Aufbau und Material
Herzstück des Aufbaus ist ein Umschalter: Stellung 1 legt die Quelle an den Kondensator und lädt ihn, Stellung 2 trennt die Quelle ab und schließt den Kondensator kurz, sodass er sich entlädt — beides im selben Aufbau, ohne ein einziges Kabel umzustecken. Entscheidend ist dabei die Lage des Widerstands: Er sitzt im gemeinsamen Zweig direkt am Kondensator und wird in beiden Stellungen durchflossen. Deshalb gilt für das Laden und für das Entladen dieselbe Zeitkonstante \(\tau=R\,C\), und die beiden Vorgänge lassen sich unmittelbar miteinander vergleichen.
Gemessen wird mit zwei getrennten Gerätesätzen. Beim Entladen genügen ein Voltmeter parallel zum Kondensator und eine Stoppuhr — die Spannung fällt langsam genug, um sie von Hand abzulesen. Beim Aufladen liegt zusätzlich ein Stromsensor in Reihe im gemeinsamen Zweig; seine Werte gehen über ein Messinterface an den Rechner. Die Kennwerte sind so gewählt, dass man der Entladung mit bloßem Auge folgen kann: \(R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\) und \(C=1000\,\mu\mathrm F\) ergeben \(\tau\approx4{,}7\,\mathrm s\).
In beiden Stellungen fließt der Strom durch \(R\) und den Stromsensor; nur die Richtung kehrt sich um. Das Voltmeter liegt durchgehend parallel zum Kondensator und misst dessen Spannung.
| Bauteil | Wert / Funktion |
|---|---|
| Spannungsquelle | \(U_0=10\,\mathrm V\) (Gleichspannung) |
| Kondensator | \(C=1000\,\mu\mathrm F\) (Elektrolytkondensator, auf Polung achten) |
| Widerstand | \(R=4{,}7\,\mathrm{k\Omega}\), im gemeinsamen Zweig — begrenzt den Strom beim Laden und beim Entladen |
| Umschalter | Stellung 1 = laden, Stellung 2 = entladen |
| Voltmeter | parallel zum Kondensator, misst \(U(t)\); muss hochohmig sein |
| Stoppuhr | misst die Zeit \(t\) beim Entladen von Hand |
| Stromsensor | in Reihe im gemeinsamen Zweig, misst \(I(t)\) beim Aufladen |
| Messinterface + Rechner | digitalisiert die Sensorwerte und legt die \(t\)-\(I\)-Tabelle an |
Von Hand messen: die Entladung
Der Versuch besteht aus zwei sauber getrennten Abschnitten: erst vollständig laden, dann entladen und dabei messen. Bleiben die Abschnitte nicht getrennt, beginnt die Messreihe bei einer unbekannten Anfangsspannung — und \(U_0\) ist für die Auswertung nicht mehr verwendbar.
- Schaltung nach dem Schaltplan aufbauen; Polung des Elektrolytkondensators beachten.
- Umschalter auf Stellung 1 legen und den Kondensator vollständig laden (bis \(U=U_0=10\,\mathrm V\)).
- Auf Stellung 2 umschalten und im selben Moment die Stoppuhr starten — der Kondensator entlädt sich über \(R\).
- Alle \(2\,\mathrm s\) die Spannung am Voltmeter ablesen und notieren.
- Messung bis etwa \(t=10\,\mathrm s\) fortsetzen, also über gut zwei Zeitkonstanten.
Der kritische Moment ist Schritt 3: Umschalten und Start der Stoppuhr müssen im selben Augenblick geschehen. Jede Verzögerung verschiebt die gesamte Messreihe um denselben Betrag und wirkt später als systematischer Fehler auf \(\tau\). Genauso wirkt sich aus, dass zwischen dem Blick auf die Uhr und dem Blick auf das Voltmeter immer ein kurzer Moment vergeht — abgelesen wird der Wert immer ein Wimpernschlag zu spät und damit ein wenig zu klein.
Nach \(\tau\) sind noch rund 37 % der Anfangsspannung übrig, nach \(2\tau\) gut 13 %. Mit \(\tau\approx4{,}7\,\mathrm s\) liegt das sinnvolle Messende deshalb bei etwa zehn Sekunden: Danach unterscheiden sich zwei aufeinanderfolgende Ablesungen kaum noch von der Ablesegenauigkeit selbst.
Wie sich diese Handmessung anfühlt, lässt sich schlecht beschreiben — leichter nachstellen. Im folgenden Applet läuft die Entladung in Echtzeit ab: Das Voltmeter zählt herunter, alle zwei Sekunden blinkt der Taktgeber, und im selben Augenblick wird ein Wertepaar in die Tabelle übernommen. Die Ablesung erfolgt dabei nicht ideal, sondern mit einer kleinen, jedes Mal etwas anderen Reaktionszeit — genau so, wie es einem Menschen am Messplatz ergeht.
Die Spannung am Voltmeter sinkt, der Taktgeber blinkt alle zwei Sekunden — und im selben Augenblick wird abgelesen und ein Punkt ins Diagramm eingetragen. Die Ablesung erfolgt mit einer kleinen Reaktionszeit, genau wie am echten Messplatz.
Bereit — Kondensator ist auf 10,0 V geladen.
| Zeit t in s | abgelesene Spannung U in V |
|---|---|
| — noch keine Messwerte — | |
Nach dem Durchlauf erscheint der wahre Verlauf zum Vergleich: Die Messpunkte liegen fast alle unter der Kurve, weil jede Ablesung ein wenig zu spät erfolgt und die Spannung in dieser Zeit schon weiter gefallen ist. Der Fehler ist klein, aber er zeigt immer in dieselbe Richtung — er streut nicht, er verschiebt. Bei mehreren Durchläufen wandern die einzelnen Punkte jedes Mal etwas, das systematische Unterschätzen bleibt.
Digital messen: der Aufladevorgang
Beim Entladen reichen Voltmeter und Stoppuhr aus. Für den Aufladevorgang ist die Handmessung dagegen ungeeignet: Der Strom ist im ersten Augenblick am größten und fällt genau dort am schnellsten, wo der Mensch am langsamsten ist. Deshalb übernimmt hier ein digitales Messwerterfassungssystem — der Stromsensor liegt in Reihe im Kreis, ein Messinterface wandelt seine Werte in Zahlen um und gibt sie an die Software am Rechner weiter. Bei zwanzig Messwerten pro Sekunde entsteht die \(t\)-\(I\)-Wertetabelle von selbst, und niemand muss eine Stoppuhr drücken.
Gemessen wird bewusst die Stromstärke und nicht die Spannung. Das hat einen messtechnischen und einen inhaltlichen Grund: Der Sensor liegt ohnehin in Reihe und verändert den Stromkreis kaum, während ein Voltmeter am Kondensator immer einen zweiten Weg für die Ladung öffnet. Und der Verlauf \(I(t)\) ist die Größe, aus der sich später sowohl die Zeitkonstante als auch die insgesamt geflossene Ladung gewinnen lässt.
- Stromsensor in Reihe in den gemeinsamen Zweig einbauen, Interface mit dem Rechner verbinden.
- In der Software die Messrate auf 20 Werte pro Sekunde und die Messdauer auf \(15\,\mathrm s\) stellen.
- Den Kondensator über Stellung 2 vollständig entladen — sonst ist der Startstrom kleiner als \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\).
- Aufzeichnung starten und auf Stellung 1 umschalten; die Software setzt \(t=0\), sobald der Strom einsetzt.
- Mindestens \(3\tau\) lang messen und die Tabelle anschließend als Datei sichern.
Der entscheidende Vorteil zeigt sich in der ersten Sekunde: Während von Hand überhaupt kein Wert zustande käme, liegen dort bereits zwanzig Wertepaare vor. Der Trigger — also das automatische Starten der Zeitmessung durch das Messsignal selbst — beseitigt zusätzlich genau die Verschiebung, die eben noch beim Ablesen von Hand entstanden ist.
- Zeitauflösung: Zwanzig Werte pro Sekunde erfassen auch den steilen Anfang des Aufladevorgangs.
- Kein Reaktionsfehler: Der Trigger startet die Zeitmessung, nicht die Hand — der Zeitnullpunkt sitzt genau.
- Viele Wertepaare: Die Regression stützt sich auf hunderte Punkte statt auf sechs.
- Direkt weiterverarbeitbar: Die Datei lässt sich ohne Abtippen in Tabellenkalkulation oder GTR übernehmen.
| Zeit t in s | Stromstärke I in mA |
|---|---|
| 0 | 2,13 |
| 1 | 1,72 |
| 2 | 1,39 |
| 3 | 1,12 |
| 4 | 0,91 |
| 6 | 0,59 |
| 8 | 0,39 |
| 10 | 0,25 |
Bauteile für die Messung auswählen
Damit eine solche Aufzeichnung gelingt, muss sie vorher geplant werden. Zwei Bedingungen entscheiden darüber, ob am Ende eine brauchbare Messreihe im Rechner liegt: Der Strom muss zu Beginn groß genug sein, damit der Sensor ihn überhaupt auflöst, und der Vorgang muss innerhalb des eingestellten Messfensters abgeschlossen sein. Beide Bedingungen hängen an den Bauteilen — und sie ziehen in verschiedene Richtungen.
Zwei Bedingungen, zwei Stellschrauben. Der Widerstand legt über \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\) den Startwert der Stromkurve fest — er entscheidet, ob der Sensor überhaupt etwas sieht. Wie lange die Messung dauert, hängt dagegen vom Produkt \(\tau=R\,C\) ab; nach \(3\tau\) ist der Vorgang praktisch beendet. Die Kapazität taucht im Startwert gar nicht auf — sie streckt die Kurve nur in die Länge.
Bauteile auswählen für eine geplante Messdauer
Die Messung soll nach rund \(6\,\mathrm s\) beendet sein, also \(\tau\approx2\,\mathrm s\) betragen. Der Sensor misst zuverlässig ab \(0{,}5\,\mathrm{mA}\); die Quelle liefert \(U_0=10\,\mathrm V\).
Dieselbe Planung lässt sich im folgenden Applet durchspielen, bevor man im Labor ein Bauteil in die Hand nimmt. Widerstand und Kapazität sind frei wählbar; das Applet zeichnet die zugehörige Stromkurve, blendet die Auflösungsgrenze des Sensors als roten Streifen ein und markiert mit einer violetten Linie, wann der Vorgang nach \(3\tau\) beendet ist. Darunter steht das Urteil: brauchbare Messung oder nicht.
Die Stromkurve beim Aufladen hängt von \(R\) und \(C\) ab. Der rote Streifen zeigt, wo der Sensor nichts mehr auflöst; die violette Linie markiert das Messende nach \(3\tau\). Die Punkte sind zur Übersicht nur im Sekundentakt eingezeichnet — der Sensor selbst nimmt zwanzig Werte pro Sekunde auf. Die Quellspannung bleibt fest bei \(U_0=10\,\mathrm V\), das Messfenster bei \(15\,\mathrm s\).
Brauchbar.
Die beiden Bedingungen widersprechen einander — das ist der eigentliche Punkt. Ein großer Widerstand drückt den Startstrom unter die Auflösungsgrenze, ein großes Produkt \(R\,C\) sprengt das Messfenster. Suche gezielt eine Einstellung, die an einer der beiden Bedingungen scheitert, und dann eine, die beide erfüllt. Mit „Kurve merken“ bleibt der aktuelle Verlauf als gestrichelte Vergleichskurve stehen.
Typische Fehlerquellen
Entscheidend ist zu unterscheiden, ob eine Fehlerquelle die Werte zufällig streuen lässt oder sie systematisch in eine Richtung verschiebt — oft verrät schon die Form der Messkurve, welcher Fall vorliegt.
| Fehlerquelle | Wirkung auf die Messung | Gegenmaßnahme |
|---|---|---|
| Voltmeter zu niederohmig | Das Messgerät entlädt den Kondensator mit; \(U\) fällt zu schnell, \(\tau\) wird zu klein (systematisch) | Hochohmiges Voltmeter wählen, Innenwiderstand deutlich größer als \(R\) |
| Stoppuhr zu spät gestartet | Alle Zeiten sind um denselben Betrag verschoben (systematisch) | Umschalten und Uhrstart koppeln, zu zweit messen |
| Zu spät abgelesen | Jeder Wert liegt etwas unter dem wahren Verlauf; die Punkte fallen alle in dieselbe Richtung ab (systematisch) | Blick vorher auf das Voltmeter richten, im Takt ablesen statt zu suchen |
| Messdauer zu kurz | Nur der steile Anfang wird erfasst; der exponentielle Verlauf wird nicht sichtbar | Mindestens bis \(2\tau\) messen, hier also rund zehn Sekunden |
| Ungenaues Ablesen | Die Werte streuen um den wahren Verlauf (zufällig) | Mehrere Durchgänge aufnehmen und mitteln |
Allgemeine Hinweise
Umschalten und Uhr gleichzeitig
Jede Verzögerung zwischen Stellung 2 und Startknopf verschiebt die gesamte Messreihe um denselben Betrag. Das streut nicht, es verfälscht \(\tau\) systematisch in eine Richtung.
Erst voll laden bzw. entladen
Die Entladereihe darf nur bei \(U_0=10\,\mathrm V\) starten, die Aufladereihe nur am vollständig entladenen Kondensator — sonst ist der Startstrom kleiner als \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\).
R und C wirken verschieden
\(R\) legt über \(I_0=\dfrac{U_0}{R}\) fest, ob der Sensor überhaupt etwas sieht; die Messdauer hängt am Produkt \(\tau=R\,C\). Die Kapazität streckt die Kurve nur in die Länge.