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Bewegung von Ladungsträgern

Quer eingeschossene Ladungen fliegen auf einer Parabel: Die Bewegung zerfällt in einen gleichförmigen und einen beschleunigten Anteil.

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Der waagerechte Wurf als Vorbild

Der waagerechte Wurf und der Flug durch ein Querfeld sind vom selben Bautyp: quer zur Flugrichtung eine konstante Kraft, in Flugrichtung gar keine. Genau das erlaubt es, die Bewegung in zwei getrennte Rechnungen zu zerlegen — wer den Wurf verstanden hat, muss nur noch die Kraft austauschen.

  • In Flugrichtung:Ohne Kraft bleibt \(v_0\) unverändert — gleiche Strecken in gleichen Zeiten.
  • Quer dazu:Die konstante Kraft erzeugt eine konstante Beschleunigung, die Strecke wächst mit \(t^{2}\).
  • Unabhängigkeit:Keine der beiden Bewegungen stört die andere; verbunden sind sie nur über die gemeinsame Zeit \(t\).
  • Neue Kraft:Statt \(m\,g\) wirkt \(F=e\,E\) mit \(E=\dfrac{U_A}{d}\); die Gewichtskraft des Elektrons ist dagegen vernachlässigbar.
  • Richtung:Das negative Elektron wird zur positiven Platte hin abgelenkt — entgegen der Feldrichtung.
  • Grenze:Anders als die Schwerkraft hört das Querfeld am Plattenende schlagartig auf.
Der waagerechte Wurf im Stroboskoplicht
Gleiche Zeitschritte: x wächst gleichmäßig, y immer schneller Δx Δx Δx 1 1 3 1 3 5 Fallstrecke seit dem Start 1 : 4 : 9 Zuwachs je Schritt 1 : 3 : 5 Waagerecht: immer derselbe Schritt Δx. Senkrecht: die Zahlen an der Falllinie sind die Zuwächse. Alle Kraftpfeile F = m·g sind gleich lang.
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Warum eine Parabel entsteht

Der entscheidende Schritt ist das Herausrechnen der Zeit. Solange \(t\) in beiden Gleichungen steht, beschreiben sie zwei getrennte Bewegungen; nach dem Einsetzen bleibt eine Gleichung übrig, die zu jeder waagerechten Strecke die zugehörige Ablenkung liefert — die Bahnkurve.

  • In Flugrichtung (x): keine Kraft → gleichförmig, \(x=v_0\,t\).
  • Quer dazu (y): konstante Feldkraft → beschleunigt, \(y=\tfrac12 a\,t^{2}\) mit \(a=\dfrac{eE}{m}\).
  • Eliminiert man die Zeit \(t=\dfrac{x}{v_0}\), folgt \(y=\dfrac{a}{2v_0^{2}}\,x^{2}\) — eine Parabel.
Warum aus zwei Bewegungen eine Parabel wird
x = v₀·t y = ½·a·t² x₁ 2 x₁ 3 x₁ y₁ 4 y₁ 9 y₁ v₀ bleibt vᵧ = a·t y =a · x²2 v₀²
Merke

Bewegung im Querfeld: Eine quer in ein homogenes Feld eintretende Ladung beschreibt eine Parabel. Die Bewegung ist die Überlagerung einer gleichförmigen (längs) und einer gleichmäßig beschleunigten (quer) Bewegung — wie der waagerechte Wurf.

Die Unabhängigkeit der beiden Bewegungen lässt sich schlecht behaupten und gut zeigen. Im folgenden Applet läuft dieselbe Uhr für drei Darstellungen gleichzeitig: oben allein die waagerechte Bewegung, links allein die Ablenkung quer dazu, in der Mitte beides zusammen. Der Schieber ist keine Ortsangabe, sondern die Zeit — genau die Größe, die beide Teilbewegungen verbindet.

Bewegungs-Zerleger

Der obere Punkt rückt gleichmäßig weiter, während der linke Punkt immer größere Sprünge macht.

nur waagerecht: x = v₀ · t nur quer: y = ½ · a · t² Beide Punkte gehorchen derselben Uhr — nur die Vorschrift ist verschieden.
Zeit t
0 %
Weg x
0 %
Ablenkung y
0 %
y : x
—

Startpunkt: Beide Teilbewegungen beginnen gleichzeitig bei null.

Die aufschlussreichste Stellung ist die Mitte. Nach der halben Flugzeit hat das Elektron zwar die halbe Strecke zurückgelegt, aber erst ein Viertel der Ablenkung — und genau deshalb sieht man am Ende eine Parabel und keine Gerade. Die letzte Kennzahl im Ablesefeld zeigt dasselbe von der anderen Seite: Das Verhältnis \(y:x\) ist nicht konstant, sondern wächst gleichmäßig mit \(x\).

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Die Ablenkung am Plattenende

Zwischen den Platten herrscht ein homogenes Feld; erst am Plattenende endet die Rechnung, die wir jetzt aufstellen. Die Skizze zeigt alle Größen, die dabei vorkommen — und einen Punkt, der erfahrungsgemäß Mühe macht: Das Feld \(\vec E\) zeigt von der positiven zur negativen Platte, die Kraft auf das negative Elektron zeigt genau entgegengesetzt.

Zwischen den Platten: Feld, Kraft und Ablenkung
Feld nach unten — Kraft auf das Elektron nach oben + − UA E v₀ d − F = e·E y l Die Kraft wirkt entgegen den Feldlinien — das Elektron ist negativ.

Der Weg zur Ablenkung \(y\) sind stets dieselben vier Schritte. Wichtig ist die Reihenfolge: Erst aus der Spannung die Feldstärke, daraus die Beschleunigung; die Flugzeit kommt dagegen allein aus der waagerechten Bewegung und weiß von der Ablenkung nichts.

  • Feldstärke:\(E=\dfrac{U_A}{d}\) aus Ablenkspannung und Plattenabstand.
  • Beschleunigung:\(a=\dfrac{e\,E}{m}=\dfrac{e\,U_A}{m\,d}\).
  • Flugzeit:\(t=\dfrac{l}{v_0}\) — allein aus der waagerechten Bewegung.
  • Ablenkung:\(y=\tfrac12 a\,t^{2}\) quer zur Flugrichtung.
Merke

Ablenkung am Plattenende: Es gilt \(y=\dfrac{a\,l^{2}}{2v_0^{2}}=\dfrac{e\,U_A\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\). Die Ablenkung wächst also proportional zur Ablenkspannung und quadratisch mit der Plattenlänge, sie sinkt dagegen mit größerem Plattenabstand und mit dem Quadrat der Eintrittsgeschwindigkeit.

Ablenkung berechnen

Ein Elektron tritt mit \(v_0=2{,}65\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\) waagerecht ein. Die Platten sind \(l=4{,}0\,\mathrm{cm}\) lang, haben den Abstand \(d=2{,}0\,\mathrm{cm}\) und liegen an \(U_A=200\,\mathrm V\).

Feldstärke\(E=\dfrac{U_A}{d}=\dfrac{200}{0{,}020}=1{,}0\cdot10^{4}\,\mathrm{\tfrac{V}{m}}\)
Beschleunigung\(a=\dfrac{e\,E}{m}=\dfrac{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{4}}{9{,}11\cdot10^{-31}}\approx1{,}76\cdot10^{15}\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\)
Flugzeit\(t=\dfrac{l}{v_0}=\dfrac{0{,}040}{2{,}65\cdot10^{7}}\approx1{,}51\cdot10^{-9}\,\mathrm s\)
Ablenkung\(y=\tfrac12 a\,t^{2}=\tfrac12\cdot1{,}76\cdot10^{15}\cdot(1{,}51\cdot10^{-9})^{2}\approx2{,}0\cdot10^{-3}\,\mathrm m=2{,}0\,\mathrm{mm}\)

Ein Zahlenwert allein sagt wenig; interessant wird es beim Vergleich. Das folgende Applet rechnet mit denselben vier Schritten wie oben, aber sofort für jede Einstellung — und es zeichnet die Röhre maßstabsgetreu. Damit wird eine Beobachtung sichtbar, die sich sonst leicht überliest: Zwischen den Platten passiert erstaunlich wenig.

Ablenkröhre

Achtung: Bei zu großer Ablenkung prallt das Elektron auf die Platte.

Maßstab 1 cm = 20 Punkte — waagerecht wie senkrecht gleich + − d = 2,0 cm l L = 20 cm Schirm −
Feldstärke E
10,0 kV/m
Beschl. a
1,76·10¹⁵
Flugzeit t
1,51 ns
Ablenkung y
2,0 mm
Winkel α
5,7°
Auf dem Schirm Y
2,2 cm
Aus 2,0 mm am Plattenende werden 2,2 cm auf dem Schirm — der Hebel beträgt Faktor 11.

Voreinstellung: Ablenkspannung 200 V, v₀ = 2,65·10⁷ m/s, l = 4,0 cm. Das ist genau das Rechenbeispiel von oben.

Zwei Dinge lohnen den gezielten Versuch. Erstens: Verdoppelt man die Ablenkspannung, verdoppelt sich \(y\) — halbiert man dagegen \(v_0\), vervierfacht sich die Ablenkung. Zweitens: Zwischen den Platten bleibt die Bahn selbst bei kräftiger Spannung optisch fast gerade; sichtbar wird die Ablenkung erst nach der langen Strecke bis zum Schirm. Genau davon lebt jede Bildröhre.

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Der Leuchtfleck auf dem Schirm

Hinter den Platten wirkt keine Kraft mehr. Das Elektron behält die Richtung, die es am Plattenende hatte, und fliegt geradlinig weiter — mit \(\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}=\dfrac{a\,l}{v_0^{2}}\). Verlängert man diese Gerade rückwärts, so trifft sie die Achse genau in der Plattenmitte. Damit lässt sich der gesamte Flug so behandeln, als wäre das Elektron dort einmal geknickt worden.

Die Ablenkröhre mit allen Maßen
Im Feld eine Parabel — hinter den Platten eine Gerade d v₀ + − Plattenmitte − α y Schirm Y l L Die Rückwärtsverlängerung der Geraden trifft die Achse genau in der Plattenmitte.
Merke

Ablenkung auf dem Schirm: Es gilt \(Y=y+L\,\tan\alpha=\left(\dfrac{l}{2}+L\right)\tan\alpha\). Weil der Schirmabstand \(L\) meist ein Vielfaches der Plattenlänge beträgt, wird aus einer Ablenkung von wenigen Millimetern ein deutlich sichtbarer Ausschlag.

Vom Plattenende bis zum Schirm

Fortsetzung des Beispiels: \(a=1{,}76\cdot10^{15}\,\mathrm{\tfrac{m}{s^2}}\), \(t=1{,}51\cdot10^{-9}\,\mathrm s\), \(v_0=2{,}65\cdot10^{7}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\), \(l=4{,}0\,\mathrm{cm}\), Schirmabstand \(L=20\,\mathrm{cm}\).

Quergeschwindigkeit\(v_y=a\,t=1{,}76\cdot10^{15}\cdot1{,}51\cdot10^{-9}\approx2{,}66\cdot10^{6}\,\mathrm{\tfrac{m}{s}}\)
Ablenkwinkel\(\tan\alpha=\dfrac{v_y}{v_0}=\dfrac{2{,}66\cdot10^{6}}{2{,}65\cdot10^{7}}\approx0{,}100\;\Rightarrow\;\alpha\approx5{,}7^\circ\)
Schirmablenkung\(Y=\left(\dfrac{l}{2}+L\right)\tan\alpha=(0{,}020+0{,}200)\cdot0{,}100\)
Ergebnis\(Y\approx2{,}2\cdot10^{-2}\,\mathrm m=2{,}2\,\mathrm{cm}\) — das Elffache der Ablenkung am Plattenende.

Damit ist der Bogen geschlossen: Aus einer Spannung von 200 V wird über Feldstärke, Beschleunigung und Flugzeit eine Ablenkung von 2,0 mm — und daraus, allein durch die Länge der feldfreien Strecke, ein Leuchtfleck 2,2 cm über der Mitte. Weil \(Y\) proportional zu \(U_A\) ist, lässt sich der Fleck über die Spannung stufenlos und trägheitsfrei steuern.

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Allgemeine Hinweise

Kraft zeigt gegen die Feldlinien

Das Feld \(\vec E\) zeigt von der positiven zur negativen Platte, die Kraft auf das negative Elektron genau entgegengesetzt. Abgelenkt wird es also stets zur Plusplatte hin.

Flugzeit kommt aus x

Die Reihenfolge trägt die ganze Rechnung: \(E=\dfrac{U_A}{d}\), dann \(a=\dfrac{eE}{m}\), dann \(t=\dfrac{l}{v_0}\) allein aus der waagerechten Bewegung, erst zuletzt \(y=\tfrac12 a t^2\).

v₀ geht quadratisch ein

In \(y=\dfrac{e\,U_A\,l^{2}}{2\,m\,d\,v_0^{2}}\) wirkt \(U_A\) nur linear, \(v_0\) und \(l\) dagegen quadratisch: Halbes \(v_0\) vervierfacht die Ablenkung.

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