Leiterschaukel im Hufeisenmagneten
AFB I–IIFür einen Demonstrationsversuch hängt eine Leiterschaukel zwischen den Polschuhen eines Hufeisenmagneten (Material M1). Die waagerechte Leiterstange ist \(8{,}0\,\mathrm{cm}\) lang und liegt vollständig im Feld der Flussdichte \(B = 0{,}25\,\mathrm T\). Über zwei dünne Zuleitungen fließt der Strom \(I = 3{,}0\,\mathrm A\) durch die Stange.
Die Stange samt Aufhängung hat die Masse \(m = 4{,}0\,\mathrm g\). Rechnen Sie mit \(g = 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}}\).
Der Leiter steht senkrecht zur Zeichenebene; der Strom fließt aus ihr heraus (Symbol: Punkt). Zwischen den Polschuhen darf das Feld als homogen angesehen werden. Eingezeichnet ist nur die magnetische Kraft, nicht die Gewichtskraft.
- Geben Sie mithilfe von Material M1 die Richtung der Kraft auf die Leiterstange an und begründen Sie sie mit der Drei-Finger-Regel der rechten Hand.
- Berechnen Sie den Betrag der Kraft auf die Leiterstange.
- Die Stange wird in der waagerechten Ebene um \(30^\circ\) gegen die Feldrichtung verdreht. Berechnen Sie die Kraft für diesen Fall und erklären Sie, warum die Kraft verschwindet, wenn die Stange parallel zum Feld liegt.
- Prüfen Sie rechnerisch, ob die Kraft aus Teilaufgabe b) ausreicht, um die Stange anzuheben.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Nach der Drei-Finger-Regel der rechten Hand zeigt der Daumen in Stromrichtung (aus der Zeichenebene heraus), der Zeigefinger in Feldrichtung (nach rechts, vom Nordpol zum Südpol). Der Mittelfinger und damit die Kraft zeigen dann nach oben.
Die Kraft steht stets senkrecht auf Strom- und Feldrichtung; in M1 ist der zugehörige Kraftpfeil bereits eingezeichnet.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Leiter und Feld stehen senkrecht zueinander, also \(\alpha = 90^\circ\) und \(\sin\alpha = 1\):
\(\displaystyle F = B\,I\,l = 0{,}25\,\mathrm T\cdot 3{,}0\,\mathrm A\cdot 0{,}080\,\mathrm m = 0{,}060\,\mathrm N\)
Die Kraft beträgt also \(60\,\mathrm{mN}\). (Einheitenkontrolle: \(1\,\mathrm T\cdot 1\,\mathrm A\cdot 1\,\mathrm m = 1\,\mathrm{\frac{N}{A\,m}}\cdot \mathrm{A}\cdot\mathrm{m} = 1\,\mathrm N\).)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
\(\displaystyle F = B\,I\,l\,\sin 30^\circ = 0{,}060\,\mathrm N\cdot 0{,}5 = 0{,}030\,\mathrm N\)
Für \(\alpha = 0^\circ\) ist \(\sin 0^\circ = 0\) und damit \(F = 0\). Anschaulich: Die Kraft steht immer senkrecht auf der Feldrichtung und auf der Stromrichtung. Liegen Strom und Feld auf derselben Geraden, ist keine solche Richtung mehr festgelegt — es wirkt keine magnetische Kraft. Nur der Anteil des Leiters, der quer zum Feld liegt, trägt zur Kraft bei.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Gewichtskraft: \(F_\text{G} = m\,g = 4{,}0\cdot 10^{-3}\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\frac{N}{kg}} = 0{,}039\,\mathrm N\).
Vergleich: \(F = 0{,}060\,\mathrm N > F_\text{G} = 0{,}039\,\mathrm N\). Die magnetische Kraft ist etwa \(1{,}5\)-mal so groß wie die Gewichtskraft, die Stange wird also angehoben. Beim Umpolen des Stroms kehrt sich die Kraftrichtung um und die Schaukel wird nach unten gedrückt.
Drehmoment im Modellmotor
AFB II–IIIIm Physikraum steht ein Modell eines Gleichstrommotors. Zwischen den Polen eines Magneten ist eine rechteckige Spule drehbar gelagert (Material M2, Daten in Material M3). In der gezeichneten Stellung liegt die Spulenebene parallel zum Feld.
Die Spule wird an die Betriebsspannung \(U = 4{,}8\,\mathrm V\) angeschlossen. Der Widerstand der Zuleitungen ist zu vernachlässigen.
Gezeichnet ist der Blick entlang der Drehachse. Die beiden sichtbaren Spulenseiten haben die Länge \(a\) und stehen senkrecht zum Feld; die beiden anderen Seiten (Länge \(b\)) liegen parallel zum Feld und sind in dieser Ansicht nicht zu sehen.
| Größe | Wert |
|---|---|
| Flussdichte im Luftspalt \(B\) | \(0{,}15\,\mathrm T\) |
| Windungszahl \(N\) | 200 |
| Seitenlängen \(a\times b\) | \(6{,}0\,\mathrm{cm}\times 4{,}0\,\mathrm{cm}\) |
| Widerstand der Wicklung \(R\) | \(6{,}0\,\Omega\) |
| Betriebsspannung \(U\) | \(4{,}8\,\mathrm V\) |
Der Draht der Wicklung hat überall denselben Querschnitt; der Widerstand wächst daher proportional zur abgewickelten Drahtlänge.
- Erklären Sie mithilfe von Material M2, warum in der gezeichneten Stellung nur auf zwei der vier Spulenseiten eine Kraft wirkt und warum diese beiden Kräfte die Spule drehen, statt sie zu verschieben.
- Berechnen Sie die Stromstärke in der Wicklung sowie den Betrag der Kraft auf eine der beiden wirksamen Spulenseiten.
- Leiten Sie aus dem Kräftepaar den Ausdruck \(M = N\,B\,I\,a\,b\) für das Drehmoment in der gezeichneten Stellung her und berechnen Sie seinen Wert.
- Zwei Lernende schlagen vor, das Drehmoment zu verdoppeln: Lena will die Windungszahl auf \(N = 400\) verdoppeln und dazu den gleichen Draht weiterwickeln, Tarek will einen doppelt so starken Magneten einbauen. Beurteilen Sie beide Vorschläge rechnerisch.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Die beiden Seiten der Länge \(a\) stehen senkrecht zum Feld (\(\alpha = 90^\circ\)); auf sie wirkt die volle Kraft \(F = N\,B\,I\,a\). Die beiden Seiten der Länge \(b\) liegen dagegen parallel zum Feld, für sie ist \(\sin\alpha = 0\) und damit \(F = 0\).
In der Aufsicht (M2) fließt der Strom in der linken Seite in die Ebene hinein, in der rechten heraus. Die Stromrichtungen sind also entgegengesetzt, folglich zeigen auch die beiden Kräfte in entgegengesetzte Richtungen. Weil sie nicht auf derselben Wirkungslinie liegen, heben sie sich nicht auf: Ihre Summe ist null (die Spule wird nicht verschoben), ihr Drehmoment um die Achse dagegen nicht — die Spule dreht sich. Ein solches Paar heißt Kräftepaar.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Stromstärke: \(\displaystyle I = \frac{U}{R} = \frac{4{,}8\,\mathrm V}{6{,}0\,\Omega} = 0{,}80\,\mathrm A\).
Kraft auf eine Spulenseite (alle \(N = 200\) Windungen zusammen):
\(\displaystyle F = N\,B\,I\,a = 200\cdot 0{,}15\,\mathrm T\cdot 0{,}80\,\mathrm A\cdot 0{,}060\,\mathrm m = 1{,}44\,\mathrm N \approx 1{,}4\,\mathrm N\)
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Herleitung: Auf jede der beiden wirksamen Seiten wirkt die Kraft \(F = N\,B\,I\,a\). Beide Kräfte sind entgegengesetzt gerichtet, ihre Wirkungslinien haben den Abstand \(b\). Bezogen auf die mittig liegende Achse hat jede Kraft den Hebelarm \(\tfrac{b}{2}\), und beide drehen im gleichen Sinn:
\(\displaystyle M = F\cdot\frac{b}{2} + F\cdot\frac{b}{2} = F\cdot b = N\,B\,I\,a\,b\)
Einsetzen: \(\displaystyle M = 1{,}44\,\mathrm N\cdot 0{,}040\,\mathrm m = 0{,}058\,\mathrm{N\,m}\).
Das Produkt \(a\cdot b = 24\,\mathrm{cm^2}\) ist gerade die Fläche der Spule — das Drehmoment hängt also nur von Windungszahl, Flussdichte, Stromstärke und Spulenfläche ab, nicht von der Form des Rechtecks.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Lena: Doppelte Windungszahl bei gleichem Draht bedeutet doppelte Drahtlänge, also \(R' = 12\,\Omega\). Bei unveränderter Betriebsspannung folgt \(\displaystyle I' = \frac{4{,}8\,\mathrm V}{12\,\Omega} = 0{,}40\,\mathrm A\) und damit
\(\displaystyle M' = 400\cdot 0{,}15\,\mathrm T\cdot 0{,}40\,\mathrm A\cdot 0{,}060\,\mathrm m\cdot 0{,}040\,\mathrm m = 0{,}058\,\mathrm{N\,m}\)
Das Drehmoment bleibt unverändert: Die Verdopplung von \(N\) wird durch die Halbierung von \(I\) genau aufgehoben. Lenas Vorschlag funktioniert nur, wenn zugleich die Spannung verdoppelt wird — dann allerdings verdoppelt sich auch die aufgenommene Leistung.
Tarek: Verdoppelt man \(B\) auf \(0{,}30\,\mathrm T\), so ändert sich am Stromkreis nichts (\(I\) bleibt \(0{,}80\,\mathrm A\)), und \(M\) ist proportional zu \(B\):
\(\displaystyle M' = 2\cdot 0{,}058\,\mathrm{N\,m} = 0{,}12\,\mathrm{N\,m}\)
Urteil: Nur Tareks Vorschlag erreicht das Ziel. Lenas Überlegung übersieht die Rückwirkung der Wicklung auf den Stromkreis — ein stärkerer Magnet ist hier die wirksamere Maßnahme, ein stärkerer Dauermagnet oder ein Eisenkern allerdings auch die teurere und schwerere.