Farbstoffe als Elektron im Kasten
AFB IIIn langgestreckten Cyanin-Farbstoffen bewegen sich Elektronen entlang einer Kette abwechselnder Doppelbindungen nahezu frei. Man modelliert ein solches Elektron als Teilchen in einem eindimensionalen Potenzialtopf der Länge \(L\); die Farbe der Lösung entsteht durch den Übergang \(1\to 2\). Material M1 zeigt drei Farbstoffe derselben Reihe. Rechnen Sie mit \(E_n \approx n^2\cdot\dfrac{0{,}376\,\mathrm{eV}}{(L/\mathrm{nm})^2}\) und \(h\,c = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
| Farbstoff | Kettenlänge \(L\) in nm | gemessene Absorptionswellenlänge in nm | beobachtete Farbe der Lösung |
|---|---|---|---|
| A | 0,64 | 462 | gelb |
| B | 0,70 | 548 | purpurrot |
| C | 0,76 | 622 | blaugrün |
- Beschreiben Sie, welche Eigenschaft dieser Moleküle es rechtfertigt, sie als eindimensionalen Potenzialtopf zu behandeln.
- Berechnen Sie für Farbstoff B die im Modell erwartete Absorptionswellenlänge.
- Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit dem Messwert aus M1 und erklären Sie, warum die Lösung von Farbstoff B purpurrot erscheint, obwohl sie Licht dieser Wellenlänge verschluckt.
- Begründen Sie mit dem Modell, warum ein Farbstoff mit längerer Kette bei größerer Wellenlänge absorbiert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Entscheidend sind die delokalisierten Elektronen im konjugierten Doppelbindungssystem: Sie gehören nicht mehr zu einem einzelnen Atom, sondern können sich entlang der gesamten Kette nahezu frei bewegen. Innerhalb der Kette wirkt also praktisch keine rücktreibende Kraft, an den Enden endet der zugängliche Bereich abrupt.
Weil das Molekül außerdem langgestreckt ist — in einer Richtung viel ausgedehnter als in den beiden anderen —, genügt eine eindimensionale Beschreibung. Genau das sind die Annahmen des Potenzialtopfs: kräftefreies Inneres, steile Wände, eine Raumrichtung.
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Grundzustand: \(E_1 = \dfrac{0{,}376\,\mathrm{eV}}{(0{,}70)^2} = \dfrac{0{,}376}{0{,}49}\,\mathrm{eV} \approx 0{,}767\,\mathrm{eV}\).
Übergang: \(\Delta E_{1\to 2} = 3\,E_1 \approx 3\cdot 0{,}767\,\mathrm{eV} \approx 2{,}30\,\mathrm{eV}\).
Wellenlänge: \(\lambda = \dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{2{,}30\,\mathrm{eV}} \approx 539\,\mathrm{nm}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Vergleich: Der Messwert beträgt \(548\,\mathrm{nm}\), das Modell liefert \(539\,\mathrm{nm}\) — eine Abweichung von nur etwa \(9\,\mathrm{nm}\) beziehungsweise rund \(1{,}6\,\%\). Für ein Modell, das ein ganzes Molekül auf einen leeren Kasten reduziert, ist das eine erstaunlich gute Vorhersage; sie liegt sogar noch im richtigen Farbbereich.
Farbe: Absorbiert wird grünes Licht um \(548\,\mathrm{nm}\). Genau dieser Anteil fehlt anschließend im durchgelassenen Licht. Das Auge sieht die Summe der übrig gebliebenen Anteile, also die Komplementärfarbe zu Grün — Purpurrot. Die Lösung erscheint also nicht in der Farbe, die sie schluckt, sondern in der Farbe, die übrig bleibt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Im Modell gilt \(E_n = \dfrac{n^2h^2}{8m_eL^2}\) und damit \(\Delta E_{1\to 2} = \dfrac{3h^2}{8m_eL^2} \sim \dfrac{1}{L^2}\).
Eine längere Kette bedeutet ein größeres \(L\), also einen kleineren Abstand der beiden untersten Niveaus. Wegen \(\lambda = \frac{hc}{\Delta E}\) gehört zu kleinerem \(\Delta E\) eine größere Wellenlänge — die Absorption verschiebt sich Richtung Rot.
Material M1 bestätigt das: Von A (\(0{,}64\,\mathrm{nm}\), \(462\,\mathrm{nm}\)) über B (\(0{,}70\,\mathrm{nm}\), \(548\,\mathrm{nm}\)) zu C (\(0{,}76\,\mathrm{nm}\), \(622\,\mathrm{nm}\)) wächst mit der Kettenlänge auch die absorbierte Wellenlänge.
Der Topf am Wasserstoffatom
AFB IIIMan kann versuchen, auch das Wasserstoffatom als Potenzialtopf zu beschreiben. Wählt man die Topfbreite so, dass sie dem Durchmesser des Atoms im Grundzustand entspricht (\(L = 0{,}106\,\mathrm{nm}\)), erhält man die Werte in Material M1. Material M2 zeigt zwei Aussagen aus der anschließenden Diskussion. Rechnen Sie mit \(h\,c = 1240\,\mathrm{eV\cdot nm}\).
| Potenzialtopf mit \(L = 0{,}106\,\mathrm{nm}\) | Wasserstoffatom (Messung) | |
|---|---|---|
| \(E_1\) | \(+33{,}5\,\mathrm{eV}\) | \(-13{,}60\,\mathrm{eV}\) |
| \(E_2\) | \(+134\,\mathrm{eV}\) | \(-3{,}40\,\mathrm{eV}\) |
| \(\Delta E_{1\to 2}\) | ? | \(10{,}20\,\mathrm{eV}\) |
| \(\lambda_{1\to 2}\) | ? | \(122\,\mathrm{nm}\) |
| Verhalten für große \(n\) | Stufen laufen auseinander | Stufen laufen gegen \(E=0\) zusammen |
| Ionisierungsenergie | keine (Wände unendlich hoch) | \(13{,}60\,\mathrm{eV}\) |
- Berechnen Sie die beiden in M1 fehlenden Werte für das Topfmodell.
- Vergleichen Sie Topfmodell und Messung anhand von M1 und nennen Sie zwei Eigenschaften des realen Atoms, die das Modell grundsätzlich nicht wiedergeben kann.
- Beurteilen Sie die beiden Aussagen in Material M2.
- Entwickeln Sie aus Ihren bisherigen Ergebnissen Anforderungen an ein besseres Atommodell und begründen Sie jede Anforderung mit einer Beobachtung, an der der Potenzialtopf scheitert.
Hinweis zu Aufgabe a)
Hinweis zu Aufgabe b)
Hinweis zu Aufgabe c)
Hinweis zu Aufgabe d)
Erwartungshorizont zu Aufgabe a)
Übergangsenergie: \(\Delta E_{1\to 2} = E_2 - E_1 = 134\,\mathrm{eV} - 33{,}5\,\mathrm{eV} \approx 100\,\mathrm{eV}\) (genauer \(3\cdot 33{,}5\,\mathrm{eV} = 100{,}5\,\mathrm{eV}\)).
Wellenlänge: \(\lambda = \dfrac{1240\,\mathrm{eV\cdot nm}}{100{,}5\,\mathrm{eV}} \approx 12{,}3\,\mathrm{nm}\).
Erwartungshorizont zu Aufgabe b)
Gemeinsamkeit: Beide Modelle liefern diskrete Energieniveaus — das ist die richtige Grundaussage und der eigentliche Erfolg des Topfmodells.
Unterschiede: Zahlenmäßig liegt der Topf um rund den Faktor 10 daneben: \(100{,}5\,\mathrm{eV}\) statt \(10{,}20\,\mathrm{eV}\), \(12{,}3\,\mathrm{nm}\) statt \(122\,\mathrm{nm}\). Auch das Vorzeichen stimmt nicht: Die Topfenergien sind positiv, die Atomniveaus negativ.
Zwei Eigenschaften, die das Modell grundsätzlich nicht wiedergeben kann:
1. Die Ionisierungsenergie. Beim Wasserstoffatom ist bei \(13{,}60\,\mathrm{eV}\) Schluss, darüber ist das Elektron frei. Der Topf hat unendlich hohe Wände; seine Energien wachsen unbegrenzt mit \(n^2\), eine Ionisierungsgrenze gibt es nicht.
2. Das Zusammenrücken der Niveaus. Im Atom gilt \(E_n \sim -\frac{1}{n^2}\), die Stufen laufen nach oben zusammen und die Linien einer Serie häufen sich an der Seriengrenze. Im Topf gilt \(E_n \sim +n^2\), die Stufen laufen auseinander. Der Trend ist also genau entgegengesetzt.
Erwartungshorizont zu Aufgabe c)
Lena greift zu kurz. Ihr Befund stimmt: Für Wasserstoff sind die Vorhersagen unbrauchbar. Ihre Schlussfolgerung übersieht aber, dass Modelle zweckgebunden sind. Der Potenzialtopf erklärt das entscheidende Prinzip — das Einsperren einer Materiewelle erzwingt diskrete Energien — und liefert für kettenartige Moleküle sogar Zahlen, die auf wenige Prozent stimmen (Aufgabe 1). Ein Modell ist nicht „falsch“, sondern hat einen Gültigkeitsbereich.
Tarek verharmlost. Das Wasserstoffatom ist keine Ausnahme, sondern der Regelfall für Atome: Jedes Atom hat ein Coulomb-Potenzial, eine endliche Ionisierungsenergie und zusammenlaufende Niveaus. Das Scheitern des Topfs ist damit systematisch und lässt sich nicht wegdefinieren. Gerade dieses Scheitern ist wertvoll, weil es zeigt, was ein besseres Modell mitbringen muss.
Fazit: Beide Aussagen sind zu pauschal. Angemessen ist: Der Topf ist ein gutes Modell für das Prinzip der Quantisierung und für langgestreckte Molekülketten, aber das falsche Werkzeug für das Atom.
Erwartungshorizont zu Aufgabe d)
Anforderung 1 — ein weiches Coulomb-Potenzial statt steiler Wände. Beleg: Das Atom besitzt eine endliche Ionisierungsenergie von \(13{,}60\,\mathrm{eV}\); der Topf mit unendlich hohen Wänden kennt keine Grenze, ab der das Elektron frei wird. Nur ein nach außen abfallendes \(-\frac{1}{r}\)-Potenzial liefert eine solche Grenze.
Anforderung 2 — Niveaus, die nach oben zusammenrücken. Beleg: Die Balmer-Linien häufen sich zur Seriengrenze hin; im Topf müssten sie stattdessen immer weiter auseinanderlaufen. Ein besseres Modell muss also \(E_n \sim -\frac{1}{n^2}\) reproduzieren.
Anforderung 3 — eine dreidimensionale Beschreibung. Beleg: Ein Atom ist keine Linie, sondern kugelsymmetrisch. Erst in drei Dimensionen ergeben sich räumliche Aufenthaltsverteilungen und die Vielfalt der Zustände zu einem gegebenen \(n\); das eindimensionale Modell kennt zu jeder Quantenzahl nur einen einzigen Zustand.
Alle drei Anforderungen erfüllt erst die Beschreibung des Elektrons durch die Schrödingergleichung im Coulomb-Feld des Kerns.