Orbitale des Wasserstoffatoms

Erklärung — vom Bahnmodell zur Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Vom Bahnmodell zur Wahrscheinlichkeitswolke

Bohr ließ das Elektron auf festen Kreisbahnen laufen. Das erklärt die Energieniveaus, widerspricht aber der Quantenphysik:

Kein Ort vor der Messung:Ein Elektron im Atom hat keine Bahn. Angeben lässt sich nur, mit welcher Wahrscheinlichkeit man es bei einer Messung in einem bestimmten Raumbereich findet.
Die Wellenfunktion:Zu jedem Zustand gehört eine Funktion \(\psi\). Ihr Betragsquadrat \(|\psi|^2\) ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte.
Was ein Orbital ist:Das Raumgebiet, in dem sich das Elektron mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit — meist \(90\,\%\) — aufhält. Die gezeichnete „Wolke“ ist genau diese Hülle, keine Bahn.

Die Orbitale bis n = 2

Für die beiden untersten Niveaus des Wasserstoffatoms gibt es insgesamt vier Orbitale:

1s:Kugelsymmetrisch. Der wahrscheinlichste Abstand ist \(a_0=53\,\text{pm}\) — genau der Radius, den Bohr für seine erste Bahn berechnet hatte.
2s:Ebenfalls kugelsymmetrisch, aber größer. Dazwischen liegt eine Knotenkugel bei \(106\,\text{pm}\): Dort ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit exakt null.
2p:Hantelförmig, mit einer Knotenebene durch den Kern. Es gibt drei davon (\(p_x, p_y, p_z\)), die senkrecht aufeinander stehen.

Die Quantenzahlen

Welche Orbitale es gibt, legen drei ganze Zahlen fest — sie ersetzen die Bahnradien des alten Modells:

Hauptquantenzahl \(n\):\(n=1,2,3,\dots\) — bestimmt beim Wasserstoff allein die Energie \(E_n=-\tfrac{13{,}6\,\text{eV}}{n^2}\) und grob die Größe.
Nebenquantenzahl \(l\):\(l=0,1,\dots,n-1\) — bestimmt die Form. \(l=0\) heißt s (Kugel), \(l=1\) heißt p (Hantel).
Magnetquantenzahl \(m\):\(m=-l,\dots,0,\dots,+l\) — bestimmt die Orientierung im Raum. Für \(l=1\) sind das drei Möglichkeiten, daher drei p-Orbitale.

Links siehst du eine Punktwolke — jeder Punkt steht für eine mögliche Ortsmessung des Elektrons. Rechts unten läuft die zugehörige radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit mit: Sie sagt, in welchem Abstand vom Kern das Elektron am häufigsten angetroffen wird.

1s2s2p

Orbital

Das dichteste Gebiet liegt bei 53 pm — genau dort, wo Bohr seine erste Bahn annahm. Der Unterschied: Hier ist es der wahrscheinlichste Abstand, keine feste Bahn.

Quantenzahlen \(n,\ l\)	–
Form	–
Wahrscheinlichster Abstand	–
Knoten	–
Orientierungen	–

Orbitale und Quantenzahlen

\(|\psi|^2=\text{Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte}\qquad n=1,2,3,\dots\qquad l=0,\dots,n-1\qquad m=-l,\dots,+l\)

\(\psi\) ist die Wellenfunktion des Zustands; \(|\psi|^2\,\Delta V\) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Elektron im Volumen \(\Delta V\) gefunden wird. Zu jedem Paar \((n,l)\) gehören \(2l+1\) Orientierungen, zu jedem \(n\) insgesamt \(n^2\) Orbitale. Der Bohrsche Radius beträgt \(a_0=53\,\text{pm}\).

So zählst du die Orbitale einer Schale

Wie viele Orbitale gehören zu \(n=2\)?

Schritt 1 — komplett vorgemachtErlaubte Formen: \(l=0\) und \(l=1\), denn \(l\) läuft von \(0\) bis \(n-1=1\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeZähle für jedes \(l\) die Orientierungen \(2l+1\) und addiere.

Schritt 3 — jetzt du\(l=0\) liefert 1 Orbital (2s), \(l=1\) liefert 3 Orbitale (2p). Zusammen \(4=2^2\) — allgemein sind es \(n^2\).

So liest du eine Radialverteilung

Warum ist die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit beim 1s-Orbital am Kern null, obwohl \(|\psi|^2\) dort am größten ist?

Schritt 1 — komplett vorgemachtZwei verschiedene Größen: \(|\psi|^2\) ist die Dichte pro Volumen, die Radialverteilung fragt nach der Wahrscheinlichkeit in einer Kugelschale beim Abstand \(r\).

Schritt 2 — nur noch die IdeeÜberlege, wie groß das Volumen einer dünnen Kugelschale mit Radius \(r\) ist.

Schritt 3 — jetzt duDie Schale hat das Volumen \(4\pi r^2\,\Delta r\) und schrumpft für \(r\to0\) auf null. Das Produkt aus großer Dichte und verschwindendem Volumen ergibt null — das Maximum liegt deshalb bei \(a_0=53\,\text{pm}\).

Allgemeine Hinweise

Orbital ist keine Bahn

Die Hantelform des 2p-Orbitals ist kein Flugweg. Das Elektron „fliegt“ nicht auf einer Acht herum — die Form gibt nur an, wo eine Messung es wahrscheinlich antrifft.

Dichte und Radialverteilung unterscheiden

\(|\psi|^2\) ist am Kern maximal, die radiale Verteilung dagegen null. Beide Aussagen stimmen — sie beantworten verschiedene Fragen.

Knoten zählen statt auswendig lernen

Ein Orbital mit \(n\) und \(l\) hat \(n-l-1\) Knotenkugeln und \(l\) Knotenebenen. Für 2s: \(2-0-1=1\) Kugel; für 2p: eine Ebene.

Vertiefung

In den folgenden Angeboten kannst du die Orbitale dreidimensional drehen und die Radialverteilungen nebeneinanderlegen. Vergleiche dabei immer wieder mit dem Applet oben.