Spannung und Plattenabstand — zwei Stellschrauben
Aus 1.1.4 ist das Feldlinienbild des Plattenkondensators bekannt: Zwischen zwei parallelen, entgegengesetzt geladenen Platten verlaufen die Feldlinien geradlinig und überall gleich dicht — das Feld ist homogen. Damit stellt sich die Frage, die 1.1.5 allgemein beantwortet hat, hier neu und viel einfacher: Wovon hängt die Feldstärke \(E\) ab? Man muss sie nämlich gar nicht messen — sie steckt bereits in zwei Größen, die man am Aufbau selbst einstellt: in der Spannung \(U\) am Netzgerät und im Plattenabstand \(d\).
- Spannung U:Sie gibt an, wie viel Arbeit das Feld an jedem Coulomb Ladung verrichtet, während dieses von der einen Platte zur anderen wandert.
- Plattenabstand d:Gemeint ist immer der senkrechte Abstand der Platten — nicht die Plattenlänge und nicht die Weglänge einer schräg fliegenden Ladung.
- Gegenläufige Wirkung:Größere Spannung verstärkt das Feld, größerer Abstand schwächt es — die beiden Stellschrauben wirken einander entgegen.
- Unabhängig einstellbar:Am Netzgerät dreht man an \(U\), am Stativ verschiebt man die Platte und ändert \(d\) — beides geht getrennt voneinander.
- Überall gleich:Im Innenbereich ist \(E\) an jeder Stelle gleich groß. Nur am Plattenrand wölben sich die Linien nach außen; dort gilt alles Folgende nur näherungsweise.
Was das im Experiment bedeutet, zeigt ein Vergleich zweier sonst gleicher Kondensatoren an derselben Spannung. Nur der Plattenabstand unterscheidet sich — beim rechten ist er doppelt so groß:
Dass es genau die Hälfte ist und nicht irgendein anderer Bruchteil, lässt sich nicht am Bild ablesen. Es folgt aus der Arbeit, die das Feld an einer Ladung verrichtet — und damit aus 1.2.1.
Die Beziehung \(E = \dfrac{U}{d}\)
Der Zusammenhang wird nicht geraten, sondern hergeleitet — aus zwei Gleichungen, die beide schon bekannt sind: der Arbeit im elektrischen Feld \(W=q\,U\) aus 1.2.1 und der Kraft auf eine Ladung im Feld \(F=E\cdot q\) aus 1.1.5. Der Trick besteht darin, dieselbe Arbeit auf zwei Weisen aufzuschreiben.
Herleitung von \(E=\dfrac{U}{d}\)
Eine Ladung \(q\) wandert von der einen Platte zur anderen. Die Arbeit, die das Feld dabei verrichtet, lässt sich auf zwei Wegen ausdrücken:
Damit stehen links und rechts zwei Ausdrücke für dieselbe Arbeit. Der Rest ist Umformen:
- Gleichsetzen: \(q\,U = q\,E\,d\).
- Durch \(q\) teilen — die Probeladung fällt heraus: \(U = E\cdot d\).
- Nach \(E\) auflösen: \(E=\dfrac{U}{d}\).
Warum das Herausfallen von \(q\) so wichtig ist: Die Feldstärke im Plattenkondensator hängt danach nur noch vom Aufbau ab — von Spannung und Plattenabstand —, nicht davon, welche Ladung man hineinbringt. Genau das war schon in 1.1.5 der Kern der Definition: \(E\) beschreibt das Feld, nicht die Probeladung.
- Feldstärke im homogenen Feld
- Im Innenbereich eines Plattenkondensators ist die Feldstärke der Quotient aus der anliegenden Spannung U und dem Plattenabstand d — also die Spannung je Meter Weg.
Die Gleichung gilt nur im homogenen Feld — also zwischen parallelen Platten und nicht am Plattenrand.
Interessant wird die Formel, wenn man den Plattenabstand \(d\) festhält und nur die Spannung verändert — genau das tut man am Netzgerät. Dann steht im Nenner eine feste Zahl, und die Feldstärke hängt nur noch von \(U\) ab: Sie ist zur Spannung proportional. Doppelte Spannung bedeutet doppelte Feldstärke, dreifache Spannung dreifache Feldstärke, halbe Spannung halbe Feldstärke.
Bei festem Plattenabstand gilt \(E\sim U\): Die Feldstärke ist proportional zur anliegenden Spannung. Der Quotient \(\dfrac{E}{U}=\dfrac{1}{d}\) hat bei jeder Messung denselben Wert.
- Proportionalitätsfaktor:Er ist \(\dfrac{1}{d}\) — je kleiner der Plattenabstand, desto stärker schlägt eine Spannungsänderung auf die Feldstärke durch.
- Verhältnisgleichung:Statt zweimal zu rechnen, genügt \(\dfrac{E_1}{E_2}=\dfrac{U_1}{U_2}\), solange \(d\) unverändert bleibt.
- Nur eine Größe darf wandern:Verstellt man gleichzeitig \(d\), ist die Proportionalität hinfällig — sie gilt ausschließlich bei festem Plattenabstand.
Die Feldlinien werden dichter, wenn das Feld stärker wird, und der Balken darunter zeigt \(E\) maßstäblich an. Mit Wert merken lässt sich eine Einstellung festhalten und mit jeder weiteren vergleichen — so wird die Proportionalität in Zahlen sichtbar.
Man kann die Formel auch als Steigung lesen: Die Spannung wächst gleichmäßig mit dem zurückgelegten Weg, und die Steigung dieser Geraden ist die Feldstärke — \(E\) ist nichts anderes als „Spannung je Meter“.
Der Punkt wandert auf der Geraden, und das grün gestrichelte Steigungsdreieck wächst mit. Sein Quotient \(\Delta U : \Delta x\) bleibt dabei immer gleich — er ist die Feldstärke. Bei festem \(U\) und größerem \(d\) endet die Gerade weiter rechts und wird flacher, und genau das bedeutet „kleinere Feldstärke“.
Am Ort der Plusplatte, also bei \(x=d\), erreicht die Gerade genau die anliegende Spannung \(U\). Die Steigung ändert sich beim Verschieben von \(x\) nicht — deshalb darf man sie überall gleich nennen und mit \(E=\dfrac{U}{d}\) an den Plattenenden ausrechnen.
Einheit \(\mathrm{\frac{V}{m}}\) und Rechnen mit der Formel
In 1.1.5 wurde die Feldstärke über \(E=\dfrac{F}{q}\) eingeführt und in \(\mathrm{\frac{N}{C}}\) angegeben. Aus \(E=\dfrac{U}{d}\) kommt nun \(\mathrm{\frac{V}{m}}\) heraus. Das ist kein Widerspruch: Beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Einheit, nur aus zwei Blickrichtungen — einmal „Kraft je Ladung“, einmal „Spannung je Meter“.
Nachrechnen: warum \(1\,\mathrm{\frac{V}{m}}=1\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) gilt
- Ein Volt ist als Energie je Ladung definiert: \(1\,\mathrm V = 1\,\mathrm{\dfrac{J}{C}}\).
- Ein Joule ist als Arbeit „Kraft mal Weg“ definiert: \(1\,\mathrm J = 1\,\mathrm{N\cdot m}\).
- Einsetzen: \(1\,\mathrm{\dfrac{V}{m}} = 1\,\mathrm{\dfrac{J}{C\cdot m}} = 1\,\mathrm{\dfrac{N\cdot m}{C\cdot m}} = 1\,\mathrm{\dfrac{N}{C}}\).
Wichtig: Hier steckt kein Umrechnungsfaktor und keine Näherung. Der Meter kürzt sich vollständig heraus, deshalb darf man in Rechnungen und Ergebnissen beliebig zwischen beiden Schreibweisen wechseln.
- Ablesehilfe:\(1\,\mathrm{\frac{V}{m}}\) bedeutet, dass die Spannung je Meter Weg um ein Volt zunimmt.
- Typische Werte:Einige hundert Volt an wenigen Zentimetern ergeben einige \(10\,000\,\mathrm{\frac{V}{m}}\).
- Kleine Abstände:Weil \(d\) im Nenner steht, erzeugen schon wenige Volt an einem Millimeterspalt sehr starke Felder.
- Plausibilität:Wer für einen Laboraufbau mehrere hunderttausend Volt herausbekommt, hat meist \(U=\dfrac{E}{d}\) statt \(U=E\cdot d\) gerechnet.
| gegeben | gesucht | Rechnung | Einheit des Ergebnisses |
|---|---|---|---|
| U und d | E | \(E=\dfrac{U}{d}\) | \(\mathrm{\frac{V}{m}}\) |
| E und d | U | \(U=E\cdot d\) | \(\mathrm{V}\) |
| E und U | d | \(d=\dfrac{U}{E}\) | \(\mathrm{m}\) |
Beispiel 1 — Feldstärke berechnen
Plattenkondensator mit U = 200 V und d = 4,0 cm.
Beispiel 2 — Spannung berechnen
Zwischen zwei Platten im Abstand d = 2,5 cm soll ein Feld der Stärke E = 12 000 V/m herrschen. Welche Spannung muss man anlegen?
Zum Schluss lohnt der Blick darauf, wo die Gleichung überhaupt gilt. Sie ist keine allgemeine Formel für jedes elektrische Feld, sondern die Auswertung des Sonderfalls, mit dem dieses Kapitel begonnen hat.
\(E=\dfrac{U}{d}\) setzt ein homogenes Feld voraus. Praktisch heißt das: zwei parallele Platten, deren Fläche groß gegenüber ihrem Abstand ist, und ein Punkt weit genug innen. Am Plattenrand krümmen sich die Feldlinien nach außen, dort ist das Feld schwächer und die Formel liefert einen zu großen Wert. Für das Feld einer Punktladung ist sie gar nicht anwendbar — dort ändert sich \(E\) von Ort zu Ort, und ein einzelnes „\(d\)“ gibt es nicht.
Allgemeine Hinweise
d ist senkrecht und in Metern
In \(E=\tfrac{U}{d}\) steht der senkrechte Plattenabstand, und zwar in Metern: 5 cm sind 0,05 m. Plattenlänge oder schräger Flugweg gehören dort nicht hinein.
Mal d nicht durch d
Suchst du die Spannung, gilt \(U=E\cdot d\). Kommen für einen Laboraufbau mehrere hunderttausend Volt heraus, hast du fast sicher \(U=\tfrac{E}{d}\) gerechnet.
Nur eine Größe darf wandern
\(E\sim U\) und damit \(\tfrac{E_1}{E_2}=\tfrac{U_1}{U_2}\) gelten nur bei festem \(d\). Verstellst du gleichzeitig den Plattenabstand, ist die Verhältnisgleichung hinfällig.