Wo die Energie beim Laden bleibt
Einen Kondensator zu laden kostet Arbeit: Je mehr Ladung schon getrennt ist, desto stärker wehrt sich der Kondensator gegen jede weitere Portion. Diese Arbeit verschwindet nicht — sie steckt anschließend im elektrischen Feld zwischen den Platten und lässt sich beim Entladen vollständig zurückholen.
Der Faktor ½: Die Energie ist \(\tfrac12 QU\) und nicht \(QU\), weil die Spannung während des Ladens erst von null auf \(U\) anwächst. Gerechnet wird also mit der mittleren Spannung.
- Ausgangspunkt:Am leeren Kondensator ist die Spannung null — die erste Ladungsportion kostet praktisch keine Arbeit.
- Gegenspannung:Mit jeder verschobenen Portion wächst die Spannung und damit die Kraft, gegen die man arbeitet.
- Proportionalität:Wegen \(U=\dfrac{Q}{C}\) wächst die Gegenspannung gleichmäßig mit der getrennten Ladung.
- Endzustand:Erst die letzte Portion wird gegen die volle Spannung geschoben — im Mittel war es nur die Hälfte.
Ein Blick zurück auf 1.2.1 verhindert die häufigste Verwechslung dieses Kapitels. Dort wurde die Arbeit an einer Ladung in einem bereits vorhandenen Feld berechnet: \(W=q\cdot U\), ohne Faktor ½, weil die Spannung während der Bewegung konstant bleibt. Hier dagegen wird das Feld erst aufgebaut — die Spannung wächst währenddessen mit, und genau deshalb steht der Faktor ½ davor. Die Frage lautet also immer: Ist das Feld schon da, oder entsteht es gerade?
Energie als Fläche im U-Q-Diagramm
Weil die Spannung gleichmäßig mit der Ladung steigt, ist das U-Q-Diagramm eine Ursprungsgerade. Die zugeführte Energie ist die Fläche darunter — ein Dreieck mit dem Inhalt \(\tfrac12\cdot Q\cdot U\). Wer stattdessen die Endspannung mit der gesamten Ladung multipliziert, nimmt das ganze Rechteck und erhält doppelt so viel.
- Warum Fläche:Jede schmale Ladungsportion \(\Delta Q\) kostet die Arbeit \(U\cdot\Delta Q\) — das ist ein schmaler Streifen unter der Geraden. Alle Streifen zusammen ergeben die Fläche.
- Einheit:Die Fläche hat die Einheit \(\mathrm{V\cdot C}\). Wegen \(1\,\mathrm{V}=1\,\mathrm{\dfrac{J}{C}}\) bleibt \(1\,\mathrm{J}\) übrig — die Fläche ist also eine Energie, \([W]=1\,\mathrm J\).
- Häufiger Fehler:Das Rechteck \(Q\cdot U\) wäre die Arbeit, wenn die Spannung von Anfang an ihren Endwert hätte. Das ist beim Kondensator nie der Fall.
- Gilt allgemein:Das Argument nutzt nur die Geradenform des U-Q-Diagramms — also gilt es für jeden Kondensator, unabhängig von Bauform und Dielektrikum.
Das folgende Applet zerlegt genau diesen Ladevorgang in gleich große Portionen. Jede Portion wird zunächst so grob abgerechnet, wie es die falsche Rechnung tut: mit der Spannung, die am Ende dieser Portion herrscht. So entsteht die orange Treppe über der Geraden. Mit mehr Portionen nähert sich die Treppenfläche der violetten Dreiecksfläche an.
Kondensator mit \(C=1{,}0\,\mathrm{mF}\). Der rote Punkt markiert den aktuellen Ladezustand auf der Geraden.
Bei einer einzigen Portion liefert die Treppe genau das ganze Rechteck \(Q\cdot U\) — also den doppelten Wert. Mit jeder Verfeinerung schrumpft der Überschuss: Bei \(n\) Portionen ist die Treppe um den Faktor \(1+\dfrac{1}{n}\) zu groß, bei 25 Portionen also nur noch um vier Prozent. Der Grenzwert dieser Verfeinerung ist die Dreiecksfläche — und damit ist der Faktor ½ keine Merkregel, sondern das Ergebnis einer Rechnung.
Die drei Formen der Energieformel anwenden
Aus der Dreiecksfläche \(W=\tfrac12\,Q\,U\) entstehen die beiden anderen Formen, indem man \(Q=C\,U\) bzw. \(U=\dfrac{Q}{C}\) einsetzt — man muss also nur eine Formel auswendig können. Entscheidend ist die Konsequenz: \(U\) und \(Q\) gehen quadratisch ein, die Kapazität nur linear. Sind alle drei Größen bekannt, ist der Vergleich zweier Rechenwege eine bequeme Selbstkontrolle.
Energie eines Kondensators
| gegeben | passende Form | typische Situation |
|---|---|---|
| C und U | \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\) | Bauteil mit aufgedruckter Kapazität an bekannter Spannung |
| Q und U | \(W=\tfrac12\,Q\,U\) | Ladung und Spannung wurden gemessen |
| Q und C | \(W=\dfrac{Q^{2}}{2C}\) | Die Ladung ist bekannt, die Spannung nicht |
C und U gegeben
Ein Elektrolytkondensator \(C=470\,\mu\mathrm F\) liegt an \(U=9{,}0\,\mathrm V\). Wie viel Energie ist gespeichert?
Q und C gegeben, U unbekannt
Ein Kondensator \(C=100\,\mu\mathrm F\) trägt die Ladung \(Q=4{,}7\,\mathrm{mC}\). Die Spannung wurde nicht gemessen.
Q und U gegeben
An einem Kondensator wurden \(Q=1{,}2\,\mathrm{mC}\) und \(U=25\,\mathrm V\) gemessen. Bestimme die gespeicherte Energie und zusätzlich die Kapazität.
Lösung anzeigen
\(W=\tfrac12\,Q\,U=\tfrac12\cdot1{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm C\cdot25\,\mathrm V=1{,}5\cdot10^{-2}\,\mathrm J=15\,\mathrm{mJ}\).
\(C=\dfrac{Q}{U}=\dfrac{1{,}2\cdot10^{-3}\,\mathrm C}{25\,\mathrm V}=4{,}8\cdot10^{-5}\,\mathrm F=48\,\mu\mathrm F\). Gegenprobe mit \(W=\tfrac12 CU^{2}\): \(\tfrac12\cdot4{,}8\cdot10^{-5}\cdot625\,\mathrm J=1{,}5\cdot10^{-2}\,\mathrm J\) ✓
Warum die Energie dem Feld gehört
Bisher hieß es: „Der Kondensator speichert Energie.“ Genauer ist: Die Energie steckt im Feld zwischen den Platten. Das lässt sich zeigen, ohne etwas Neues zu lernen — man setzt nur die beiden bereits bekannten Beziehungen \(C=\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\) aus 1.3.1 und \(U=E\cdot d\) aus 1.2.2 in die Energieformel ein. Am Ende steht rechts keine einzige Bauteilgröße mehr.
- Schritt 1:Start bei \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\).
- Schritt 2:\(C=\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\) und \(U=E\cdot d\) einsetzen: \(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\dfrac{A}{d}\,(E\,d)^{2}\).
- Schritt 3:Im Zähler steht \(d^{2}\), im Nenner \(d\) — ein \(d\) kürzt sich weg, übrig bleibt \(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\cdot A\cdot d\).
- Die Aussage:Rechts stehen nur noch die Feldstärke und das Volumen \(V=A\cdot d\) — von Ladung und Bauteil ist nichts mehr übrig. Doppeltes Feldvolumen bei gleicher Feldstärke bedeutet doppelte Energie.
Energiedichte des elektrischen Feldes
Die Energiedichte ist die eigentliche Aussage dieses Abschnitts: Sie hängt nur von der Feldstärke ab, nicht davon, wie groß der Kondensator ist oder wie viel Ladung auf den Platten sitzt. Zwei völlig verschiedene Kondensatoren mit derselben Feldstärke tragen im Zwischenraum dieselbe Energie pro Kubikmeter. Weil \(E\) quadratisch eingeht, ist eine doppelte Feldstärke bereits vier Mal so „energiereich“ — deshalb lohnt es sich technisch, den Plattenabstand klein zu halten, und deshalb ist genau dort auch die Durchschlagsgefahr am größten.
Zwei Sichtweisen, ein Ergebnis: Zum Rechnen nimmt man \(W=\tfrac12\,C\,U^{2}\) — die Größen stehen auf dem Bauteil. Zum Verstehen nimmt man \(W=\tfrac12\,\varepsilon_0\,E^{2}\cdot A\cdot d\) — sie zeigt, dass das Feld selbst der Energieträger ist. Beide Formen liefern immer denselben Wert; sie beschreiben dieselbe Energie, nur einmal über das Bauteil und einmal über den Feldraum.
Bisher stehen zwei Rechenwege nebeneinander: der Bauteil-Weg über \(C\) und \(U\) und der Feld-Weg über \(E\) und das Volumen. Im folgenden Applet laufen beide Wege gleichzeitig mit — die beiden Ergebniszahlen unten stimmen dabei immer überein, egal wie die Einstellungen aussehen.
Luft zwischen den Platten, also \(\varepsilon_\mathrm{r}=1\). Die Zahl der Feldlinien wächst mit der Feldstärke, die Färbung des Zwischenraums mit der Energiedichte.
Zwei Einstellungen lohnen sich besonders. Halbiere erstens bei fester Spannung den Abstand: In der Bauteil-Sicht verdoppelt sich \(C\), also verdoppelt sich die Energie. In der Feld-Sicht verdoppelt sich die Feldstärke, die Energiedichte wächst damit auf das Vierfache — gleichzeitig halbiert sich aber das Feldvolumen, und übrig bleibt genau derselbe Faktor 2. Verdopple zweitens die Spannung: Beide Ergebniszahlen springen auf das Vierfache, weil \(U\) und \(E\) quadratisch eingehen. Die Energie sitzt also nicht „in den Platten“, sondern im Raum dazwischen — und dieser Raum lässt sich ausmessen.
Kondensatoren im Einsatz
In fast jedem elektronischen Gerät stecken Kondensatoren — meist mehrere Dutzend. Was sie dort leisten, folgt immer aus einer der vier Beziehungen, die dieses Kapitel und seine Vorgänger geliefert haben: der gespeicherten Energie \(W=\tfrac12 C U^{2}\), der gespeicherten Ladung \(Q=C\cdot U\), der Zeitkonstante \(\tau=R\cdot C\) aus 1.3.2 und dem Zusammenhang zwischen Bauform und Kapazität \(C=\varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}\) aus 1.3.1. Wer eine technische Anwendung beschreiben soll, sucht deshalb zuerst die Frage: Welche dieser vier Größen wird hier ausgenutzt?
Der wichtigste Punkt dabei ist eine Unterscheidung, die im Alltag oft verwischt wird: Ein Kondensator speichert im Vergleich zu einem Akku wenig Energie, kann sie aber sehr schnell abgeben. Genau diese Kombination — kleine Energie, riesige Leistung — macht ihn für Impulsanwendungen unersetzlich.
- Energiespeicher für kurze, kräftige Impulse: Ein Kondensator speichert wenig Energie, gibt sie aber in Millisekunden ab — genau das, was ein Kamerablitz oder ein Defibrillator braucht. Ein Akku hält deutlich mehr Energie, kann sie aber nicht so schnell herausgeben.
- Glättung einer schwankenden Spannung: Hinter jedem Netzteil kommt zunächst eine stark pulsierende Gleichspannung an. Der Kondensator lädt sich in den Spannungsspitzen und gibt seine Ladung in den Lücken wieder ab; übrig bleibt nur eine kleine Restwelligkeit — die verbleibende Schwankung. Je größer \(C\), desto glatter das Ergebnis.
- Zeitglied für definierte Verzögerungen: Weil das Laden über einen Widerstand die Zeit \(\tau=R\cdot C\) braucht, lassen sich mit einem Widerstand und einem Kondensator Zeitspannen einstellen: Treppenhauslicht, Blinkerfrequenz, das Ausblenden von Kontaktprellen an einem Taster.
- Sensor für Berührung, Abstand und Füllstand: Jede Änderung von Fläche, Abstand oder Dielektrikum verändert die Kapazität messbar. Ein Finger auf dem Touchscreen wirkt als zusätzlicher Leiter im Feld, steigender Flüssigkeitsstand in einem Tank vergrößert \(\varepsilon_r\) zwischen zwei Elektroden.
| Anwendung | ausgenutzt wird | Was ein größeres \(C\) bewirkt |
|---|---|---|
| Blitzgerät, Defibrillator, Bremsenergiespeicher | \(W=\tfrac12 C U^{2}\) | mehr Energie pro Impuls, aber längere Ladezeit |
| Netzteil, Ladegerät, Versorgung eines Prozessors | \(Q=C\cdot U\) | kleinere Restwelligkeit, stabilere Spannung |
| Treppenhauslicht, Blinker, Entprellung | \(\tau=R\cdot C\) | längere Verzögerung bei gleichem Widerstand |
| Touchscreen, Füllstands- und Abstandssensor | \(C=\varepsilon_0\varepsilon_r\dfrac{A}{d}\) | größeres Grundsignal, das die Änderung überdeckt |
Beim Beschreiben einer Anwendung immer zweiteilig antworten: zuerst was das Bauteil im Gerät tut (Energie für einen Impuls bereitstellen, eine Spannung glätten, eine Zeit vorgeben, eine Änderung messbar machen), dann welche Beziehung dahintersteckt. Erst der zweite Teil macht aus einer Aufzählung eine physikalische Erklärung.
Defibrillator: Ein Kondensator mit \(C=100\,\mu\mathrm F\) wird über einige Sekunden auf \(U=2{,}7\,\mathrm{kV}\) geladen und speichert dabei \(W=\tfrac12 C U^{2}=\tfrac12\cdot1{,}00\cdot10^{-4}\,\mathrm F\cdot(2{,}7\cdot10^{3}\,\mathrm V)^{2}\approx3{,}6\cdot10^{2}\,\mathrm J\). Das ist etwa die Energie einer Tafel Schokolade, geteilt durch 6000 — also erstaunlich wenig. Entscheidend ist die Zeit: Der Impuls dauert nur rund \(10\,\mathrm{ms}\), die mittlere Leistung beträgt damit \(P=\dfrac{W}{t}=\dfrac{360\,\mathrm J}{0{,}010\,\mathrm s}=36\,\mathrm{kW}\). Kein Akku dieser Baugröße könnte 36 Kilowatt liefern — der Kondensator kann es, weil er seine Ladung ohne chemische Umwandlung freigibt.
Allgemeine Hinweise
Der Faktor ein Halb
\(W=\tfrac12 QU\) gilt, wenn das Feld erst aufgebaut wird — die Spannung wächst dabei mit. Für eine Ladung im schon vorhandenen Feld gilt dagegen \(W=q\,U\) ohne den Faktor \(\tfrac12\).
U geht quadratisch ein
In \(W=\tfrac12 CU^{2}\) vervierfacht doppelte Spannung die Energie, doppelte Kapazität verdoppelt sie nur. Und quadriert wird die ganze Spannung, nicht bloß der Vorfaktor.
Form nach Gegebenem wählen
Nimm die Form, die genau die zwei gegebenen Größen enthält — bei bekanntem \(Q\) und unbekanntem \(U\) also \(W=\dfrac{Q^{2}}{2C}\). Sind alle drei bekannt, ist die zweite Form eine kostenlose Gegenprobe.