Spektrallinien und Niveaus

Erklärung — vom Schema zur Linie

Das Energieniveauschema

Für Wasserstoff gilt eine einfache Formel: Das \(n\)-te Niveau liegt bei \(E_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\). Daraus folgt die typische Gestalt des Schemas:

Negative Werte:Alle Niveaus sind negativ — das Elektron ist gebunden. Der Nullpunkt \(E=0\) bedeutet: gerade frei (Ionisation).
Unten am weitesten:Der Grundzustand \(n=1\) liegt mit \(-13{,}6\,\text{eV}\) am tiefsten. Nach oben rücken die Niveaus immer enger zusammen.
Verdichtung zur Grenze:Bei großem \(n\) liegen die Stufen dicht unter \(E=0\) — deshalb häufen sich die Linien einer Serie zu ihrer „Seriengrenze“.

Emission — jede Linie ist ein Sprung

Eine Spektrallinie entsteht, wenn ein Elektron von einem oberen Niveau auf ein tieferes fällt. Die freigesetzte Energie steckt vollständig im Photon:

Energiedifferenz:\(\Delta E=E_\text{hoch}-E_\text{tief}=13{,}6\,\text{eV}\cdot\left(\tfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\tfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\right)\).
Wellenlänge:\(\lambda=\tfrac{hc}{\Delta E}=\tfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta E}\) — eine feste Energie ergibt eine feste Farbe.
Umkehrung Absorption:Dasselbe Schema gilt rückwärts — ein Atom schluckt genau die Photonen, deren Energie zu einem Sprung nach oben passt.

Serien — sortiert nach dem Zielniveau

Alle Linien mit demselben unteren Niveau bilden eine Serie. Das Zielniveau bestimmt den Spektralbereich:

Lyman-Serie (\(\to n=1\)):Große Sprünge, großes \(\Delta E\) — alle Linien im Ultraviolett.
Balmer-Serie (\(\to n=2\)):Die einzige Serie im sichtbaren Bereich — rot (\(656\,\text{nm}\)), blaugrün (\(486\,\text{nm}\)), violett (\(434\,\text{nm}\)).
Paschen-Serie (\(\to n=3\)) und höher:Kleine Sprünge, kleines \(\Delta E\) — alle Linien im Infrarot.

Ein Pfeil zeigt den Übergang zwischen einem oberen und einem unteren Niveau, rechts erscheinen Energiedifferenz, Wellenlänge und Serie. Der Farbstreifen unten rechts zeigt, in welchem Bereich die Linie liegt — nur die Balmer-Serie (Ziel \(n=2\)) fällt ins Sichtbare.

aktive NiveausÜbergang (Emission)UV / IR außerhalb

Oberes Niveau n_hoch (Start)

n_hoch = 3

Unteres Niveau n_tief (Ziel)

n_tief = 2

Übergang 3→2: ΔE=1,89 eV, λ=656 nm (sichtbar). Gehört zur Balmer-Serie – der einzigen im sichtbaren Bereich.

Übergang	–
Energiedifferenz \(\Delta E\)	–
Wellenlänge \(\lambda\)	–
Serie	–
Bereich	–

Niveaus, Sprung und Farbe

\(E_n=-\dfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\qquad \Delta E=E_\text{hoch}-E_\text{tief}\qquad \lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}=\dfrac{1240\,\text{eV⋅nm}}{\Delta E}\)

\(n=1,2,3,\dots\) ist die Hauptquantenzahl, \(E_n\) das \(n\)-te Energieniveau (negativ, weil gebunden). \(\Delta E\) ist die Energie des ausgesandten Photons, \(\lambda\) seine Wellenlänge. Zusammengefasst: \(\Delta E=13{,}6\,\text{eV}\cdot\big(\tfrac{1}{n_\text{tief}^2}-\tfrac{1}{n_\text{hoch}^2}\big)\).

So liest du eine Linie aus dem Schema

Ein Elektron springt von \(n=3\) auf \(n=2\). Welche Wellenlänge hat die Linie, und welche Farbe erwartest du?

Schritt 1 — komplett vorgemachtNiveaus: \(E_3=-\tfrac{13{,}6}{9}=-1{,}51\,\text{eV}\) und \(E_2=-\tfrac{13{,}6}{4}=-3{,}40\,\text{eV}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeBilde \(\Delta E=E_3-E_2\) und setze in \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta E}\) ein.

Schritt 3 — jetzt du\(\Delta E=-1{,}51-(-3{,}40)=1{,}89\,\text{eV}\), also \(\lambda=\tfrac{1240}{1{,}89}\approx 656\,\text{nm}\) — rotes Licht (Hα, Balmer).

So ordnest du eine Linie ihrer Serie zu

Eine Wasserstofflinie hat \(\lambda=486\,\text{nm}\) (blaugrün). Zu welchem Übergang gehört sie?

Schritt 1 — komplett vorgemachtSichtbar \(\Rightarrow\) Balmer-Serie \(\Rightarrow\) Zielniveau \(n_\text{tief}=2\). Energie: \(\Delta E=\tfrac{1240}{486}\approx 2{,}55\,\text{eV}\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeSuche das obere Niveau: welches \(n_\text{hoch}\) liefert \(\Delta E=2{,}55\,\text{eV}\) nach \(n=2\)?

Schritt 3 — jetzt duProbiere \(n_\text{hoch}=4\): \(13{,}6\cdot(\tfrac14-\tfrac{1}{16})=2{,}55\,\text{eV}\). Passt → der Übergang ist \(4\to 2\).

Allgemeine Hinweise

Serie am Zielniveau ablesen

Die Serie erkennst du am unteren Niveau, nicht am oberen. Alles nach \(n=2\) ist Balmer — egal ob der Sprung bei \(n=3\), \(4\) oder \(7\) startet.

Großes ΔE = kleines λ

Energie und Wellenlänge sind invers. Rechne im Zweifel \(\lambda=\tfrac{1240}{\Delta E}\) nach, statt zu raten — der größte Sprung ergibt die kürzeste Welle.

Vorzeichen beachten

Die Niveaus sind negativ. \(\Delta E=E_\text{hoch}-E_\text{tief}\) wird trotzdem positiv, weil \(E_\text{hoch}\) (kleinerer Betrag) größer ist als \(E_\text{tief}\).

Vertiefung

In den folgenden Simulationen kannst du das Wasserstoffatom „anregen“ und live sehen, wie beim Rücksprung genau die Spektrallinien entstehen, die im Termschema stehen. Vergleiche die Farben mit deiner Faktentabelle oben.