. Zahlenwerte werden mit einer Toleranz von 0,5 % geprüft.