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Übung AFB III

Die anspruchsvollste Stufe: In unbekannten Situationen zu elektrischen Feldern und Kondensatoren analysierst du, begründest und bewertest.

0 Aufgaben

Hier geht es ums Begründen, Verallgemeinern und Bewerten — der anspruchsvollste Teil (Anforderungsbereich III). Es gibt selten eine Zahl als Ziel, sondern eine schlüssige Argumentation. Denk erst selbst nach und formuliere eine Antwort, bevor du die Musterlösung aufklappst. Sobald du alle Lösungen einer Aufgabe geöffnet hast, gilt sie als bearbeitet.

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Energie am Kondensator durchdenken

Was ist konstant — Ladung oder Spannung?
1Platten auseinanderziehen — Quelle getrenntAFB III

Ein geladener Plattenkondensator wird von der Spannungsquelle getrennt (die Ladung \(Q\) bleibt konstant). Dann zieht man die Platten auf den doppelten Abstand auseinander.

Beurteilen Sie, wie sich Feldstärke \(E\), Spannung \(U\) und gespeicherte Energie \(W\) ändern, und begründen Sie, woher eine eventuelle Energieänderung stammt.

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  • Feldstärke \(E\):Bleibt gleich. Denn \(E=\dfrac{Q}{\varepsilon_0 A}\) hängt nur von der (konstanten) Flächenladungsdichte ab, nicht von \(d\).
  • Spannung \(U=E\cdot d\):Verdoppelt sich, weil \(E\) gleich bleibt und \(d\) verdoppelt wird.
  • Energie \(W=\tfrac12 Q U\):Verdoppelt sich (Q konstant, U doppelt).
  • Herkunft:Die ungleichnamig geladenen Platten ziehen sich an. Beim Auseinanderziehen verrichtet man mechanische Arbeit gegen diese Anziehung — diese Arbeit steckt als zusätzliche Feldenergie im Kondensator.
2Derselbe Vorgang — Quelle bleibt dranAFB III

Nun bleibt der Kondensator beim Auseinanderziehen an der Spannungsquelle (\(U\) konstant).

Vergleichen Sie mit Aufgabe 1: Was passiert jetzt mit \(C\), \(Q\), \(E\) und \(W\)?

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  • \(C=\varepsilon_0\tfrac{A}{d}\):Halbiert sich (d verdoppelt).
  • \(Q=C\,U\):Halbiert sich — die überschüssige Ladung fließt zur Quelle zurück.
  • \(E=\tfrac{U}{d}\):Halbiert sich (U konstant, d doppelt).
  • \(W=\tfrac12 C U^2\):Halbiert sich. Anders als bei festem \(Q\) nimmt die Energie hier ab — ein Teil fließt als Ladung in die Quelle zurück.
  • Kernidee:Man muss immer zuerst klären, welche Größe festgehalten wird. Das entscheidet über alle Folgerungen.
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Grundprinzipien allgemein begründen

Vom Einzelfall zur allgemeinen Aussage
3Warum Feldlinien sich nie schneidenAFB III

Begründen Sie allgemein, warum sich zwei elektrische Feldlinien niemals schneiden können.

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Die Feldlinienrichtung gibt an jedem Ort die Richtung der Kraft auf eine positive Probeladung an — und diese ist eindeutig. An einem Schnittpunkt müsste das Feld jedoch gleichzeitig in zwei verschiedene Richtungen (die beiden Tangenten) zeigen. Das ist ein Widerspruch. Also kann es keinen Schnittpunkt geben. (Ausnahme: an Orten mit \(E=0\) existiert gar keine Linie.)

4Faraday-Käfig mit Influenz erklärenAFB III

Erklären Sie mithilfe der Influenz, warum das Innere eines geschlossenen Leiters (Faraday-Käfig) im statischen Fall feldfrei ist.

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Ein äußeres Feld übt Kräfte auf die frei beweglichen Elektronen im Leiter aus und verschiebt sie (Influenz). Dadurch entstehen an der Oberfläche Influenzladungen, deren eigenes Feld dem äußeren Feld im Inneren entgegengerichtet ist. Die Ladungen verschieben sich genau so lange, bis sich beide Felder im Inneren exakt aufheben. Im Gleichgewicht ist daher \(E_{innen}=0\) — unabhängig von der Stärke des äußeren Feldes.

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Übertragen und bewerten

Modelle auf neue Situationen anwenden
5Gewitterwolke als KondensatorAFB III

Modell: Wolkenunterseite und Erdboden bilden einen Plattenkondensator, Abstand \(d\approx1{,}0\,\mathrm{km}\). Luft schlägt bei \(E\approx3{,}0\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\) durch (Blitz).

Schätzen Sie die Spannung \(U\) kurz vor dem Blitz ab (in Gigavolt, GV).

GV
Im (näherungsweise) homogenen Feld gilt \(U=E\cdot d\). \(1\,\mathrm{GV}=10^{9}\,\mathrm{V}\), \(d=1000\,\mathrm{m}\).
\(U=E\cdot d=3{,}0\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\cdot1000\,\mathrm{m}=3{,}0\cdot10^{9}\,\mathrm{V}=3{,}0\,\mathrm{GV}\). Größenordnung realer Blitze — die Abschätzung passt.
6Zwei Kondensator-Entwürfe bewertenAFB III

Zwei Vorschläge sollen die Kapazität verdoppeln: A verdoppelt die Plattenfläche, B halbiert den Plattenabstand.

Beurteilen Sie beide Entwürfe hinsichtlich Kapazität und Durchschlagsfestigkeit und geben Sie eine begründete Empfehlung.

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  • Beide verdoppeln \(C\): A über \(C\propto A\), B über \(C\propto\tfrac1d\).
  • Unterschied:B halbiert \(d\) und verdoppelt damit bei gleicher Spannung die Feldstärke \(E=\tfrac{U}{d}\) → höhere Durchschlagsgefahr.
  • A lässt \(E\) unverändert, ist also elektrisch sicherer, braucht aber mehr Material/Bauraum.
  • Empfehlung:Für hohe Spannungen Entwurf A (sicher); wenn Baugröße kritisch ist und die Spannung klein bleibt, ist B vertretbar.
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Verallgemeinern

Formeln umformen und Modelle einordnen
7Energie als Funktion der LadungAFB III

Zeigen Sie allgemein, dass sich die im Kondensator gespeicherte Energie auch als \(W=\dfrac{Q^{2}}{2C}\) schreiben lässt.

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Start: \(W=\tfrac12 C U^{2}\) und \(Q=C\,U\Rightarrow U=\dfrac{Q}{C}\).

Einsetzen: \(W=\tfrac12 C\left(\dfrac{Q}{C}\right)^{2}=\tfrac12\,\dfrac{Q^{2}}{C}=\dfrac{Q^{2}}{2C}\). \(\;\square\)

Nützlich: Bei konstanter Ladung (Quelle getrennt) sieht man so sofort, dass kleineres \(C\) mehr Energie bedeutet — passt zu Aufgabe 1.

8Kondensator statt Batterie?AFB III

Diskutieren Sie, ob ein Kondensator eine Batterie als Energiespeicher ersetzen kann. Nennen Sie je einen Vor- und Nachteil.

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  • Pro:Ein Kondensator kann sehr schnell ge- und entladen werden → sehr hohe kurzzeitige Leistung (Blitzlicht, Stützkondensator, Anlaufstrom).
  • Contra:Er speichert pro Volumen viel weniger Energie als eine Batterie, und seine Spannung \(U=\tfrac{Q}{C}\) sinkt sofort beim Entladen — keine konstante Versorgungsspannung.
  • Fazit:Als Ersatz für eine Batterie (lange, konstante Versorgung) ungeeignet; als Ergänzung für kurze, leistungsstarke Pulse hervorragend.