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Abituraufgaben: Braunsche Röhre

Fünf Aufgaben im Stil der Abiturprüfung: Oszilloskop-Messung, Baugruppen, Empfindlichkeit, Kalibrierung und Protonen statt Elektronen — mit Hinweisen und Erwartungshorizont.

1

Messung mit dem Oszilloskop

AFB II

In der Braunschen Röhre eines Oszilloskops treten Elektronen aus einer Glühkathode aus und werden mit \(U_\text{B}=2{,}0\,\mathrm{kV}\) beschleunigt. Anschließend durchlaufen sie waagerecht das Feld der y-Ablenkplatten: Plattenlänge \(l=4{,}0\,\mathrm{cm}\), Plattenabstand \(d=1{,}2\,\mathrm{cm}\), Ablenkspannung \(U_\text{A}=40\,\mathrm V\). Vom Plattenende bis zum Leuchtschirm sind es \(L=18\,\mathrm{cm}\) feldfreier Raum.

Rechnen Sie mit \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e}=9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\). Die Gewichtskraft der Elektronen wird vernachlässigt.

  1. Beschreiben Sie den Weg eines Elektrons von der Kathode bis zum Schirm und nennen Sie zu jeder Baugruppe die physikalische Größe, die sie verändert.
  2. Berechnen Sie die Eintrittsgeschwindigkeit \(v_0\) in das Ablenkfeld und die Auslenkung \(Y\) des Leuchtflecks auf dem Schirm.
  3. Erklären Sie die Aufgabe der an den x-Platten anliegenden Sägezahnspannung und beurteilen Sie, wie sich das Schirmbild ändert, wenn die Frequenz der gemessenen Wechselspannung bei unveränderter Zeitablenkung verdoppelt wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Gehe die Baugruppen in der Reihenfolge durch, in der das Elektron sie erreicht: Kathode, Wehneltzylinder, Anode, Plattenpaare, Schirm.„Nennen“ verlangt hier nur die Größe (Anzahl, Energie, Richtung …), keine Erläuterung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Für \(v_0\) den Energieansatz \(e\,U_\text{B}=\tfrac12 m v_0^{2}\) verwenden. Für \(Y\) zuerst die Ablenkung am Plattenende und den Ablenkwinkel bestimmen; auf dem Schirm gilt \(Y=\left(\frac l2+L\right)\tan\alpha\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Was macht der Leuchtfleck, wenn die x-Spannung gleichmäßig ansteigt und dann zurückspringt? Überlege für den zweiten Teil, wie viele Schwingungen in einen Durchlauf passen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Aus der geheizten Glühkathode treten durch den glühelektrischen Effekt Elektronen aus (Größe: Anzahl der freien Elektronen). Der Wehneltzylinder bündelt den Strahl und regelt über seine negative Spannung die Zahl der durchgelassenen Elektronen (Größe: Intensität bzw. Helligkeit). Die durchbohrte Anode beschleunigt die Elektronen im Feld der Spannung \(U_\text{B}\) (Größe: Geschwindigkeit bzw. kinetische Energie). Die beiden Plattenpaare lenken den Strahl senkrecht und waagerecht ab (Größe: Bewegungsrichtung). Auf dem Leuchtschirm wird die kinetische Energie der auftreffenden Elektronen in Licht umgewandelt (Größe: sichtbarer Ort des Strahls). Im feldfreien Raum zwischen Platten und Schirm fliegen die Elektronen geradlinig-gleichförmig.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Eintrittsgeschwindigkeit: \(\displaystyle v_0=\sqrt{\frac{2\,e\,U_\text{B}}{m}}=\sqrt{\frac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\cdot2000\,\mathrm V}{9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}}}=2{,}65\cdot10^{7}\,\mathrm{\frac ms}\).

Feldstärke: \(E=\frac{U_\text{A}}{d}=\frac{40\,\mathrm V}{0{,}012\,\mathrm m}=3{,}3\cdot10^{3}\,\mathrm{\frac Vm}\). Beschleunigung: \(a=\frac{e\,E}{m}=5{,}86\cdot10^{14}\,\mathrm{\frac{m}{s^{2}}}\). Flugzeit: \(t=\frac{l}{v_0}=\frac{0{,}040\,\mathrm m}{2{,}65\cdot10^{7}\,\mathrm{\frac ms}}=1{,}51\cdot10^{-9}\,\mathrm s\). Ablenkung am Plattenende: \(y=\tfrac12 a t^{2}=0{,}67\,\mathrm{mm}\).

Quergeschwindigkeit \(v_y=a\,t=8{,}8\cdot10^{5}\,\mathrm{\frac ms}\), damit \(\tan\alpha=\frac{v_y}{v_0}=0{,}033\) und \(\displaystyle Y=\left(\frac l2+L\right)\tan\alpha=(0{,}020+0{,}180)\,\mathrm m\cdot0{,}033=6{,}7\cdot10^{-3}\,\mathrm m=6{,}7\,\mathrm{mm}\).

(Kontrolle mit der zusammengefassten Formel \(Y=\frac{U_\text{A}\,l\left(\frac l2+L\right)}{2\,d\,U_\text{B}}=\frac{40\,\mathrm V\cdot0{,}040\,\mathrm m\cdot0{,}200\,\mathrm m}{2\cdot0{,}012\,\mathrm m\cdot2000\,\mathrm V}=6{,}7\,\mathrm{mm}\).)

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Sägezahnspannung steigt gleichmäßig an und springt dann auf ihren Anfangswert zurück. Der Leuchtfleck wandert dadurch mit konstanter Geschwindigkeit von links nach rechts und beginnt anschließend erneut links: Die waagerechte Achse des Schirms wird zur Zeitachse. Zusammen mit der senkrechten Auslenkung durch die Messspannung entsteht ein Spannungs-Zeit-Diagramm. Ein stehendes Bild ergibt sich, wenn jeder Durchlauf denselben Kurvenausschnitt zeichnet, also die Zeitablenkung mit dem Signal synchronisiert ist.

Bei verdoppelter Signalfrequenz halbiert sich die Periodendauer. In denselben waagerechten Durchlauf passen daher doppelt so viele Schwingungen; das Bild wird in x-Richtung gestaucht. Die Höhe der Kurve ändert sich nicht, da der Scheitelwert der Spannung gleich bleibt. Um wieder gleich viele Schwingungen zu sehen, müsste die Zeitablenkung entsprechend schneller eingestellt werden.

2

Die Baugruppen der Röhre

AFB I

Eine Braunsche Röhre besteht aus einem evakuierten Glaskolben mit Glühkathode, Wehneltzylinder, durchbohrter Anode, zwei Plattenpaaren und Leuchtschirm.

  1. Nennen Sie zu jeder Baugruppe ihre Aufgabe.
  2. Geben Sie an, welche Energieumwandlung am Leuchtschirm stattfindet.
  3. Begründen Sie, warum der Glaskolben evakuiert sein muss.
Hinweis zu Aufgabe a)
Erzeugen, bündeln, beschleunigen, ablenken, anzeigen.
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Glühkathode: Elektronen erzeugen; Wehneltzylinder: Strahl bündeln, Helligkeit regeln; Anode: beschleunigen; Plattenpaare: waagerecht und senkrecht ablenken; Leuchtschirm: Auftreffpunkt sichtbar machen.

Hinweis zu Aufgabe b)
Womit kommen die Elektronen an?
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Die Bewegungsenergie der Elektronen wird im Leuchtstoff in Lichtenergie (und etwas Wärme) umgewandelt.

Hinweis zu Aufgabe c)
Was geschähe mit den Elektronen in Luft?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In Luft würden die Elektronen mit Gasteilchen zusammenstoßen, abgebremst und gestreut — ein scharfer Strahl käme nicht zustande. Außerdem würde die glühende Kathode in Luft verbrennen.

3

Die Empfindlichkeit einer Röhre

AFB II

Elektronen werden mit \(U_\text{B}\) beschleunigt und treten mit \(v_0\) waagerecht in das Feld eines Plattenkondensators (Länge \(l\), Abstand \(d\), Spannung \(U_\text{A}\)) ein. Der Schirm steht im Abstand \(L\) hinter dem Plattenende. Für die Auslenkung auf dem Schirm gilt \(Y=\left(\tfrac l2+L\right)\tan\alpha\).

  1. Leiten Sie her, dass \(\tan\alpha=\dfrac{U_\text{A}\,l}{2\,d\,U_\text{B}}\) gilt.
  2. Berechnen Sie für \(U_\text{B}=1{,}5\,\mathrm{kV}\), \(l=3{,}0\,\mathrm{cm}\), \(d=1{,}0\,\mathrm{cm}\) und \(L=15\,\mathrm{cm}\) die Empfindlichkeit \(\dfrac{Y}{U_\text{A}}\) in mm/V sowie die Ablenkspannung für \(Y=2{,}0\,\mathrm{cm}\).
  3. Begründen Sie, warum ein größerer Schirmabstand \(L\) die Röhre empfindlicher macht, eine höhere Beschleunigungsspannung dagegen unempfindlicher.
Hinweis zu Aufgabe a)
Verwenden Sie \(v_y=a\,t\), \(a=\dfrac{e\,U_\text{A}}{m\,d}\), \(t=\dfrac{l}{v_0}\) und \(v_0^2=\dfrac{2\,e\,U_\text{B}}{m}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}=\dfrac{a\,t}{v_0}=\dfrac{e\,U_\text{A}\,l}{m\,d\,v_0^2}\). Mit \(v_0^2=\dfrac{2eU_\text{B}}{m}\) folgt \(\tan\alpha=\dfrac{U_\text{A}\,l}{2\,d\,U_\text{B}}\).

Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie das Ergebnis aus a) in die Formel für \(Y\) ein.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(\dfrac{Y}{U_\text{A}}=\dfrac{l\,(\tfrac l2+L)}{2\,d\,U_\text{B}}=\dfrac{0{,}03\,\mathrm m\cdot0{,}165\,\mathrm m}{2\cdot0{,}01\,\mathrm m\cdot1500\,\mathrm V}=1{,}65\cdot10^{-4}\,\tfrac{\mathrm m}{\mathrm V}=0{,}165\,\tfrac{\mathrm{mm}}{\mathrm V}\). Für \(Y=20\,\mathrm{mm}\): \(U_\text{A}=\dfrac{20}{0{,}165}\,\mathrm V\approx121\,\mathrm V\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Vergleichen Sie Zähler und Nenner der Empfindlichkeit.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Hinter den Platten fliegen die Elektronen unter dem Winkel \(\alpha\) geradlinig weiter; je länger dieser Weg, desto weiter wandert der Fleck aus. Eine höhere Beschleunigungsspannung macht die Elektronen schneller, sie sind kürzer im Querfeld, \(\tan\alpha\) wird kleiner: \(Y\sim\dfrac{1}{U_\text{B}}\).

4

Die Röhre als Spannungsmesser

AFB II

Eine Braunsche Röhre wird bei \(U_\text{B}=1{,}0\,\mathrm{kV}\) kalibriert. Messwerte: \(U_\text{A}\) in V: 0 · 20 · 40 · 60 · 80; Auslenkung \(Y\) in cm: 0 · 0,8 · 1,6 · 2,4 · 3,2.

  1. Werten Sie die Messreihe aus und geben Sie den Kalibrierfaktor an.
  2. Bestimmen Sie die unbekannte Spannung, die eine Auslenkung von \(2{,}9\,\mathrm{cm}\) bewirkt.
  3. Ermitteln Sie, welche Spannung dieselbe Auslenkung von \(2{,}9\,\mathrm{cm}\) anzeigt, wenn \(U_\text{B}\) auf \(1{,}25\,\mathrm{kV}\) erhöht wird.
Hinweis zu Aufgabe a)
Bilden Sie für jedes Wertepaar den Quotienten \(Y : U_ ext{A}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Alle Quotienten sind gleich: \(\dfrac{Y}{U_\text{A}}=0{,}04\,\tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm V}\). \(Y\) ist proportional zu \(U_\text{A}\); die Röhre eignet sich als Spannungsmesser.

Hinweis zu Aufgabe b)
Kalibrierfaktor umkehren.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(U_\text{A}=\dfrac{2{,}9\,\mathrm{cm}}{0{,}04\,\mathrm{cm/V}}=72{,}5\,\mathrm V\).

Hinweis zu Aufgabe c)
Wie hängt \(Y\) von \(U_\text{B}\) ab?
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Wegen \(Y\sim\dfrac{1}{U_\text{B}}\) sinkt der Faktor auf \(0{,}04\cdot\dfrac{1{,}0}{1{,}25}=0{,}032\,\tfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm V}\). Für \(2{,}9\,\mathrm{cm}\) sind dann \(\dfrac{2{,}9}{0{,}032}\,\mathrm V\approx91\,\mathrm V\) nötig. Nach jeder Änderung von \(U_\text{B}\) muss neu kalibriert werden.

5

Eine Röhre für Protonen?

AFB III

Ein Schüler behauptet: „Würde man in einer Braunschen Röhre Protonen statt Elektronen verwenden, bräuchte man viel größere Ablenkspannungen, weil Protonen so schwer sind.“ Beide Teilchenarten werden mit derselben Spannung \(U_\text{B}=1{,}0\,\mathrm{kV}\) beschleunigt (Vorzeichen der Spannungen passend gewählt). Protonenmasse: \(m_\text{p}=1{,}673\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}\). Rechnen Sie mit \(e=1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\) und \(m_\text{e}=9{,}109\cdot10^{-31}\,\mathrm{kg}\).

  1. Zeigen Sie mit der Beziehung \(\tan\alpha=\dfrac{U_\text{A}\,l}{2\,d\,U_\text{B}}\), dass die Auslenkung nicht von Masse und Ladung der Teilchen abhängt.
  2. Berechnen Sie die Eintrittsgeschwindigkeit der Protonen und die Zeit, die sie für Platten der Länge \(l=4{,}0\,\mathrm{cm}\) brauchen; vergleichen Sie mit Elektronen (\(v_0=1{,}9\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac ms}\)).
  3. Beurteilen Sie die Behauptung des Schülers und die Eignung einer Protonenröhre zur Darstellung schnell veränderlicher Spannungen.
Hinweis zu Aufgabe a)
Welche Größen kommen in der Formel vor?
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

In \(\tan\alpha=\dfrac{U_\text{A}\,l}{2\,d\,U_\text{B}}\) stehen nur Spannungen und Abmessungen der Röhre. Masse und Ladung haben sich herausgekürzt: Schwerere Teilchen sind zwar langsamer, aber auch träger — beide Effekte heben sich genau auf.

Hinweis zu Aufgabe b)
\(v_0=\sqrt{\dfrac{2eU_\text{B}}{m_\text{p}}}\), \(t=\dfrac{l}{v_0}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

\(v_0=\sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}602\cdot10^{-19}\,\mathrm C\cdot1000\,\mathrm V}{1{,}673\cdot10^{-27}\,\mathrm{kg}}}\approx4{,}4\cdot10^{5}\,\mathrm{\tfrac ms}\); \(t\approx9{,}1\cdot10^{-8}\,\mathrm s\). Elektronen: \(t\approx2{,}1\cdot10^{-9}\,\mathrm s\) — die Protonen brauchen rund 43-mal so lange.

Hinweis zu Aufgabe c)
Unterscheiden Sie zwischen der Größe der Auslenkung und der Zeit, in der das Feld wirken muss.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Die Behauptung ist falsch: Bei gleicher Beschleunigungsspannung ergibt dieselbe Ablenkspannung dieselbe Auslenkung. Ein echter Nachteil ist die Trägheit: Die Protonen verweilen viel länger zwischen den Platten. Ändert sich die Ablenkspannung in dieser Zeit merklich, wird das Schirmbild verfälscht. Für schnelle Signale sind Elektronen deshalb viel besser geeignet.