AbituraufgabenDer Strom wirkt entgegen

Der Magnet bewegt sich mit der Gondel an der ruhenden Schiene entlang. An jeder Stelle der Schiene ändert sich dadurch der magnetische Fluss: Er nimmt zu, während sich der Magnet nähert, und wieder ab, wenn er vorüber ist. Diese Änderung induziert im gut leitenden Kupfer geschlossene Ringströme, die Wirbelströme.

Nach dem Lenzschen Gesetz ist der Induktionsstrom stets so gerichtet, dass er seiner Ursache entgegenwirkt. Ursache ist hier die Relativbewegung von Magnet und Schiene. Das Magnetfeld der Wirbelströme baut sich deshalb so auf, dass der herannahende Magnet abgestoßen und der sich entfernende festgehalten wird.

Auf die Magnete — und damit auf die Gondel — wirkt so eine Kraft entgegen der Bewegungsrichtung, also nach oben. Sie wird über das Magnetfeld übertragen und benötigt keine Berührung.

Bei größerer Geschwindigkeit durchläuft der Magnet dieselbe Stelle der Schiene in kürzerer Zeit. Der Fluss ändert sich dort also schneller: \(\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\) wird größer, und nach dem Induktionsgesetz steigt damit die induzierte Spannung.

Eine größere Spannung treibt bei gleichem Widerstand des Kupfers stärkere Wirbelströme an. Stärkere Ströme erzeugen ein stärkeres Gegenfeld, und ein stärkeres Gegenfeld bedeutet eine größere abstoßende bzw. haltende Kraft.

Die Bremskraft wächst daher mit der Geschwindigkeit — die Bremse wirkt genau dann am stärksten, wenn sie am dringendsten gebraucht wird.

Die Gondel besitzt beim Eintritt in den Bremsbereich kinetische Energie und beim weiteren Absinken zusätzlich abnehmende Lageenergie. Weil die Bremskraft der Bewegung entgegengerichtet ist, verrichtet die Gondel Arbeit gegen diese Kraft.

Diese Arbeit wird über die Induktion in elektrische Energie der Wirbelströme umgesetzt und im elektrischen Widerstand des Kupfers vollständig in innere Energie umgewandelt — die Schiene erwärmt sich.

Der Vorgang ist mit dem Energieerhaltungssatz verträglich, weil keine Energie neu entsteht, sondern nur umgewandelt wird. Gerade das Lenzsche Gesetz sichert das ab: Würde der Induktionsstrom die Bewegung unterstützen, würde die Gondel von selbst immer schneller und gleichzeitig die Schiene erwärmen — Energie käme aus dem Nichts. Das Minuszeichen im Induktionsgesetz schließt genau das aus.

Die Bremskraft entsteht nur, solange sich der Fluss in der Schiene ändert, also nur bei einer Relativbewegung. Steht die Gondel still, ist \(v=0\) und damit \(\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}=0\): Es wird nichts mehr induziert, es fließen keine Wirbelströme, und die Kraft verschwindet vollständig.

Die Gondel würde deshalb aus der Ruhelage sofort wieder zu sinken beginnen. Die Wirbelstrombremse kann eine Bewegung nur verzögern, aber keine Last halten — anders als eine Reibungsbremse, die auch im Stillstand eine Haftkraft aufbringt.

Die zusätzliche mechanische Verriegelung ist deshalb sicherheitstechnisch zwingend erforderlich und keine bloße Redundanz. Sie ergänzt die verschleißfreie, geschwindigkeitsabhängige Wirbelstrombremse genau dort, wo diese prinzipbedingt versagt.

Freier Fall: \(h=\tfrac{1}{2}g\,t^2 \Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}00\,\mathrm{m}}{9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}}}=0{,}45\,\mathrm{s}\)

Die Messung im PVC-Rohr stimmt damit überein: Im PVC-Rohr fällt der Magnet praktisch frei, das Rohr beeinflusst die Bewegung nicht.

Mittlere Sinkgeschwindigkeit im Kupferrohr: \(\bar v=\dfrac{s}{t}=\dfrac{1{,}00\,\mathrm{m}}{4{,}8\,\mathrm{s}}=0{,}21\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\) — rund ein Zehntel der Endgeschwindigkeit beim freien Fall.

Beim Vorbeifallen des Magneten ändert sich der magnetische Fluss durch jeden Querschnitt der Rohrwand. In der elektrisch gut leitenden Kupferwand werden dadurch kräftige Wirbelströme induziert; PVC ist ein Isolator, dort kann kein Strom fließen.

Nach dem Lenzschen Gesetz wirken diese Ströme ihrer Ursache entgegen: Vor dem Magneten, wo der Fluss zunimmt, bildet das Kupfer einen gleichnamigen Pol und stößt ihn ab; hinter ihm, wo der Fluss abnimmt, bildet es einen ungleichnamigen Pol und hält ihn fest. Beide Wirkungen bremsen.

Im PVC-Rohr fehlt diese Rückwirkung vollständig, weil kein Induktionsstrom zustande kommt — deshalb der große Zeitunterschied.

Auf den Magneten wirken die konstante Gewichtskraft \(F_G=m\,g\) nach unten und die Bremskraft nach oben, die mit der Geschwindigkeit wächst. Solange \(F_G\) überwiegt, wird der Magnet schneller; damit wächst zugleich die Bremskraft.

Sobald die Bremskraft gerade so groß ist wie die Gewichtskraft, ist die resultierende Kraft null: Der Magnet sinkt von da an mit gleichbleibender Geschwindigkeit. Der Vorgang ist selbstregelnd, weil jede Beschleunigung sofort eine stärkere Gegenkraft hervorruft.

Energie: \(E_{pot}=m\,g\,h=0{,}045\,\mathrm{kg}\cdot 9{,}81\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\cdot 1{,}00\,\mathrm{m}=0{,}44\,\mathrm{J}\)

Am unteren Ende besitzt der Magnet nur noch \(E_{kin}=\tfrac{1}{2}m\,v^2=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}045\,\mathrm{kg}\cdot(0{,}21\,\mathrm{\tfrac{m}{s}})^2=1{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm{J}\), also rund 0,2 % der Lageenergie.

Praktisch die gesamte Lageenergie von etwa \(0{,}44\,\mathrm{J}\) wird demnach über die Wirbelströme in innere Energie der Rohrwand umgewandelt.

Ayla: Die Aussage ist falsch. Eine Stromquelle ist nicht nötig — die Spannung wird durch die Flussänderung im Kupfer selbst induziert, und eine Berührung ist ebenfalls nicht erforderlich, weil die Wirkung über das Magnetfeld übertragen wird. Die Wirbelströme fließen im Kupfer, das einen elektrischen Widerstand besitzt; dabei wird elektrische Energie in innere Energie umgesetzt. Die Rechnung aus c) zeigt, dass rund 0,44 J im Rohr landen. Die Erwärmung ist wegen der großen Masse des Rohres nur sehr klein, aber sie tritt auf.

Finn: Die Aussage ist nur zum Teil richtig. Zutreffend ist, dass das Material nicht ferromagnetisch sein muss — sonst würde der Magnet schlicht haften. Entscheidend für die Bremswirkung ist aber die elektrische Leitfähigkeit: Je besser das Material leitet, desto größer sind die Wirbelströme bei gleicher induzierter Spannung und desto stärker die Bremskraft.

Aluminium leitet deutlich schlechter als Kupfer. Ein Aluminiumrohr gleicher Abmessungen bremst deshalb spürbar, aber schwächer als das Kupferrohr; die Fallzeit läge zwischen den beiden Messwerten. „Genauso stark“ trifft also nicht zu.