AbituraufgabenFaraday-Käfig

Im Innenraum gilt \(E_\text{innen}=0\); der Innenraum ist feldfrei. Bedingungen: Die Karosserie muss elektrisch leitend sein (frei bewegliche Elektronen, hier Metall) und sie muss den Innenraum geschlossen umhüllen (keine großen Öffnungen; Fensterflächen und kleine Spalte sind klein gegenüber der Hülle). Dicke des Blechs, Metallsorte und eine Erdung spielen für die Abschirmung keine Rolle.

Das äußere Feld zeigt in M1 vom positiv geladenen Boden nach oben zur negativen Wolke. Auf die frei beweglichen Elektronen der Karosserie wirkt eine Kraft entgegen der Feldrichtung, also nach unten. Durch Influenz sammeln sich Elektronen am Bodenblech und an der Unterseite des Fahrzeugs (Elektronenüberschuss, negativ geladen); auf dem Dach entsteht ein Elektronenmangel (positiv geladen). Die Gesamtladung der Karosserie bleibt dabei null. Die Feldlinien enden von unten kommend auf dem negativen Bodenblech und beginnen auf dem positiven Dach neu — durch den Innenraum verläuft keine Feldlinie.

Umrechnung: \(q = 5{,}0\cdot 10^{-9}\,\mathrm C\). Position P: \(F_\text{P}=E_\text{P}\cdot q = 2{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\cdot 5{,}0\cdot 10^{-9}\,\mathrm C = 1{,}0\cdot 10^{-4}\,\mathrm N = 0{,}10\,\mathrm{mN}\). Position Q: Im Innenraum ist \(E=0\), also \(F_\text{Q}=E\cdot q=0\) — der Kraftsensor zeigt nichts an.

Mittelwert der Messwerte außerhalb: \(\displaystyle \bar F=\frac{61+60+60+62}{4}\,\mathrm{\mu N}=60{,}75\,\mathrm{\mu N}\approx 61\,\mathrm{\mu N}=6{,}1\cdot 10^{-5}\,\mathrm N\). Ansatz: \(\displaystyle E=\frac{F}{q}=\frac{6{,}1\cdot 10^{-5}\,\mathrm N}{2{,}0\cdot 10^{-9}\,\mathrm C}\). Ergebnis: \(E\approx 3{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\). Dass die vier Werte im Rahmen der Messgenauigkeit übereinstimmen, bestätigt zugleich, dass das Kondensatorfeld homogen ist.

Verlauf: Links der Dose (\(x=1{,}0\,\mathrm{cm}\) und \(2{,}0\,\mathrm{cm}\)) ist die Kraft konstant etwa \(60\,\mathrm{\mu N}\). Beim Eintritt in die Dose fällt sie sprunghaft auf null und bleibt an allen drei Messorten im Inneren (\(3{,}5\); \(5{,}0\); \(6{,}5\,\mathrm{cm}\)) null — auch dicht an den Wänden, nicht nur in der Mitte. Rechts der Dose springt sie wieder auf etwa \(60\,\mathrm{\mu N}\). Folgerung: Wegen \(E=\frac{F}{q}\) und \(q\neq 0\) ist im gesamten Inneren der Dose \(E=0\); das Kondensatorfeld wird durch die Dose vollständig abgeschirmt, während es außerhalb unverändert vorhanden ist.

Influenz: Das Kondensatorfeld zeigt nach rechts; auf die frei beweglichen Elektronen des Metalls wirkt eine Kraft entgegen der Feldrichtung, also nach links. Elektronen sammeln sich auf der linken Wand (negativ), auf der rechten Wand bleibt ein Elektronenmangel zurück (positiv). Gegenfeld: Diese Oberflächenladungen erzeugen im Hohlraum ein eigenes Feld, das von der positiven rechten zur negativen linken Wand zeigt — also entgegen dem Kondensatorfeld. Superposition: \(\vec E_\text{ges}=\vec E_\text{K}+\vec E_\text{gegen}\). Die Ladungsverschiebung dauert genau so lange an, wie im Inneren noch ein resultierendes Feld auf die Elektronen wirkt; sie endet, wenn sich beide Felder aufheben. Im Gleichgewicht gilt daher \(E_\text{gegen}=E_\text{K}=3{,}0\cdot 10^{4}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\), Richtung nach links, und \(E_\text{ges}=0\) — die Probeladung erfährt keine Kraft, der Sensor zeigt null.

In Kunststoff sind keine Elektronen frei beweglich; eine Influenz mit Ladungstransport zur Oberfläche findet nicht statt. Möglich ist nur Polarisation: Die Ladungsschwerpunkte der Moleküle verschieben sich geringfügig gegeneinander bzw. vorhandene Dipole richten sich aus. Dadurch entstehen an den Wänden zwar ebenfalls Oberflächenladungen, sie sind aber viel kleiner als bei Influenz und ihr Gegenfeld hebt das Kondensatorfeld nicht auf. Erwartung: Im Inneren der Kunststoffdose zeigt der Sensor nahezu denselben Wert wie außerhalb, etwa \(60\,\mathrm{\mu N}\) (allenfalls geringfügig weniger). Ein Isolator schirmt nicht ab — die Abschirmung ist eine Eigenschaft von Leitern.

Vor dem Einbau der Öffnung ist der Schirmraum ein geschlossener Leiter, im Inneren gilt \(\vec E_\text{ges}=\vec E_\text{außen}+\vec E_\text{gegen}=\vec 0\). Daraus folgt \(\vec E_\text{gegen}=-\vec E_\text{außen}\): Das Gegenfeld hat den Betrag \(E_\text{gegen}=6{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) und zeigt entgegen der \(x\)-Richtung. Begründung: Nur wenn beide Felder gleich groß und entgegengesetzt sind, heben sie sich in jedem Punkt des Hohlraums auf; die Influenz endet genau in diesem Zustand, weil dann keine Kraft mehr auf die freien Elektronen wirkt.

Ansatz (alle Felder auf der \(x\)-Achse, Vorzeichen = Richtung): \(E_\text{ges}=E_\text{außen}+E_\text{gegen}\). Einsetzen: \(1{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}=6{,}0\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}+E_\text{gegen}\). Ergebnis: \(E_\text{gegen}=-4{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\), also Betrag \(4{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\), Richtung entgegen der \(x\)-Richtung. Erläuterung: Durch die Öffnung fehlt ein Teil der influenzierten Ladungen auf der Wand; das Gegenfeld ist deshalb schwächer als im geschlossenen Raum (\(4{,}5\) statt \(6{,}0\,\mathrm{kN/C}\)). Es kompensiert nur noch 75 % des äußeren Feldes, ein Viertel (\(1{,}5\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\)) dringt bis P vor — die Abschirmung ist dort unvollständig.

Skizze: Vektor \(\vec E_\text{außen}\) der Länge \(6{,}0\) (Einheit \(10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\)) nach rechts, daran angesetzt \(\vec E_\text{gegen,Q}\) der Länge \(4{,}0\) nach unten; der Summenvektor verläuft vom Anfang des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils. Betrag: \(E_\text{Q}=\sqrt{(6{,}0)^2+(4{,}0)^2}\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}=\sqrt{52}\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\approx 7{,}2\cdot 10^{3}\,\mathrm{\frac{N}{C}}\). Richtung: \(\tan\alpha=\frac{4{,}0}{6{,}0}\), also \(\alpha\approx 34^\circ\) gegenüber der \(x\)-Richtung, nach unten geneigt. Bemerkenswert: Am Punkt Q ist das Gesamtfeld sogar größer als das äußere Feld — an den Kanten der Öffnung verdichten sich die Feldlinien, das Gegenfeld wirkt dort nicht mehr entgegen, sondern quer zum äußeren Feld.

Entscheidend für die Abschirmung ist nicht die geschlossene Fläche aus Metall, sondern dass frei bewegliche Elektronen der Kraft des äußeren Feldes folgen können. In den Metallfäden des Gewebes ist das genauso möglich wie in einem Blech: Das äußere Feld verschiebt Elektronen entlang der Fäden, auf der dem Feld zugewandten Seite des Anzugs entsteht ein Elektronenüberschuss, auf der abgewandten Seite ein Elektronenmangel. Diese influenzierten Ladungen erzeugen im Inneren ein Gegenfeld, das sich mit dem äußeren Feld zu null überlagert. Weil die Maschen mit wenigen Millimetern klein gegenüber dem Anzug sind, reicht das Gegenfeld der Fäden über die Maschen hinweg; das äußere Feld dringt praktisch nicht ein. Ein engmaschiges Gitter wirkt daher wie eine geschlossene Hülle — sofern es ringsum geschlossen ist, was durch die leitend verbundenen Handschuhe, Schuhe und die Haube erreicht wird.

Skizze: Weit links und rechts bleibt das Feld homogen. In Kugelnähe biegen die Feldlinien zur Kugel hin; von links kommende Linien enden senkrecht auf der linken Kugelhälfte, die negativ geladen ist (Elektronenüberschuss, „−“-Symbole), auf der rechten, positiv geladenen Hälfte („+“) beginnen Linien senkrecht und laufen nach rechts weiter. An den beiden Polen der Kugel liegen die Linien dichter als im ungestörten Feld, am oberen und unteren Rand verlaufen sie tangential vorbei. Im Hohlraum ist keine Feldlinie eingezeichnet. Begründung: Solange eine Feldlinie schräg auf die Oberfläche träfe, hätte die Kraft \(\vec F=q\vec E\) auf die freien Elektronen eine Komponente parallel zur Oberfläche. Dann würden die Elektronen entlang der Oberfläche verschoben (Influenz), bis diese Komponente verschwindet. Im Gleichgewicht steht das Feld an der Oberfläche daher überall senkrecht; eine Kraftkomponente senkrecht zur Oberfläche kann die Elektronen nicht aus dem Metall herausbewegen und bleibt bestehen.

Der erste Teil der Aussage ist physikalisch falsch: Das Gewebe isoliert nicht, es ist ein Leiter. Gerade deshalb schützt es — durch Influenz baut sich ein Gegenfeld auf, das den Innenraum feldfrei macht; bei einer Berührung mit der Leitung fließt der Strom über das Gewebe außen um den Körper herum. Ein Isolator würde weder das Feld abschirmen (vgl. die Kunststoffdose) noch den Strom um den Körper leiten. Der zweite Teil ist eine unbegründete Folgerung: Die Abschirmung hängt weder von der Dicke der Fäden noch von der Metallsorte ab, sondern nur davon, dass das Gewebe leitet und den Körper geschlossen umhüllt; entscheidend ist die Maschenweite, nicht die Fadendicke. Dickere Fäden könnten allenfalls einen größeren Strom tragen, verbessern aber die Feldabschirmung nicht. Die Aussage ist daher in ihrer Begründung falsch und in ihrer Schlussfolgerung nicht haltbar.

Aussage 1 ist in der Begründung falsch. Richtig ist nur, dass man im Auto vergleichsweise sicher ist. Die Gummireifen spielen dafür keine Rolle: Die Abschirmung entsteht durch die geschlossene, leitende Metallkarosserie — das äußere Feld verschiebt durch Influenz Elektronen in der Karosserie, die Oberflächenladungen erzeugen ein Gegenfeld, und im Innenraum überlagern sich beide Felder zu null. Ob das Fahrzeug gegen den Boden isoliert ist, ändert daran nichts; ein Auto auf blanken Metallfelgen wäre genauso geschützt. Auch beim Einschlag selbst „isolieren“ die Reifen nicht: Ein Blitz, der Hunderte Meter Luft durchschlagen hat, überwindet wenige Zentimeter Gummi ohne Weiteres. Der Strom fließt über die Karosserie außen um die Fahrgastzelle herum zur Erde.

Aussage 2 ist ebenfalls falsch. Zutreffend ist, dass im Innenraum keine Feldstärke messbar ist. Die Karosserie „löscht“ das äußere Feld aber nicht aus, sie hält es nur aus ihrem Hohlraum fern: Außerhalb bleibt das Feld bestehen — die Feldlinien enden auf dem Bodenblech und beginnen auf dem Dach neu (vgl. M1 in Aufgabe 1). Direkt an der Karosserie ist die Feldstärke sogar größer als im ungestörten Feld, weil sich die Feldlinien dort verdichten (vgl. Aufgabe 3 c). Das Gegenfeld der influenzierten Ladungen hebt das äußere Feld nur im Inneren auf; außerhalb überlagern sich beide Felder zu etwas anderem als null.

Dafür spricht: Bodenblech, Türen, Motorhaube und Kofferraum sind auch beim Cabrio aus Metall; sie leiten, werden influenziert und bauen ein Gegenfeld auf, das das äußere Feld im Fußraum und hinter den Türen zumindest teilweise schwächt. Ein Einschlag würde meist in die höchsten Metallteile (Windschutzscheibenrahmen, Überrollbügel) treffen und über die Karosserie abfließen. Dagegen spricht: Die zentrale Bedingung des Faraday-Käfigs — eine geschlossene leitende Hülle — ist verletzt. Das Stoffverdeck leitet nicht, die Öffnung ist so groß wie der Innenraum selbst und damit nicht „klein gegenüber der Hülle“. Wie Aufgabe 3 gezeigt hat, ist das Gegenfeld schon bei einer einzelnen Öffnung deutlich schwächer und an den Kanten sogar verstärkt; das äußere Feld dringt in den Innenraum ein, die Köpfe der Insassen ragen in das ungeschirmte Feld und könnten selbst zum Einschlagpunkt werden. Fazit: „Meistens Metall“ genügt nicht — die Abschirmung wirkt nur mit geschlossener Hülle. Ein Cabrio mit offenem Verdeck bietet daher nicht denselben Schutz; bei Gewitter sollte das Verdeck geschlossen (bei Hardtop) oder ein anderes Fahrzeug bzw. Gebäude aufgesucht werden.