Zum NachschlagenZurück zur ErklärungWie weit trägt das Modell? — Stärken und Grenzen — Erklärung, Video nachlesen.
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Übungsaufgaben
1Stärke oder Grenze?AFB I
Ordnen Sie jede Aussage über das Kastenmodell dem passenden Korb zu.
Ziehe jede Karte in den passenden Korb — oder wähle sie mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1Stärke des Modells
2Grenze des Modells
Die Trennlinie verläuft nicht zwischen „richtig“ und „falsch“, sondern zwischen Prinzip und Zahlenwert. Alles, was den Mechanismus betrifft — Einsperren erzwingt Quantisierung, enger Topf hebt die Stufen —, trifft das Modell zuverlässig. Alles, was das konkrete Wasserstoffatom betrifft, verfehlt es. Wer diese beiden Ebenen vermischt, hält den Topf entweder für ein Atommodell oder für wertlos. Beides wäre falsch.
2Modellkritik in WortenAFB I
Vervollständigen Sie den Text zur Reichweite des Kastenmodells.
Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt). Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.
Der Potenzialtopf erklärt das der Quantisierung: Wer eine Materiewelle einsperrt, erzwingt diskrete Energien. Bei langgestreckten liefert er sogar brauchbare Zahlenwerte. Beim Wasserstoffatom versagt er dagegen, denn der Topf die Stufen nach oben, während das Atom sie . Auch eine feste kennt das Modell nicht, weil seine Wände unendlich hoch sind. Ein Modell beurteilt man deshalb nie pauschal, sondern immer nach seinem .
Der letzte Satz ist der eigentliche Lernstoff dieses Kapitels. „Stimmt das Modell?“ ist keine sinnvolle Frage — sinnvoll ist nur: „Wofür stimmt es?“ Der Topf beantwortet die Prinzipfrage vollständig richtig, die Spektrumsfrage vollständig falsch, und die Farbstofffrage sogar quantitativ brauchbar. Dieselbe Denkweise brauchst du später bei jedem Modell, vom Massenpunkt bis zum idealen Gas.
3Aussagen zu den Grenzen prüfenAFB I
Entscheiden Sie bei jeder Aussage, ob sie stimmt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Die erste und die vierte Aussage klingen ähnlich harmlos, treffen aber zwei verschiedene Schwächen. Die eine betrifft das Muster der Stufen, die andere ihr Ende. Ein Topf mit unendlich hohen Wänden hat schlicht kein Ende: Man kann n beliebig groß machen, ohne dass das Elektron je frei wird. Genau deshalb kann das Modell weder eine Seriengrenze noch die 13,6 eV des Wasserstoffatoms hervorbringen.
4Topf, Atom oder beide?AFB II
Ordnen Sie jede Eigenschaft dem Modell zu, für das sie gilt.
Ziehe jeden Begriff in den passenden Bereich — oder wähle ihn mit Enter aus und drücke dann die Ziffer des Bereichs.
1 nur der Potenzialtopf
2 nur das Wasserstoffatom
3 beide Modelle
Der mittlere Bereich ist der wichtigste: Beide Modelle stimmen in der Grundaussage überein, dass ein gebundenes Elektron nur bestimmte Energien haben darf, und beide nummerieren die Zustände mit einer Quantenzahl n, die bei 1 beginnt. Der Streit beginnt erst beim Muster. Wer das Ergebnis dieser Aufgabe in einem Satz zusammenfasst, hat den Kern des Kapitels: Gleiche Idee, gegensätzliche Formel.
5Für welche Frage taugt der Topf?AFB II
Entscheiden Sie für jede Frage, ob das Kastenmodell das passende Werkzeug ist.
Setze in jeder Zeile genau ein Kreuz in die zutreffende Spalte und prüfe dann die ganze Tabelle.
| Frage an das Modell | Potenzialtopf geeignet | Potenzialtopf ungeeignet |
|---|---|---|
| Erklären, warum ein eingesperrtes Elektron nur bestimmte Energien besitzt | ||
| Die Absorptionswellenlänge eines langen Kettenfarbstoffs abschätzen | ||
| Zeigen, dass ein engerer Topf höhere Energiestufen bedeutet | ||
| Die Wellenlängen der Balmer-Serie berechnen | ||
| Die Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms bestimmen | ||
| Die Form der Orbitale des Wasserstoffatoms beschreiben |
Die Tabelle sortiert sich nach einem einzigen Kriterium: Steht im betrachteten System ein Coulomb-Zentrum im Mittelpunkt oder nicht? Bei der Kette bewegen sich die Elektronen näherungsweise frei zwischen zwei Enden — das ist genau ein Topf. Beim Wasserstoffatom zieht ein Kern mit −1/r, und zusätzlich ist der Raum dreidimensional. Beide Abweichungen zusammen erklären, warum die letzten drei Zeilen zwangsläufig scheitern müssen.
6Vier Farbstoffe nach Farbe ordnenAFB II
Ordnen Sie die vier Kettenmoleküle nach zunehmender absorbierter Wellenlänge (oben die kürzeste Welle). Es gilt \(\Delta E=3E_1\) mit \(E_1\sim 1/L^2\).
Ziehe die Zeilen mit der Maus oder verschiebe sie mit den Pfeil-Buttons, bis die Reihenfolge stimmt.
1Kette der Länge L = 0,50 nm
2Kette der Länge L = 0,60 nm
3Kette der Länge L = 0,70 nm
4Kette der Länge L = 0,85 nm
Weil E1 mit 1/L² fällt, sinkt auch ΔE = 3E1 mit wachsender Kettenlänge — und weil λ = 1240/ΔE gilt, wächst die verschluckte Wellenlänge mit L². Die Werte lauten 275 nm, 396 nm, 539 nm und 794 nm. Bemerkenswert ist der Sprung: Eine um nur 70 % längere Kette verschiebt die Absorption vom UV bis ins nahe Infrarot. Genau deshalb lässt sich die Farbe solcher Moleküle im Labor gezielt einstellen, indem man die Kette um einzelne Doppelbindungen verlängert.
7Was fehlt dem Modell für das Atom?AFB II
Wählen Sie alle Punkte aus, die dem Kastenmodell fehlen, damit es ein Atom beschreiben könnte.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Die drei falschen Zeilen nennen genau das, was der Topf bereits richtig mitbringt: Materiewelle, Randbedingung und daraus folgende Quantisierung. Diese Bausteine übernimmt auch die Schrödingergleichung unverändert. Ausgetauscht wird nur der Rahmen: statt zweier Wände ein weiches Coulomb-Feld, statt einer Linie der dreidimensionale Raum. Aus diesem Austausch entstehen dann von selbst das −1/n²-Muster, die Ionisierungsgrenze und die Orbitalformen.
8Längere Kette, andere FarbeAFB II
Ein Kettenfarbstoff wird als Topf der Länge \(L=0{,}80\,\mathrm{nm}\) modelliert; der wichtigste Übergang ist \(n=1\to 2\). Rechnen Sie mit \(E_1\approx\tfrac{0{,}376\,\text{eV}}{(L/\text{nm})^2}\) und \(\lambda=\tfrac{1240\,\text{eV}\cdot\text{nm}}{\Delta E}\).
Rechnen Sie Schritt für Schritt bis zum Vergleich mit der kürzeren Kette aus dem Beispiel (0,70 nm, 539 nm).Rechne die Kette Schritt für Schritt: Erst wenn ein Schritt stimmt, wird der nächste freigeschaltet. Enter prüft.
- Wie groß ist die Grundenergie E1? (0,376 eV ÷ 0,80²)eV
- Wie groß ist der Sprung 1 nach 2? (ΔE = 3 · E1)eV
- Welche Wellenlänge wird verschluckt? (1240 ÷ ΔE)nm
- Um wie viele Nanometer liegt das über den 539 nm der 0,70-nm-Kette?nm
Der Faktor 3 im zweiten Schritt kommt aus 2² − 1² und wird gern vergessen — mit E1 allein käme man auf 2100 nm und damit weit ins Infrarot. Der letzte Schritt zeigt die eigentliche Aussage: Eine Verlängerung um nur 0,10 nm verschiebt die Absorption um 165 nm, also quer durch das ganze sichtbare Spektrum. Weil L quadratisch eingeht, reagiert die Farbe extrem empfindlich auf die Kettenlänge. Genau diese Empfindlichkeit macht den Topf hier zu einem nützlichen Werkzeug — und genau sie fehlt beim Atom, dessen Größe nicht frei wählbar ist.
9Wie gut trifft das Modell?AFB III
Schätzen Sie ein, wie gut der Potenzialtopf die jeweilige Aufgabe erfüllt.
Wähle in jeder Zeile eine Stufe von 1 bis 5 und prüfe dann alle Einschätzungen gemeinsam.
1 = Modell versagt völlig5 = Modell trifft es quantitativ
Erklären, warum ein eingesperrtes Elektron nur bestimmte Energien hat
Vorhersagen, dass eine längere Kette röter absorbiert
Die Absorptionswellenlänge eines Kettenfarbstoffs auf wenige Zehner-Nanometer angeben
Die Wellenlängen der Balmer-Serie berechnen
Die Ionisierungsenergie des Wasserstoffatoms angeben
Die Skala macht sichtbar, dass „gut“ und „schlecht“ hier keine Eigenschaften des Modells sind, sondern Eigenschaften der Frage. Ganz oben steht der Prinzipbeleg, den der Topf vollständig leistet — er ist geradezu das Musterbeispiel dafür. In der Mitte stehen die Farbstoffe, wo er belastbare Zahlen liefert, aber eben nur näherungsweise. Ganz unten steht das Wasserstoffatom, wo schon das Vorzeichen der Formel nicht mehr passt. Ein Teilerfolg ist eben kein Freibrief für alle Systeme.
10Ist der Topf hier das richtige Werkzeug?AFB III
Ein langgestrecktes Farbstoffmolekül mit konjugierter Doppelbindungskette soll untersucht werden. Gefragt ist die Wellenlänge, die es verschluckt.
Entscheiden Sie mithilfe des Entscheidungsbaums, wie weit das Kastenmodell trägt.Beantworte die Fragen des Entscheidungsbaums mit Ja oder Nein und schau, wo du herauskommst.
Die Reihenfolge der Fragen ist kein Zufall: Erst wird geklärt, ob überhaupt eine Zahl gebraucht wird, dann, ob die Geometrie des Systems zum Topf passt, und erst zuletzt, wie genau die Antwort sein soll. Die zweite Frage ist die entscheidende Weiche — sie trennt Kettenmoleküle von Atomen. Wer sie überspringt und gleich rechnet, wendet die Formel auch dort an, wo sie prinzipiell nicht gelten kann, und erhält scheinbar saubere Zahlen ohne jede physikalische Bedeutung.