Lernkarten — Begriffe und Formeln

$$E(r)=\frac{U}{r\cdot\ln(r_\mathrm{a}/r_\mathrm{i})}$$\(r_\mathrm{i}\) Drahtradius, \(r_\mathrm{a}\) Rohrradius. \(E\) ist umgekehrt proportional zu \(r\): nur dicht am dünnen Draht reicht die Beschleunigung zwischen zwei Stößen für die Stoßionisation — Elektronenlawine, Stromstoß, Klick. Dicker Draht: überall kleines Feld, kein Einzelteilchennachweis.

$$n_\text{wahr}=\frac{n}{1-n\cdot\tau}$$Totzeit \(\tau\approx 10^{-4}\,\mathrm s\): blinde Phase nach jedem Impuls, Korrektur macht den Wert stets größer. Bsp.: \(n=2500\,\tfrac1{\mathrm s}\), \(\tau=120\,\mathrm{\mu s}\) → \(n\tau=0{,}30\) → \(n_\text{wahr}\approx 3{,}6\cdot10^{3}\,\tfrac1{\mathrm s}\). Nulleffekt \(n_0\approx 0{,}4\,\tfrac1{\mathrm s}\) (Höhen- und Umgebungsstrahlung) wird abgezogen. Regel: hohe Raten → Totzeit, kleine Raten → Nulleffekt.

$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$$\(\ln 2\approx 0{,}693\). \(\lambda\) ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit und eine feste Naturkonstante des Nuklids — beide Größen sind umgekehrt proportional. Bsp.: \({}^{137}\mathrm{Cs}\) mit \(T_{1/2}=30{,}2\,\mathrm a\) → \(\lambda\approx 0{,}023\,\mathrm a^{-1}\), also gut 2 % des Bestands pro Jahr. \(\lambda\) ist nie negativ und nie \(1/T_{1/2}\).

$$A=\lambda\cdot N\qquad A(t)=A_0\cdot e^{-\lambda t}$$1 Bq = 1 Zerfall pro Sekunde. \(A\) ist ein Tempo, kein Vorrat — nicht die Summe aller bisherigen Zerfälle. \(A\) fällt mit derselben Halbwertszeit wie \(N\). Für Bq muss \(\lambda\) in \(\mathrm s^{-1}\) stehen. Größenordnungen: Banane (\({}^{40}\mathrm K\)) ≈ 15 Bq, menschlicher Körper ≈ 9000 Bq.

\({}^{14}\mathrm C\) hat \(T_{1/2}=5730\,\mathrm a\). Solange ein Organismus lebt, hat er dieselbe spezifische Aktivität wie die Atmosphäre: \(a_0=0{,}25\,\mathrm{Bq}\) je Gramm Kohlenstoff; mit dem Tod endet der Austausch. Holzbalken mit \(a=0{,}16\,\tfrac{\mathrm{Bq}}{\mathrm g}\): \(t=T_{1/2}\cdot\frac{\ln(a/a_0)}{\ln 0{,}5}\approx 3{,}7\cdot10^{3}\,\mathrm a\). Der Nulleffekt (\(\approx0{,}4\,\tfrac1{\mathrm s}\)) begrenzt die Methode auf rund 50 000 Jahre.

$$\left(\tfrac12\right)^{n}\quad\text{mit}\quad n=\frac{t}{T_{1/2}}$$\(n=1\): 50 % · \(n=2\): 25 % · \(n=3\): 12,5 % · \(n=3{,}5\): ≈ 8,8 % · \(n=4\): 6,25 % · \(n=6\): \(\tfrac1{64}\approx1{,}6\,\%\). Aus \(N_0=1600\) sind nach 4 Halbwertszeiten 1500 zerfallen und 100 übrig — nicht „praktisch nichts mehr". \(n\) ist Exponent, kein Divisor.

Halblogarithmisch fällt \(\ln N\) von 13,0 bei \(t=0\) auf 9,0 bei \(t=20\,\mathrm a\):
\(m=\frac{9{,}0-13{,}0}{20\,\mathrm a}=-0{,}20\,\mathrm a^{-1}\) → \(\lambda=0{,}20\,\mathrm a^{-1}\) → \(T_{1/2}=\frac{0{,}693}{0{,}20\,\mathrm a^{-1}}\approx 3{,}5\,\mathrm a\).
Das Minuszeichen gehört zur Steigung, nicht zu \(\lambda\). \(\ln 2\) darf nicht entfallen: \(1/\lambda=5{,}0\,\mathrm a\) wäre die mittlere Lebensdauer.

$$\alpha:\ {}^{A}_{Z}\mathrm{X}\to{}^{A-4}_{Z-2}\mathrm{Y}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}$$$$\beta^-:\ {}^{A}_{Z}\mathrm{X}\to{}^{A}_{Z+1}\mathrm{Y}+e^-+\bar\nu_e$$$$\beta^+:\ {}^{A}_{Z}\mathrm{X}\to{}^{A}_{Z-1}\mathrm{Y}+e^++\nu_e$$Massenzahl (oben) und Ladungszahl (unten) sind auf beiden Seiten exakt bilanziert. Bsp.: \({}^{226}_{\ 88}\mathrm{Ra}\to{}^{222}_{\ 86}\mathrm{Rn}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}\).

\(\alpha\): \(Z-2\), \(N-2\), \(A-4\) — zwei nach links, zwei nach unten.
\(\beta^-\): \(Z+1\), \(N-1\), \(A\) gleich — eine nach links, eine nach oben.
\(\beta^+\)/EC: \(Z-1\), \(N+1\), \(A\) gleich — eine nach rechts, eine nach unten.
\(\gamma\): ändert nichts, gleiches Kästchen.
Bei \(\beta^-\) wird im Kern ein Neutron zum Proton, \(Z\) steigt — die negative Ladung geht nach außen.

Nur \(\alpha\) ändert \(A\), und zwar um 4 → der Rest \(A\bmod 4\) ist Erhaltungsgröße, deshalb genau vier Reihen:
4n Thorium \({}^{232}\mathrm{Th}\to{}^{208}\mathrm{Pb}\) · 4n+1 Neptunium \({}^{237}\mathrm{Np}\to{}^{209}\mathrm{Bi}\) (ausgestorben) · 4n+2 Uran-Radium \({}^{238}\mathrm{U}\to{}^{206}\mathrm{Pb}\) · 4n+3 Uran-Actinium \({}^{235}\mathrm{U}\to{}^{207}\mathrm{Pb}\).
U-Ra: \(\Delta A=32\) → 8 \(\alpha\), damit \(Z=76\), Ziel 82 → 6 \(\beta^-\).

$$m_\text{Kern}\approx A\cdot u\qquad Q_\text{Kern}=Z\cdot e$$\(u=1{,}6605\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\) (ein Zwölftel der Masse eines \({}^{12}\mathrm C\)-Atoms), \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\). Masse genähert, Ladung exakt: jedes Proton trägt genau \(1\,e\), Neutronen nichts. Bsp. \({}^{40}_{19}\mathrm K\): \(Q=3{,}04\cdot10^{-18}\,\mathrm C\), \(m\approx 6{,}64\cdot10^{-26}\,\mathrm{kg}\).

Isotope — gleiches \(Z\), verschiedenes \(N\): \({}^{12}_{\,6}\mathrm C\)/\({}^{14}_{\,6}\mathrm C\), waagerechte Zeile. Chemisch identisch, physikalisch verschieden.
Isobare — gleiches \(A\): \({}^{14}_{\,6}\mathrm C\)/\({}^{14}_{\,7}\mathrm N\), Diagonale.
Isotone — gleiches \(N\): \({}^{13}_{\,6}\mathrm C\)/\({}^{14}_{\,7}\mathrm N\) (je \(N=7\)), senkrechte Spalte.
Vergleichsreihenfolge: erst \(Z\), dann \(A\), zuletzt \(N=A-Z\).

Ein Kern ist stets etwas leichter als die Summe seiner Nukleonen; die Differenz hängt über \(E=mc^2\) mit der Bindungsenergie zusammen. Bsp. \({}^{90}_{38}\mathrm{Sr}\): \(38\cdot1{,}00728\,u+52\cdot1{,}00866\,u=90{,}73\,u\), also 0,8 % über \(90\,u\) — real sind es \(\approx 89{,}9\,u\). Beide Effekte wirken gegeneinander, deshalb ist \(m\approx A\cdot u\) brauchbar, aber nie exakt.

\(\alpha\): stärkste Ionisierung, wenige Zentimeter Luft, ein Blatt Papier stoppt vollständig.
\(\beta\): mittlere Ionisierung, einige Meter Luft, wenige Millimeter Aluminium.
\(\gamma\): schwächste Ionisierung, sehr große Reichweite, dickes Blei oder Beton schwächt nur ab.
Ionisierungsvermögen und Reichweite sind stets gegenläufig. Außerhalb des Körpers ist \(\gamma\) das Problem, innerhalb \(\alpha\).

$$I=I_0\left(\tfrac12\right)^{n},\quad n=\frac{d}{d_{1/2}},\quad d_{1/2}=\frac{\ln 2}{\mu}$$Auch \(I(d)=I_0e^{-\mu d}\). \(n\) zählt die Halbierungen und ist Exponent, kein Divisor. Bsp.: Blei mit \(d_{1/2}=12\,\mathrm{mm}\), \(I_0=800\,\tfrac1{\mathrm s}\), \(d=36\,\mathrm{mm}\) → \(n=3\) → \(I=100\,\tfrac1{\mathrm s}\). Für 5 % braucht man \(n\approx4{,}3\), also \(d\approx52\,\mathrm{mm}\). \(\gamma\) wird nie null.

$$N_\text{Paare}=\frac{E}{E_\text{Paar}}\qquad Q=N_\text{Paare}\cdot e$$\(E_\text{Paar}\approx 3{,}6\,\mathrm{eV}\) in Silizium — eine feste Materialkonstante. Bsp.: \(\alpha\) mit \(5{,}4\,\mathrm{MeV}\) → \(N=1{,}5\cdot10^{6}\) Paare → \(Q\approx 2{,}4\cdot10^{-13}\,\mathrm C=0{,}24\,\mathrm{pC}\). eV geteilt durch eV ergibt eine reine Anzahl — hier wird geteilt, nicht multipliziert.

\(h\) — Impulshöhe: Energie eines Teilchens. \(h\propto\) Paarzahl \(\propto E\), sie bestimmt die Stelle auf der Energieachse.
\(n\) — Impulsrate: Impulse pro Sekunde, also die Zahl der Teilchen. Sie verdoppelt sich bei doppelter Aktivität, sinkt bei größerem Abstand und sagt nichts über die Einzelenergie.
Beim Geiger-Müller-Zählrohr sind alle Impulse gleich hoch — es zählt, es misst keine Energie.

$$\frac{\Delta N}{N}=\frac{1}{\sqrt N}$$\(E_\text{Paar}\): Silizium 3,6 eV gegen Zählgas 30 eV → 8,3-mal mehr Träger, Schwankung \(\sqrt{8{,}3}\approx2{,}9\)-mal kleiner. Bei \(1{,}0\,\mathrm{MeV}\): Gas \(N=3{,}3\cdot10^{4}\) → 0,55 %, Silizium \(N=2{,}8\cdot10^{5}\) → 0,19 %; die Peaks werden rund dreimal schmaler. Längere Messzeit hilft nicht — sie verbessert nur die Zählstatistik.

$$E=m\cdot K+b,\quad m=\frac{\Delta E}{\Delta K},\quad b=E_1-m\,K_1$$Bsp.: Kanal 120 ↔ 4,20 MeV und Kanal 480 ↔ 6,00 MeV → \(m=\frac{1{,}80}{360}=0{,}0050\,\tfrac{\mathrm{MeV}}{\text{Kanal}}\), \(b=3{,}60\,\mathrm{MeV}\). Rückwärts: \(K=(E-b)\div m\) — erst \(b\) abziehen, dann teilen. Ein Kanal ist noch keine Energie; mit \(b=0\) verschiebt sich das ganze Spektrum.

$$h_\text{rel}=\frac{A_\text{Peak}}{\sum A}$$Man nimmt die Peakfläche, nicht die Peakhöhe: bei schlechterer Auflösung wird ein Peak breiter und niedriger, die Fläche bleibt gleich. Bsp.: Flächen 2400 und 7600 bei \(\sum A=10\,000\) → 24 % und 76 %. Häufigkeiten immer relativ angeben — die Messdauer ändert nur die absoluten Zählwerte.

Derselbe Zerfall, zwei Übergänge: bei 5,49 MeV entsteht der Tochterkern im Grundzustand (das \(\alpha\) bekommt die gesamte Energie), bei 5,30 MeV bleibt er angeregt. Die Differenz geht als \(\gamma\)-Quant fort: \(E_\gamma=5{,}49-5{,}30=0{,}19\,\mathrm{MeV}=190\,\mathrm{keV}\).
Die Peakbreite (rund 40 keV) kommt vom Detektor, nicht von der Strahlung — Linienenergien werden nie addiert.

\(\alpha\): wenige scharfe Linien, typisch 4 bis 9 MeV — Zweikörperzerfall, die Erhaltungssätze legen die Aufteilung fest.
\(\beta\): lückenloses Band von fast 0 bis \(E_\text{max}\) — Dreikörperzerfall mit Neutrino.
\(\gamma\): scharfe Photopeaks, oft einige hundert keV — Übergänge zwischen diskreten Kernniveaus.
Erst die Form lesen, dann die Energieskala.

Band bis 0,6 MeV → \(\beta\), und 0,6 MeV \(=E_\text{max}=Q\).
Linie bei 5,5 MeV → \(\alpha\).
Linie bei 662 keV → \(\gamma\)-Übergang.
Elektron mit 0,05 MeV → das Neutrino trägt fast alles.
Elektron mit 0,60 MeV → das Neutrino geht leer aus (seltener Grenzfall).
\(\gamma\)-Linien neben \(\alpha\)-Linien sprechen nicht für zwei Nuklide — ein angeregter Tochterkern genügt.