Warum ausgerechnet eine Exponentialfunktion?
Am Ende des Versuchs aus 1.3.3 liegt eine Wertetabelle vor: sechs Zeiten, sechs Spannungen. Bevor irgendetwas gerechnet wird, ist eine Vorentscheidung zu treffen — welcher Funktionstyp soll überhaupt an diese Punkte angepasst werden? Der GTR bietet im Regressionsmenü ein gutes Dutzend Möglichkeiten an: linear, quadratisch, kubisch, logarithmisch, exponentiell, sinusförmig. Zu fast jeder Messreihe lässt sich mit genug Parametern irgendeine Kurve finden, die halbwegs durch die Punkte läuft — eine Parabel etwa passt sich sechs Messpunkten oft verblüffend gut an. Die Wahl ist deshalb keine Geschmacksfrage, und sie darf auch nicht allein am Bestimmtheitsmaß hängen. Sie muss begründet werden, und zwar mit drei Argumenten, die zusammen ein sicheres Urteil ergeben.
Erstens: das physikalische Argument
Der Strom im Kreis wird in jedem Augenblick von der Spannung getrieben, die gerade noch am Kondensator anliegt — und genau dieser Strom baut die Ladung ab. Je weniger noch da ist, desto langsamer geht es weiter. Eine Größe, deren Änderungsrate proportional zum eigenen Bestand ist, wird immer durch eine Exponentialfunktion beschrieben; das ist dieselbe Struktur wie beim radioaktiven Zerfall. Der Funktionstyp folgt hier also aus dem Aufbau des Stromkreises und steht schon vor der ersten Messung fest.
Zweitens: der Quotiententest an den Messwerten
Eine lineare Funktion erkennt man daran, dass gleiche Zeitschritte gleiche Differenzen erzeugen. Bei einer Exponentialfunktion erzeugen gleiche Zeitschritte gleiche Quotienten. Genau das prüft man an der Messreihe nach, indem man jeden Wert durch seinen Vorgänger teilt.
| \(t\) in s | \(U\) in V | Differenz zum Vorwert | Quotient zum Vorwert |
|---|---|---|---|
| 0 | 10,0 | — | — |
| 2 | 6,5 | −3,5 V | 0,65 |
| 4 | 4,3 | −2,2 V | 0,66 |
| 6 | 2,8 | −1,5 V | 0,65 |
| 8 | 1,8 | −1,0 V | 0,64 |
| 10 | 1,2 | −0,6 V | 0,67 |
Die Differenzen schrumpfen von 3,5 V auf 0,6 V, sie sind also alles andere als konstant — eine Gerade scheidet aus. Die Quotienten dagegen liegen alle zwischen 0,64 und 0,67 und schwanken damit nur im Rahmen der Ablesegenauigkeit. Alle zwei Sekunden bleiben rund 65 % übrig, egal ob man vom Anfang oder vom Ende der Messreihe aus rechnet. Das ist der Fingerabdruck einer Exponentialfunktion.
Drittens: das Grenzverhalten
Ein Funktionstyp muss auch außerhalb des Messbereichs noch sinnvolle Werte liefern. Lässt man den Versuch weiterlaufen, sinkt die Spannung immer weiter, erreicht aber nie null und wird niemals negativ. Diese Bedingung entscheidet die Frage endgültig.
- Gerade: fällt gleichmäßig weiter und liefert nach etwa 17 Sekunden eine negative Spannung — physikalisch unmöglich.
- Parabel: hat einen Scheitel; hinter ihm würde die Spannung wieder steigen, ohne dass jemand nachlädt.
- Exponentialfunktion: nähert sich der Zeitachse beliebig dicht an, bleibt aber immer positiv — genau das beobachtete Verhalten.
So begründet man die Regressionswahl: Physikalisch folgt aus „Änderungsrate proportional zum Bestand“ zwingend eine e-Funktion. Rechnerisch bestätigt der Quotiententest konstante Faktoren bei gleichen Zeitschritten. Als Kontrolle liegen die Punkte im \(\ln U\)-\(t\)-Diagramm auf einer Geraden — dieser grafische Nachweis folgt in Phase 2 und ist nichts anderes als der Quotiententest in Bildform. Ein hoher \(r^2\)-Wert allein ist kein Argument: Auch eine falsch gewählte Parabel erreicht ihn.
Warum man die Kurve linearisiert
Der Funktionstyp steht damit fest — gemessen wurde aber die Spannung selbst, und deren Kurve ist gekrümmt. Genau das ist das Problem: Aus einer Kurve lässt sich die Zeitkonstante nur schätzen, aus einer Geraden dagegen eindeutig ablesen. Der Trick besteht darin, nicht die Spannung selbst, sondern ihren natürlichen Logarithmus über der Zeit aufzutragen.
- Keine feste Steigung:Eine Exponentialkurve ändert ihre Steigung an jeder Stelle — es gibt keinen einzelnen Wert zum Ablesen.
- Ausgleich von Hand schwierig:Durch eine gekrümmte Punktwolke lässt sich mit dem Lineal keine zuverlässige Ausgleichslinie legen.
- τ steckt im Exponenten:Sie bestimmt nur, wie stark sich die Kurve krümmt, und ist deshalb aus dem Rohdiagramm nicht zugänglich.
Vom Exponentialgesetz zur Geraden
Logarithmiert man die Entladegleichung, entsteht eine lineare Beziehung zwischen \(\ln U\) und \(t\). Die Messpunkte liegen dann auf einer Geraden, und aus ihrer Steigung \(m\) folgt sofort \(\tau=-\dfrac{1}{m}\).
Linearisierung
Warum überhaupt logarithmiert wird: Ein exponentieller Abfall wird durch Logarithmieren zur Geraden. Erst dann liefert die Regression eine einzige, ablesbare Steigung — daraus folgt \(\tau=-\tfrac{1}{m}\) und daraus der gesuchte Widerstand \(R=\dfrac{\tau}{C}\).
| Bestandteil | Bedeutung im Versuch |
|---|---|
| Größe auf der Hochachse | \(\ln U\) — der Logarithmus der gemessenen Spannung |
| Größe auf der Rechtsachse | \(t\) — die Zeit seit dem Abklemmen der Quelle |
| Steigung \(m\) | \(m=-\dfrac{1}{\tau}\), abgelesen in \(\tfrac{1}{\mathrm s}\) — daraus folgt \(\tau=-\dfrac{1}{m}\) |
| Achsenabschnitt \(b\) | \(b=\ln U_0\) — der Logarithmus der Anfangsspannung |
Was der Taschenrechner beim Befehl LinReg tut, lässt sich von Hand nachvollziehen: Er sucht unter allen denkbaren Geraden diejenige, bei der die Summe der quadrierten senkrechten Abstände zu den Messpunkten am kleinsten wird. Im folgenden Applet legt man diese Gerade selbst — Steigung und Achsenabschnitt sind frei einstellbar, die Abstände werden als rote Balken mitgezeichnet und ihre Quadratsumme laufend mitgerechnet.
Die Fehlerquadratsumme unten sagt, wie gut die Gerade zu den Messpunkten passt — kleiner ist besser. „Beste Gerade“ liefert den Wert, den auch der GTR berechnet.
Zwei Beobachtungen lohnen sich. Erstens reagiert die Fehlerquadratsumme viel empfindlicher auf die Steigung als auf den Achsenabschnitt — genau die Größe, auf die es uns ankommt, bestimmt die Regression also besonders zuverlässig. Zweitens erscheint dieselbe Gerade in der Ansicht \(U\) über \(t\) als Exponentialkurve: Das Linearisieren ändert nichts an den Messwerten, sondern nur an der Art, sie aufzutragen.
Am GTR zur Zeitkonstante und zum Widerstand
Der Taschenrechner bildet die Logarithmen und legt die Ausgleichsgerade durch alle Punkte zugleich — man muss ihm nur die richtigen Listen übergeben.
- Messwerte eingeben: Zeiten in Liste L1, Spannungen in L2.
- Neue Liste bilden: L3 = ln(L2).
- Lineare Regression auf L1, L3 ausführen (LinReg / lineare Anpassung).
- Die Steigung \(m\) ablesen — hier \(m\approx-0{,}21\,\tfrac{1}{\mathrm s}\).
- Zeitkonstante: \(\tau=-\dfrac{1}{m}\approx4{,}7\,\mathrm s\); dann \(R=\dfrac{\tau}{C}\).
Die Steigung allein ist noch nicht das Ziel des Versuchs: Erst über \(\tau\) und \(R=\dfrac{\tau}{C}\) kommt man beim gesuchten Widerstand an.
Von der Steigung zum Widerstand
Regression liefert \(m=-0{,}213\,\tfrac{1}{\mathrm s}\), Kapazität \(C=1000\,\mu\mathrm F\).
Denselben Versuch umgekehrt lesen: die Kapazität bestimmen
Bisher galt die Kapazität als bekannt und der Widerstand war gesucht. In der Praxis liegt der Fall meist andersherum: Ein Widerstand ist ein Präzisionsbauteil und hält seinen aufgedruckten Wert auf ein Prozent genau, während ein Elektrolytkondensator um zwanzig Prozent daneben liegen darf und mit den Jahren zusätzlich altert. Wer den wahren Wert von \(C\) braucht, muss ihn deshalb messen — und kann dafür genau die Schaltung aus 1.3.3 verwenden. Verändert wird nichts am Aufbau, getauscht werden nur die Rollen: \(R\) ist jetzt die bekannte Größe, \(C\) die gesuchte.
- Gleicher Aufbau: Umschalter, Voltmeter, Stoppuhr — die Messreihe \(U(t)\) entsteht wie zuvor.
- Bekannt ist jetzt \(R\): der aufgedruckte Widerstandswert, hier \(R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\).
- Gesucht ist \(C\): aus der Zeitkonstante folgt sie mit \(C=\dfrac{\tau}{R}\).
- Kontrolle inklusive: Der gemessene Wert lässt sich mit dem Aufdruck des Bauteils vergleichen.
Die Zeitkonstante ohne GTR: über die Halbwertszeit
Die Regression aus Phase 4 liefert \(\tau\) am genauesten, sie braucht aber den Taschenrechner. Es geht auch direkt am Diagramm: Man sucht die Zeit, nach der die Spannung auf die Hälfte der Anfangsspannung gefallen ist. Diese Halbwertszeit \(t_{1/2}\) ist keine neue Naturgröße, sondern nur ein fester Bruchteil der Zeitkonstante — setzt man \(U=\tfrac{U_0}{2}\) in das Entladegesetz ein, bleibt \(t_{1/2}=\tau\cdot\ln 2\) übrig.
Kapazität aus der Entladekurve
| Frage | bekannt | gesucht | Auswertung |
|---|---|---|---|
| Wie groß ist der eingebaute Widerstand? | \(C=1000\,\mu\mathrm F\) | \(R\) | \(\tau\) aus der Regression, dann \(R=\dfrac{\tau}{C}\) |
| Wie groß ist die tatsächliche Kapazität? | \(R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\) | \(C\) | \(\tau\) aus \(t_{1/2}\) oder Regression, dann \(C=\dfrac{\tau}{R}\) |
Eine Messung, zwei Leserichtungen: Die Entladekurve liefert immer nur die Zeitkonstante \(\tau=R\cdot C\) — ein Produkt. Welche der beiden Größen daraus wird, entscheidet allein, welche man vorher kennt. Deshalb muss bei jeder Kondensator-Messung zuerst feststehen, welches Bauteil das zuverlässigere ist.
Der zweite Weg: direkt aus der Definition
Wer keine Zeitmessung mag, kann \(C=\dfrac{Q}{U}\) unmittelbar ausnutzen: Kondensator an eine bekannte Spannung legen, dann über ein empfindliches Strommessgerät entladen und die geflossene Ladung bestimmen. Weil sich \(Q\) als Fläche unter dem \(I\)-\(t\)-Verlauf ergibt — wie man diese Fläche bestimmt, zeigt Phase 6 —, braucht dieser Weg mehr Messtechnik als die Entladekurve; dafür entsteht die Kapazität ohne Umweg genau so, wie sie definiert ist.
Kapazität aus der Halbwertszeit
Abgelesen: \(U_0=10{,}0\,\mathrm V\), halber Wert \(5{,}0\,\mathrm V\) nach \(t_{1/2}=3{,}3\,\mathrm s\); eingebaut ist \(R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\).
Die geflossene Ladung aus dem I-t-Diagramm
Misst man beim Aufladen den Strom statt der Spannung, entsteht ein \(I\)-\(t\)-Diagramm — und aus ihm lässt sich die Größe ablesen, um die es beim Kondensator eigentlich geht: die geflossene Ladung. Bei einem konstanten Strom wäre das einfach, denn dann gilt \(Q=I\cdot t\), und dieses Produkt ist nichts anderes als der Flächeninhalt eines Rechtecks unter der waagerechten Stromlinie. Beim Kondensator ist der Strom aber nicht konstant, sondern fällt exponentiell ab. Die Idee bleibt trotzdem gültig: Gesucht ist weiterhin die Fläche unter der Kurve, nur hat sie jetzt eine krumme obere Begrenzung.
Die Fläche in Streifen zerlegen
Eine krumme Fläche lässt sich näherungsweise bestimmen, indem man sie in schmale senkrechte Streifen zerschneidet. Innerhalb eines Streifens ändert sich der Strom nur wenig, sodass man den Verlauf dort durch eine gerade Verbindungslinie zwischen den beiden Randmesswerten ersetzen darf. Jeder Streifen ist dann ein Trapez, dessen Fläche aus dem Mittelwert der beiden Randströme mal der Streifenbreite entsteht. Am Ende werden alle Streifen addiert.
Die erste Zeile ist die Streifenmethode für ein beliebiges Zeitintervall; \(I_i\) sind die gemessenen Stromwerte im Abstand \(\Delta t\). Die zweite Zeile gibt die Ladung an, die bis zur vollständigen Aufladung insgesamt fließt — sie dient als Kontrolle. Einheiten: \(1\,\mathrm{mA}\cdot1\,\mathrm s=1\,\mathrm{mC}\).
Je schmaler die Streifen gewählt werden, desto besser schmiegen sich ihre geraden Oberkanten an die Kurve an und desto genauer wird das Ergebnis. Bei einer digitalen Messung mit zwanzig Werten pro Sekunde sind die Streifen so schmal, dass der Fehler unter einem Promille bleibt — die Auswertungssoftware rechnet nach genau diesem Verfahren.
Geflossene Ladung in den ersten zehn Sekunden
Messwerte im Abstand \(\Delta t=2\,\mathrm s\): \(2{,}13\;|\;1{,}39\;|\;0{,}91\;|\;0{,}59\;|\;0{,}39\;|\;0{,}25\) mA.
Fläche statt Produkt: \(Q=I\cdot t\) gilt nur bei konstantem Strom. Sobald sich \(I\) ändert, tritt die Fläche unter dem \(I\)-\(t\)-Verlauf an die Stelle des Produkts. Zwei Kontrollen schützen vor groben Fehlern: Das Ergebnis darf \(C\cdot U_0\) niemals überschreiten, und ein Streifenwert muss kleiner werden, wenn man \(\Delta t\) verkleinert.
Wie stark eine Streifennäherung danebenliegt, hängt an zwei Stellschrauben: an der Breite der Streifen und an der Länge des Zeitraums, den man betrachtet. Im folgenden Applet lassen sich beide getrennt verändern. Der exakte Wert wird jeweils mitgerechnet, sodass der Näherungsfehler direkt ablesbar ist.
Aufladekurve für \(R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\), \(C=1000\,\mu\mathrm F\), \(U_0=10\,\mathrm V\). Die Streifensumme nähert den exakten Flächeninhalt unter der Kurve an.
Zwei Beobachtungen lohnen sich: Die Streifensumme liegt immer über dem exakten Wert, weil die geraden Oberkanten die nach unten gekrümmte Kurve überdecken — und halbiert man die Streifenbreite, viertelt sich die Abweichung ungefähr. Schiebt man den Endzeitpunkt an den rechten Rand, nähert sich die Fläche den 10 mC aus \(C\cdot U_0\), erreicht sie aber nie ganz.
Typische Stolperstellen bei der Auswertung
Die Auswertung besteht aus wenigen Rechenschritten — und fast alle Fehler passieren an denselben vier Stellen. Sie haben eine unangenehme Gemeinsamkeit: Das Ergebnis sieht in jedem Fall ordentlich aus, die Punkte liegen brav auf einer Geraden, das Bestimmtheitsmaß ist hoch. Auffallen kann der Fehler deshalb nur bei einer Plausibilitätskontrolle.
\(\lg U\) statt \(\ln U\)
Wird der Zehnerlogarithmus aufgetragen, ist die Steigung um \(\ln 10\approx2{,}30\) zu klein — \(\tau\) und \(R\) also um denselben Faktor zu groß. Die Punkte liegen trotzdem exakt auf einer Geraden; nur der Vergleich mit dem Bauteil-Aufdruck verrät den Fehler.
Kapazität in \(\mu\mathrm F\)
\(C\) muss in Farad eingesetzt werden, hier \(1000\,\mu\mathrm F=0{,}001\,\mathrm F\). Sonst liegt \(R\) um \(10^{6}\) daneben. Einheitenprobe: \(1\,\Omega\cdot1\,\mathrm F=1\,\mathrm s\).
Die Steigung sauber ablesen
Das Steigungsdreieck sollte mindestens die halbe Messdauer überspannen, hier also rund fünf Sekunden. Und das Minuszeichen in \(\tau=-\dfrac{1}{m}\) nicht vergessen — eine negative Zeitkonstante ist unmöglich.
Drei Kontrollen am Schluss: Ist \(\tau\) positiv und liegt es in der Größenordnung der Messdauer? Stimmt die Einheit — \(1\,\Omega\cdot1\,\mathrm F=1\,\mathrm s\), \(C\) also in Farad? Und passt das Ergebnis zum Aufdruck des Bauteils, bei einem Elko auf etwa zwanzig Prozent genau? Wer diese drei Fragen beantwortet, fängt jeden der oben genannten Fehler ab.