Erklärung — Vom Zufall zum Gesetz
Der einzelne Kern würfelt — die Menge gehorcht
Ein radioaktiver Kern ist wie ein Würfel: Niemand kann vorhersagen, wann er zerfällt. Er altert nicht, er „verschleißt“ nicht — ein Kern, der schon eine Million Jahre existiert, hat exakt dieselbe Zerfallswahrscheinlichkeit wie ein frisch entstandener. Für ein festes Zeitintervall gibt es nur eine Wahrscheinlichkeit \(p\), mit der der Kern in diesem Intervall zerfällt:
- Einzelner Kern:Zerfall ist ein reiner Zufallsprozess — ohne Gedächtnis, ohne äußeren Auslöser. Weder Druck, Temperatur noch chemische Bindung ändern \(p\).
- Viele Kerne:Von \(N\) Kernen zerfallen im nächsten Zeitschritt im Mittel \(p\cdot N\). Bei \(N\sim 10^{20}\) Kernen sind die relativen Schwankungen winzig — die Abnahme wird exakt vorhersagbar.
- Folge:In jedem Zeitschritt verschwindet derselbe Anteil \(p\) des Bestands — das ist genau das Rezept für eine exponentielle Abnahme.
Genau das kannst du jetzt selbst ausprobieren: Im Applet „würfeln“ 400 Kerne in jedem Schritt um ihr Schicksal. Beobachte, wie aus purem Zufall eine glatte Kurve entsteht — und wie sie bei wenigen Kernen wieder zerfranst.
Jeder Punkt ist ein Atomkern. Pro Zeitschritt zerfällt jeder Kern mit der Wahrscheinlichkeit \(p\) (Regler). Rechts wächst live das Diagramm der übrigen Kerne — mit der theoretischen Kurve \(N_0\cdot(1-p)^k\) als Überlagerung und der Halbwertszeit-Linie bei \(N_0/2\). Im Modus „echte Zeit“ zeigt sich dieselbe Physik als e-Funktion mit der Zeitachse in Halbwertszeiten.
Das Zerfallsgesetz und die Halbwertszeit
Aus „pro Zeitschritt zerfällt der Anteil \(p\)“ wird bei kontinuierlicher Zeit eine e-Funktion. Die Rolle des „Zerfallstempos“ übernimmt die Zerfallskonstante \(\lambda\): Sie ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit (Einheit z. B. \(\mathrm{s}^{-1}\)) und ist für jedes Nuklid eine feste Naturkonstante.
\(N(t)=N_0\cdot e^{-\lambda t}\)
\(N_0\) = Anzahl der Kerne zu Beginn • \(N(t)\) = noch nicht zerfallene Kerne zur Zeit \(t\) • \(\lambda\) = Zerfallskonstante
Die anschaulichste Kenngröße ist die Halbwertszeit \(T_{1/2}\): die Zeit, nach der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Kerne zerfallen ist. Setzt man \(N(T_{1/2})=\tfrac{N_0}{2}\) ins Zerfallsgesetz ein, folgt \(e^{-\lambda T_{1/2}}=\tfrac12\) und damit:
\(T_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \lambda=\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}}\)
\(N(t)=N_0\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\)
Beide Formen sind äquivalent — die Halbierungsform ist ideal, wenn \(t\) ein Vielfaches von \(T_{1/2}\) ist: pro Halbwertszeit ein Faktor \(\tfrac12\)
| Nuklid | \(T_{1/2}\) | Wofür bekannt? |
|---|---|---|
| \({}^{99m}\mathrm{Tc}\) | \(6{,}0\,\mathrm{h}\) | Nuklearmedizin (Szintigrafie) |
| \({}^{131}\mathrm{I}\) | \(8{,}0\,\mathrm{d}\) | Schilddrüsentherapie |
| \({}^{222}\mathrm{Rn}\) | \(3{,}8\,\mathrm{d}\) | Radon in Kellerräumen |
| \({}^{137}\mathrm{Cs}\) | \(30{,}2\,\mathrm{a}\) | Reaktorunfälle |
| \({}^{14}\mathrm{C}\) | \(5730\,\mathrm{a}\) | Altersbestimmung (C-14-Methode) |
| \({}^{238}\mathrm{U}\) | \(4{,}5\cdot 10^{9}\,\mathrm{a}\) | Erdalter, Zerfallsreihe |
Aktivität — das Tempo des Zerfalls
Messgeräte wie das Geiger-Müller-Zählrohr (Kapitel 8.3.1) zählen nicht, wie viele Kerne noch da sind, sondern wie viele pro Sekunde zerfallen. Diese Zerfallsrate heißt Aktivität \(A\). Da jeder der \(N\) Kerne mit der Rate \(\lambda\) zerfällt, gilt:
\(A=\lambda\cdot N \qquad\text{und damit}\qquad A(t)=A_0\cdot e^{-\lambda t}\)
Einheit: Becquerel, \(1\,\mathrm{Bq}=1\) Zerfall pro Sekunde — die Aktivität nimmt mit derselben Halbwertszeit ab wie \(N\)
- Größenordnungen:Eine Banane hat durch ihr Kalium-40 etwa \(15\,\mathrm{Bq}\), der menschliche Körper rund \(9000\,\mathrm{Bq}\) — Becquerel sind eine sehr „kleine“ Einheit, deshalb tauchen oft kBq und MBq auf.
- Doppelrolle von \(\lambda\):Großes \(\lambda\) bedeutet kurze Halbwertszeit und hohe Aktivität bei gleicher Kernzahl — kurzlebige Nuklide strahlen heftig, aber kurz.
- Achtung Einheiten:Für \(A\) in Bq muss \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\) stehen — Halbwertszeiten also erst in Sekunden umrechnen (\(1\,\mathrm{a}\approx 3{,}15\cdot 10^{7}\,\mathrm{s}\)).
Drei Musteraufgaben — mit immer weniger Hilfe
Dieselbe Werkzeugkiste (Zerfallsgesetz, \(\lambda\), Aktivität) in drei Aufgaben. Die erste rechnen wir komplett vor, bei der zweiten bekommst du nur den Plan, die dritte gehört dir.
Allgemeine Hinweise
Erst in T½ denken
Prüfe zuerst, ob \(t\) ein Vielfaches von \(T_{1/2}\) ist — dann reicht wiederholtes Halbieren, ganz ohne e-Funktion.
Einheiten-Duo λ und t
\(\lambda\) und \(t\) müssen zur selben Zeiteinheit gehören: \(\lambda\) in \(\mathrm{a}^{-1}\) → \(t\) in Jahren; für Bq brauchst du \(\lambda\) in \(\mathrm{s}^{-1}\).
Taschenrechner-Falle
\(e^{-\lambda t}\): Minuszeichen nicht vergessen und den Exponenten komplett klammern: e^(−λ·t). Kontrolle: Das Ergebnis muss kleiner als \(N_0\) sein.
Vertiefung
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