MINT lernen

AbituraufgabenWie viel Feld hindurchtritt

Zwei Aufgaben im Stil der schriftlichen Abiturprüfung — mit Operatoren und vollständigem Erwartungshorizont zur Selbstkontrolle.

1

Kabelloses Laden

AFB II

Beim kabellosen Laden nach dem Qi-Standard liegt in der Ladeschale eine flache Sendespule. Ihr Magnetfeld tritt senkrecht nach oben aus und durchsetzt die Empfängerspule im Smartphone (Material M1). Am Ort der Empfängerspule beträgt die Flussdichte \(B=3{,}2\,\mathrm{mT}\); die von der Empfängerspule umschlossene Fläche ist \(A=25\,\mathrm{cm^2}\).

Liegt das Smartphone sauber auf, steht seine Fläche senkrecht zum Feld. Legt man es schief auf die Schale, ist die Flächennormale um den Winkel \(\alpha\) gegen die Feldrichtung geneigt. Material M2 zeigt den Fluss für verschiedene Winkel.

M1Querschnitt durch Ladeschale und Smartphone
Ladestation mit SendespuleMagnetfeld der SendespuleSmartphone mit EmpfängerspuleFlächennormale30°

Die Feldlinien der Sendespule verlaufen im Bereich der Empfängerspule nahezu parallel und senkrecht zur Schale.

M2Magnetischer Fluss in Abhängigkeit vom Kippwinkel
Berechneter Fluss durch die Empfängerspule (\(B=3{,}2\,\mathrm{mT}\), \(A=25\,\mathrm{cm^2}\))
Winkel \(\alpha\)Fluss \(\Phi\) in \(\mathrm{\mu Wb}\)
0°8,0
15°7,7
30°6,9
45°5,7
60°4,0
75°2,1
90°0
  1. Geben Sie an, von welchen drei Größen der magnetische Fluss durch eine Fläche abhängt, und nennen Sie seine Einheit.
  2. Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch die Empfängerspule, wenn das Smartphone sauber aufliegt (\(\alpha=0\)).
  3. Berechnen Sie den Fluss für \(\alpha=30^\circ\) und geben Sie an, um wie viel Prozent er gegenüber der sauberen Auflage abnimmt.
  4. Ermitteln Sie mithilfe von M2 den Winkel, bei dem der Fluss auf die Hälfte des Höchstwertes gesunken ist, und begründen Sie, warum eine leichte Schieflage von wenigen Grad für den Ladevorgang praktisch keine Rolle spielt.
Hinweis zu Aufgabe a)
Denke an die Definitionsgleichung des magnetischen Flusses. Neben der Flussdichte und der Fläche geht noch die Orientierung ein. „Angeben“ und „Nennen“ verlangen nur die Aufzählung — eine Begründung ist hier nicht gefordert.
Hinweis zu Aufgabe b)
Rechne zuerst die Fläche in Quadratmeter um: \(1\,\mathrm{cm^2}=10^{-4}\,\mathrm{m^2}\). Bei sauberer Auflage ist \(\cos\alpha=1\). Das Ergebnis liegt in der Größenordnung von Mikroweber.
Hinweis zu Aufgabe c)
Setze \(\alpha=30^\circ\) in \(\Phi=B\,A\cos\alpha\) ein. Für die prozentuale Abnahme brauchst du nur den Faktor \(\cos 30^\circ\) — die Zahlenwerte von \(B\) und \(A\) kürzen sich heraus.
Hinweis zu Aufgabe d)
Suche in M2 den Wert, der halb so groß ist wie der Wert bei \(\alpha=0\). Schau dir außerdem an, wie stark sich \(\Phi\) von \(0^\circ\) auf \(15^\circ\) ändert — und vergleiche das mit der Änderung von \(75^\circ\) auf \(90^\circ\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Der magnetische Fluss hängt ab von der magnetischen Flussdichte \(B\), von der durchsetzten Fläche \(A\) und vom Winkel \(\alpha\) zwischen der Flächennormalen und der Feldrichtung: \(\Phi=B\,A\cos\alpha\).

Einheit: \(1\,\mathrm{Weber}=1\,\mathrm{Wb}=1\,\mathrm{T\cdot m^2}\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(A=25\,\mathrm{cm^2}=25\cdot10^{-4}\,\mathrm{m^2}=2{,}5\cdot10^{-3}\,\mathrm{m^2}\)

\(\Phi=B\,A=3{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm{T}\cdot 2{,}5\cdot10^{-3}\,\mathrm{m^2}=8{,}0\cdot10^{-6}\,\mathrm{Wb}=8{,}0\,\mathrm{\mu Wb}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

\(\Phi=B\,A\cos 30^\circ = 8{,}0\,\mathrm{\mu Wb}\cdot 0{,}866 = 6{,}9\,\mathrm{\mu Wb}\)

Relative Abnahme: \(1-\cos 30^\circ = 1-0{,}866 = 0{,}134\), also rund 13 %. Der Tabellenwert aus M2 bestätigt das Ergebnis.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Der Höchstwert beträgt \(8{,}0\,\mathrm{\mu Wb}\); die Hälfte davon sind \(4{,}0\,\mathrm{\mu Wb}\). Nach M2 wird dieser Wert bei \(\alpha=60^\circ\) erreicht (Kontrolle: \(\cos 60^\circ = 0{,}5\)).

Die Kosinusfunktion ändert sich in der Nähe von \(0^\circ\) nur sehr langsam: Von \(0^\circ\) auf \(15^\circ\) sinkt der Fluss lediglich von 8,0 auf 7,7 \(\mathrm{\mu Wb}\), also um etwa 4 %. In der Nähe von \(90^\circ\) ist die Änderung dagegen am größten (von 2,1 auf 0).

Eine Schieflage von wenigen Grad verringert den Fluss deshalb nur um Bruchteile eines Prozents und ist für den Ladevorgang unerheblich. Kritisch wird erst eine deutliche Verkippung.

2

Rahmenantenne im Erdmagnetfeld

AFB III

Für ein Projekt zur Langwellentechnik baut eine Arbeitsgruppe eine quadratische Rahmenantenne mit der Kantenlänge 50 cm; die vom Rahmen umschlossene Fläche beträgt also \(A=0{,}25\,\mathrm{m^2}\). Untersucht werden soll zunächst der Fluss des Erdmagnetfeldes durch diesen Rahmen.

In Norddeutschland hat das Erdmagnetfeld die Flussdichte \(B=48\,\mathrm{\mu T}\). Es verläuft nicht waagerecht, sondern ist um den Inklinationswinkel von \(67^\circ\) gegen die Waagerechte geneigt und zeigt schräg nach unten in Richtung Norden (Material M1). Material M2 gibt zwei Aussagen aus der Gruppe wieder.

M1Erdmagnetfeld und waagerechter Rahmen
SüdenNordenErdmagnetfeld B = 48 µTwaagerecht67°Inklination in NorddeutschlandRahmen (waagerecht, von der Seite)FlächennormaleB23°

Der Rahmen ist rechts von der Seite dargestellt; seine Flächennormale steht senkrecht auf der Rahmenfläche.

M2Aussagen aus der Arbeitsgruppe
LLeaAussage 1Der Fluss durch den Rahmen ist am größten, wenn er flachauf dem Boden liegt — dann geht das Erdfeld ja senkrechtvon oben durch die Rahmenfläche hindurch.BBenAussage 2Wenn wir die Rahmenfläche verdoppeln, verdoppelt sich derFluss. Also wird auch die magnetische Flussdichte desErdfeldes am Ort des Rahmens doppelt so groß.
  1. Berechnen Sie den größtmöglichen Fluss des Erdmagnetfeldes durch den Rahmen und geben Sie an, wie der Rahmen dazu ausgerichtet sein muss.
  2. Berechnen Sie den Fluss für zwei Lagen: (1) der Rahmen liegt waagerecht auf dem Boden, (2) der Rahmen steht senkrecht, seine Flächennormale zeigt waagerecht nach Norden.
  3. Begründen Sie, dass es eine Lage des senkrecht stehenden Rahmens gibt, in der der Fluss des Erdfeldes genau null ist, und beschreiben Sie diese Lage.
  4. Beurteilen Sie die beiden Aussagen aus Material M2.
Hinweis zu Aufgabe a)
Der Fluss ist maximal, wenn \(\cos\alpha=1\) gilt — die Flächennormale muss also genau in Feldrichtung zeigen. Überlege, wie die Rahmenfläche dann im Raum liegt: senkrecht zum Feld, also um 67° gegen die Senkrechte gekippt.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zeichne dir für jede Lage die Flächennormale ein und bestimme ihren Winkel zur Feldrichtung. Bei (1) zeigt die Normale senkrecht nach unten, das Feld ist um 67° gegen die Waagerechte geneigt — der eingeschlossene Winkel ist der Restwinkel zu 90°. Bei (2) zeigt die Normale waagerecht nach Norden.
Hinweis zu Aufgabe c)
Denke an den Grenzfall \(\alpha=90^\circ\) aus dem Unterricht: Steht die Fläche parallel zum Feld, tritt kein Feld hindurch. Überlege, in welcher Himmelsrichtung die Rahmenebene dann liegen muss, damit die Feldrichtung vollständig in dieser Ebene verläuft.
Hinweis zu Aufgabe d)
Prüfe bei Lea, ob eine waagerechte Lage wirklich den größten Fluss liefert — vergleiche mit deinem Ergebnis aus a). Prüfe bei Ben, welche Größen in \(\Phi=B\,A\cos\alpha\) voneinander abhängen und welche unabhängig voneinander sind. Bei „Beurteilen“ ist zu jeder Aussage ein eigenes begründetes Urteil zu formulieren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Maximaler Fluss bei \(\alpha=0\):

\(\Phi_{\max}=B\,A=48\cdot10^{-6}\,\mathrm{T}\cdot 0{,}25\,\mathrm{m^2}=1{,}2\cdot10^{-5}\,\mathrm{Wb}=12\,\mathrm{\mu Wb}\)

Dazu muss die Flächennormale genau in Feldrichtung zeigen, die Rahmenfläche also senkrecht zum Erdfeld stehen: Der Rahmen ist um \(23^\circ\) gegen die Waagerechte gekippt (gleichbedeutend: um \(67^\circ\) gegen die Senkrechte), und zwar in der Nord-Süd-Ebene.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

(1) waagerechter Rahmen: Die Flächennormale steht senkrecht; das Feld ist um \(67^\circ\) gegen die Waagerechte geneigt. Der Winkel zwischen Normale und Feld beträgt daher \(90^\circ-67^\circ=23^\circ\).

\(\Phi_1=B\,A\cos 23^\circ = 12\,\mathrm{\mu Wb}\cdot 0{,}921 = 11\,\mathrm{\mu Wb}\)

(2) senkrechter Rahmen, Normale nach Norden: Der Winkel zwischen der waagerechten Nordrichtung und dem Feld ist gerade die Inklination, also \(67^\circ\).

\(\Phi_2=B\,A\cos 67^\circ = 12\,\mathrm{\mu Wb}\cdot 0{,}391 = 4{,}7\,\mathrm{\mu Wb}\)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Für \(\alpha=90^\circ\) ist \(\cos\alpha=0\) und damit \(\Phi=0\): Die Flächennormale steht dann senkrecht auf der Feldrichtung, das Feld verläuft vollständig innerhalb der Rahmenebene und tritt nicht hindurch.

Das ist der Fall, wenn der Rahmen senkrecht steht und seine Ebene genau in Ost-West-Richtung liegt. Die Flächennormale zeigt dann waagerecht nach Osten bzw. Westen, während das Erdfeld in der senkrechten Nord-Süd-Ebene verläuft — beide stehen senkrecht aufeinander, und kein Feldanteil durchsetzt den Rahmen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe d)

Lea: Die Aussage ist nicht richtig. Das Erdfeld tritt in Norddeutschland gerade nicht senkrecht von oben ein, sondern um \(67^\circ\) geneigt. Beim waagerechten Rahmen bleibt daher ein Winkel von \(23^\circ\) zwischen Normale und Feld, und der Fluss beträgt nur \(11\,\mathrm{\mu Wb}\) statt der möglichen \(12\,\mathrm{\mu Wb}\). Der Unterschied ist mit rund 8 % zwar klein, aber Leas Begründung ist falsch — am Erdpol wäre sie richtig.

Ben: Der erste Teil stimmt: Bei fester Ausrichtung ist \(\Phi\) proportional zu \(A\), eine doppelte Fläche liefert den doppelten Fluss. Der zweite Teil ist falsch. Die Flussdichte \(B\) ist eine Eigenschaft des Feldes am jeweiligen Ort und hängt nicht davon ab, wie groß der Rahmen ist, den man hineinhält. Ben verwechselt den Fluss \(\Phi\) mit der Flussdichte \(B\).