Punkt für Punkt zum Interferenzmuster
AFB IIIn einem Doppelspaltversuch werden Elektronen einzeln nacheinander auf den Doppelspalt geschickt. Jedes registrierte Elektron erzeugt auf dem Detektorschirm einen kleinen Lichtpunkt, der gespeichert wird. Material M1 zeigt vier Momentaufnahmen desselben Versuchs nach unterschiedlich vielen registrierten Elektronen, Material M2 die technischen Daten der Anlage.
Alle vier Bilder stammen aus einem einzigen, ununterbrochen laufenden Versuch; die Punkte werden nur aufsummiert.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Weg von der Elektronenquelle bis zum Schirm | \(0{,}45\,\mathrm m\) |
| Geschwindigkeit der Elektronen | \(3{,}0\cdot10^{7}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}\) |
| Registrierte Elektronen pro Sekunde | \(1{,}0\cdot10^{3}\,\tfrac{1}{\mathrm s}\) |
Die Elektronen verlassen die Quelle in zeitlich zufälligen Abständen.
- Beschreiben Sie die Entwicklung des Schirmbildes in M1.
- Geben Sie an, welche Beobachtung in M1 für ein Teilchenverhalten und welche für ein Wellenverhalten der Elektronen spricht.
- Berechnen Sie mithilfe von M2 die Flugdauer eines Elektrons von der Quelle bis zum Schirm sowie den mittleren zeitlichen Abstand zweier aufeinanderfolgender Elektronen. Zeigen Sie damit, dass sich nur äußerst selten zwei Elektronen gleichzeitig in der Apparatur befinden.
- Erläutern Sie, welche Folgerung sich aus dem Ergebnis von c) für die Deutung des Streifenmusters ergibt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nach 20 Elektronen zeigt der Schirm nur wenige, scheinbar regellos verteilte Einzelpunkte; ein Muster ist nicht zu erkennen. Nach 200 Elektronen sind die Punkte immer noch einzeln sichtbar, es deutet sich aber bereits eine ungleichmäßige Häufung an. Nach 2000 Elektronen treten deutlich hellere und dunklere senkrechte Streifen hervor. Nach 40 000 Elektronen liegt ein klares, symmetrisches Interferenzmuster aus Maxima und Minima vor, dessen Helligkeit zum Rand hin abnimmt. Die Lage der Streifen ändert sich dabei nicht — die Punkte füllen von Anfang an dasselbe Muster nur immer dichter aus.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Teilchenverhalten: Jedes Elektron wird als ein einzelner, punktförmiger Treffer an genau einer Stelle des Schirms registriert; es kommt nie ein „halbes“ oder über die Fläche verschmiertes Elektron an. Das ist typisch für ein lokalisiertes Teilchen.
Wellenverhalten: Die Gesamtheit der Treffer ordnet sich zu einem Muster aus Maxima und Minima. Insbesondere gibt es Stellen, an denen bei geöffnetem Doppelspalt praktisch kein Elektron auftrifft — Auslöschung ist ein reines Wellenphänomen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Flugdauer: \(t=\dfrac{s}{v}=\dfrac{0{,}45\,\mathrm m}{3{,}0\cdot10^{7}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm s}}=1{,}5\cdot10^{-8}\,\mathrm s=15\,\mathrm{ns}\).
Mittlerer zeitlicher Abstand: \(\Delta t=\dfrac{1}{1{,}0\cdot10^{3}\,\tfrac{1}{\mathrm s}}=1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm s=1{,}0\,\mathrm{ms}\).
Vergleich: \(\dfrac{t}{\Delta t}=\dfrac{1{,}5\cdot10^{-8}\,\mathrm s}{1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm s}=1{,}5\cdot10^{-5}\).
Ein Elektron ist also nur während etwa \(0{,}0015\,\%\) der Zeit unterwegs; im Mittel ist die Apparatur zwischen zwei Elektronen rund 67 000-mal so lange leer, wie ein Flug dauert. Die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Elektronen gleichzeitig darin befinden, ist entsprechend winzig.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Da praktisch immer nur ein einziges Elektron unterwegs ist, kann das Streifenmuster nicht durch eine Wechselwirkung verschiedener Elektronen untereinander entstehen — es gibt zum jeweiligen Zeitpunkt gar keinen Partner. Das Muster baut sich trotzdem auf, Treffer für Treffer, an denselben Stellen.
Folglich muss die Interferenz bereits jedem einzelnen Elektron zugeordnet werden: Das Elektron interferiert mit sich selbst. Die zum Elektron gehörende Welle geht durch beide Spalte, und ihre Teilwellen überlagern sich; wo sie sich verstärken, ist ein Treffer häufig, wo sie sich auslöschen, praktisch unmöglich. Das Interferenzmuster ist damit keine Eigenschaft des Elektronenstrahls, sondern eine Eigenschaft des einzelnen Quantenobjekts.
Der Doppelspalt in Zahlen
AFB IIIDer Doppelspaltversuch aus Aufgabe 1 soll quantitativ ausgewertet werden (Material M1). Der Abstand der beiden Spalte beträgt \(d = 50\,\mathrm{nm}\), der Schirm steht im Abstand \(L = 0{,}40\,\mathrm m\). Die Elektronen werden mit \(U = 10\,\mathrm{kV}\) beschleunigt. Da die Beugungswinkel sehr klein sind, darf \(\sin\alpha\approx\tan\alpha\) verwendet werden.
Für das Maximum \(k\)-ter Ordnung gilt \(\sin\alpha_k=k\cdot\frac{\lambda}{d}\); aus \(\tan\alpha_k=\frac{y_k}{L}\) folgt in der Kleinwinkelnäherung \(\Delta y = \frac{L\,\lambda}{d}\).
- Berechnen Sie die De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen und daraus den Abstand \(\Delta y\) benachbarter Maxima auf dem Schirm.
- Ermitteln Sie, wie sich \(\Delta y\) ändert, wenn die Beschleunigungsspannung auf \(U = 40\,\mathrm{kV}\) vervierfacht wird, und begründen Sie Ihr Ergebnis.
- Nehmen Sie zu folgender Aussage einer Schülerin Stellung: „Da jedes Elektron nur als ein einziger Punkt ankommt, muss es durch genau einen der beiden Spalte gegangen sein. Das Streifenmuster entsteht erst dadurch, dass die vielen Elektronen sich gegenseitig stören.“
- Im Unterricht wird der Doppelspaltversuch mit Laserlicht an einer Blende mit \(d = 0{,}50\,\mathrm{mm}\) durchgeführt. Beurteilen Sie, ob sich diese Blende auch für den Elektronenversuch eignen würde.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Wellenlänge: \(\lambda=\dfrac{h}{\sqrt{2\,m_e\,e\,U}}=\dfrac{6{,}626\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{4}}}\,\mathrm m\).
Nenner: \(\sqrt{2{,}92\cdot10^{-45}}=5{,}40\cdot10^{-23}\); damit \(\lambda=1{,}23\cdot10^{-11}\,\mathrm m\).
Maximaabstand: \(\Delta y=\dfrac{L\,\lambda}{d}=\dfrac{0{,}40\,\mathrm m\cdot1{,}23\cdot10^{-11}\,\mathrm m}{5{,}0\cdot10^{-8}\,\mathrm m}=9{,}8\cdot10^{-5}\,\mathrm m\approx0{,}10\,\mathrm{mm}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Es gilt \(\Delta y=\dfrac{L\lambda}{d}\) und \(\lambda\sim\dfrac{1}{\sqrt{U}}\), also \(\Delta y\sim\dfrac{1}{\sqrt{U}}\).
Vervierfacht man \(U\), so wird \(\sqrt{U}\) doppelt so groß und \(\Delta y\) halbiert sich: \(\Delta y_{40\,\mathrm{kV}}=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}098\,\mathrm{mm}=0{,}049\,\mathrm{mm}\).
Physikalisch: Schnellere Elektronen haben einen größeren Impuls und damit eine kleinere De-Broglie-Wellenlänge; kleinere Wellenlänge bedeutet kleinere Beugungswinkel und damit ein engeres Streifenmuster. Dasselbe Verhalten zeigte sich in 6.1.1 bereits an den enger werdenden Beugungsringen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Die Aussage besteht aus zwei Teilen, die getrennt zu bewerten sind.
Zum zweiten Teil: Er ist eindeutig widerlegt. Nach Aufgabe 1c) ist praktisch immer nur ein einziges Elektron in der Apparatur; eine gegenseitige Störung ist ausgeschlossen. Das Muster entsteht trotzdem, also kann es nicht von einer Wechselwirkung zwischen Elektronen herrühren.
Zum ersten Teil: Der Schluss „punktförmiger Treffer, also vorher feste Bahn durch einen Spalt“ ist nicht zulässig. Punktförmig ist nur das Ergebnis der Messung am Schirm; daraus folgt nichts über den Weg davor. Nimmt man einen festen Weg durch genau einen Spalt an, so müsste sich das Bild bei zwei offenen Spalten als Summe der beiden Einzelspaltbilder ergeben — dann dürfte es keine Stellen geben, an denen bei zwei offenen Spalten weniger Elektronen ankommen als bei einem. Genau solche Minima werden aber beobachtet.
Urteil: Die Aussage ist zurückzuweisen. Richtig ist allein die Beobachtung, dass jedes Elektron als einzelner Punkt registriert wird. Angemessen ist die Beschreibung, dass die zum Elektron gehörende Welle beide Spalte durchsetzt und mit sich selbst interferiert, während die Registrierung am Schirm punktförmig erfolgt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Mit \(d = 0{,}50\,\mathrm{mm}=5{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm m\) ergäbe sich
\(\Delta y=\dfrac{0{,}40\,\mathrm m\cdot1{,}23\cdot10^{-11}\,\mathrm m}{5{,}0\cdot10^{-4}\,\mathrm m}=9{,}8\cdot10^{-9}\,\mathrm m\approx10\,\mathrm{nm}\).
Der Abstand benachbarter Maxima wäre also etwa \(10\,\mathrm{nm}\) — rund 1000-mal kleiner als die Auflösung eines guten Detektors (\(\approx0{,}01\,\mathrm{mm}\)) und kleiner als jedes Schirmkorn. Alle Maxima lägen innerhalb eines einzigen Bildpunktes; man würde nur einen gleichmäßig hellen Fleck sehen.
Die Unterrichtsblende ist daher ungeeignet. Weil die De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen rund \(10^{5}\)-mal kleiner ist als die des Laserlichts, muss auch der Spaltabstand um etwa denselben Faktor kleiner sein. Das ist der Grund, warum Elektronen-Doppelspaltversuche technisch so aufwendig sind und historisch erst spät gelangen.