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Wärmemengen berechnen: E = c · m · ΔT

Vom Teekessel bis zum Warmwasserspeicher: dieselbe Formel, nur andere Zahlen.

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Wasser für den Tee

AFB I–II

In einem Wasserkessel werden 1,2 Liter Wasser von 15 °C auf 95 °C erhitzt. Für Wasser gilt \(c = 4{,}2\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\) und 1 Liter Wasser hat die Masse 1 kg.

  1. Geben Sie die Temperaturänderung ΔT in Kelvin an.
  2. Berechnen Sie die Wärme, die dem Wasser zugeführt wird.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
ΔT ist die Differenz aus Endtemperatur und Anfangstemperatur. Bei Differenzen ist 1 °C genauso groß wie 1 K, umgerechnet wird also nichts.Angeben heißt hier: den Wert mit Einheit nennen, ohne Erläuterung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Schreiben Sie zuerst die Wärmeformel hin und setzen Sie die Masse in Kilogramm ein. Achten Sie darauf, dass das Ergebnis wegen c in kJ herauskommt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(\Delta T = 95\,^\circ\text{C} - 15\,^\circ\text{C} = 80\,\text{K}\)
Antwortsatz: Die Temperaturänderung beträgt 80 K.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gegeben: \(m = 1{,}2\,\text{kg}\), \(\Delta T = 80\,\text{K}\), \(c = 4{,}2\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\); gesucht: E.
Ansatz: \(E = c \cdot m \cdot \Delta T\)
Rechnung: \(E = 4{,}2 \cdot 1{,}2\,\text{kg} \cdot 80\,\text{K} = 403{,}2\,\text{kJ}\)
Antwortsatz: Dem Wasser werden rund 403 kJ zugeführt.

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Der Warmwasserspeicher im Keller

AFB II–III

Im Keller eines Einfamilienhauses steht ein Warmwasserspeicher mit 120 Litern Inhalt. Er ist 1,60 m hoch, die Kellertemperatur beträgt 18 °C. Am Morgen hat das Wasser im Speicher 12 °C; ein Heizstab mit 2 kW erwärmt es auf 60 °C. Eine Kilowattstunde Strom kostet 0,35 €. Rechnen Sie mit \(c = 4{,}2\,\tfrac{\text{kJ}}{\text{kg}\cdot\text{K}}\) und 1 Liter Wasser = 1 kg.

  1. Ermitteln Sie die Wärme, die dem Speicherwasser dabei zugeführt wird.
  2. Bestimmen Sie die Mischtemperatur, wenn zum Duschen 20 kg Wasser aus dem Speicher mit 60 °C und 20 kg kaltes Wasser mit 12 °C gemischt werden.
  3. Beurteilen Sie die Aussage eines Mitschülers: „Nimmt man doppelt so viel kaltes wie warmes Wasser, dann ist die Mischtemperatur halb so hoch.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Der Text enthält mehr Angaben als nötig. Gebraucht werden nur Inhalt, Anfangs- und Endtemperatur sowie c — bilden Sie zuerst ΔT.
Hinweis zu Aufgabe b)
Die Wärme, die das warme Wasser abgibt, nimmt das kalte Wasser auf. Überlegen Sie, was daraus folgt, wenn beide Massen und beide c gleich groß sind — dann brauchen Sie kaum zu rechnen.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfen Sie die Aussage an einem selbst gewählten Zahlenbeispiel, etwa 20 kg mit 60 °C und 40 kg mit 12 °C. Beurteilen Sie außerdem, ob „halb so hoch“ bei Temperaturen in Grad Celsius überhaupt eine sinnvolle Aussage ist.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gegeben: \(m = 120\,\text{kg}\), \(\Delta T = 60\,^\circ\text{C} - 12\,^\circ\text{C} = 48\,\text{K}\).
Ansatz: \(E = c \cdot m \cdot \Delta T\)
Rechnung: \(E = 4{,}2 \cdot 120\,\text{kg} \cdot 48\,\text{K} = 24192\,\text{kJ} \approx 24{,}2\,\text{MJ}\)
Nicht gebraucht werden die Höhe des Speichers, die Kellertemperatur, die Leistung des Heizstabs und der Strompreis.
Antwortsatz: Dem Speicherwasser werden rund 24,2 MJ zugeführt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: abgegebene Wärme = aufgenommene Wärme, also \(c \cdot m_1 \cdot (60\,^\circ\text{C} - T) = c \cdot m_2 \cdot (T - 12\,^\circ\text{C})\).
Weil \(m_1 = m_2 = 20\,\text{kg}\) und c gleich ist, kürzen sich beide Seiten zu \(60\,^\circ\text{C} - T = T - 12\,^\circ\text{C}\).
Rechnung: \(2T = 72\,^\circ\text{C}\), also \(T = 36\,^\circ\text{C}\).
Antwortsatz: Die Mischtemperatur beträgt 36 °C — bei gleichen Massen genau die Mitte zwischen beiden Temperaturen.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Urteil: Die Aussage ist falsch.
Gegenrechnung mit 20 kg bei 60 °C und 40 kg bei 12 °C (T in °C): \(20 \cdot (60 - T) = 40 \cdot (T - 12)\), also \(1200 - 20\,T = 40\,T - 480\) und damit \(60\,T = 1680\), das heißt \(T = 28\,^\circ\text{C}\) — und nicht 30 °C.
Zweites Kriterium: Die Mischtemperatur liegt immer zwischen den beiden Ausgangstemperaturen und wird von der größeren Masse stärker angezogen. „Halb so hoch“ hängt außerdem davon ab, wo der Nullpunkt der Skala liegt; in Grad Celsius ist das Verdoppeln oder Halbieren von Temperaturwerten physikalisch ohne Aussage.
Als vollständige Antwort gilt: ein klares Urteil, ein Gegenbeispiel mit Rechnung und der Hinweis auf die unterschiedlichen Massen in der Energiebilanz.