Übung AFB III

Musterlösung: Die Temperatur ist ein Maß für die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen; sie sagt nichts darüber, wie viele Teilchen vorhanden sind. Die innere Energie ist dagegen die Summe aller Energien aller Teilchen eines Körpers — sie hängt deshalb auch von Masse und Stoff ab und ist ein Bestand, den ein Körper besitzt. Wärme Q ist kein Bestand, sondern Energie, die wegen eines Temperaturunterschieds von einem Körper auf einen anderen übertragen wird. Man sagt deshalb nie „ein Körper hat Wärme“, sondern „ein Körper gibt Wärme ab“ — so wie man auch nicht sagt, ein Konto „hat Überweisung“.

Musterlösung: Die Temperatur misst die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen. Eine Bewegungsenergie kann höchstens auf null sinken, aber nicht negativ werden — also gibt es eine unterste Temperatur, und darunter existiert schlicht kein Zustand mehr. Experimentell findet man diesen Wert durch Extrapolation: Misst man das Volumen eines Gases bei verschiedenen Temperaturen, liegen die Punkte auf einer Geraden, die man rückwärts verlängern kann; sie erreicht das Volumen null bei −273,15 °C. Weil die Celsius-Skala ihren Nullpunkt willkürlich beim Gefrierpunkt des Wassers hat, legt die Kelvin-Skala ihn auf diesen physikalisch ausgezeichneten Punkt — nur dann ist T tatsächlich proportional zur mittleren Bewegungsenergie. Die Schrittweite bleibt gleich, deshalb ist 1 K = 1 °C.

Musterlösung: Die Aussage ist falsch. Sie verwechselt Temperatur mit innerer Energie. Rechnet man beide Wassermengen gegen den gemeinsamen Bezugspunkt 0 °C, ergibt sich für die Tasse 4180 J/(kg·K) · 0,2 kg · 90 K ≈ 75 kJ, für den Eimer 4180 J/(kg·K) · 10 kg · 20 K ≈ 836 kJ — also rund das Elffache. Die Temperatur sagt nur, wie viel Energie ein Teilchen im Mittel hat; die innere Energie hängt zusätzlich von der Teilchenzahl, also von der Masse ab. Richtig an der Aussage ist nur: Wärme würde von der Tasse zum Eimer fließen, nicht umgekehrt — die Flussrichtung entscheidet die Temperatur, nicht die Energiemenge.

Musterlösung: Im ersten Abschnitt erhöht die zugeführte Energie die Bewegungsenergie der Teilchen im Eis — die Temperatur steigt gemäß Q = c · m · ΔT. Das waagerechte Stück bei 0 °C ist der Schmelzvorgang: Die Energie wird vollständig gebraucht, um die Bindungen im Kristallgitter aufzubrechen, und erhöht deshalb nicht die Temperatur. Man nennt sie Schmelzwärme, Q = q_s · m mit q_s = 334 kJ/kg; sie ist im Diagramm als Länge des Plateaus direkt ablesbar. Danach steigt die Temperatur wieder, jetzt aber flacher, weil flüssiges Wasser mit c = 4180 J/(kg·K) eine rund doppelt so große spezifische Wärmekapazität hat wie Eis (etwa 2100 J/(kg·K)): Für dasselbe ΔT ist mehr Energie nötig. Merksatz: Steigung ≙ Wärmekapazität, Plateau ≙ Phasenübergang.

Musterlösung: Aus ΔT = Q : (c · m) folgt: Bei gleicher zugeführter Wärme und gleicher Masse erwärmt sich der Stoff mit dem kleineren c stärker. Weil c(Wasser) rund fünfmal so groß ist wie c(Sand), wird der Sand bei gleicher Sonneneinstrahlung etwa fünfmal so viel wärmer — deshalb verbrennt man sich mittags die Füße, während das Meer angenehm kühl bleibt. Nachts kehrt sich das um: Der Sand kühlt schnell aus, das Wasser gibt seine große gespeicherte innere Energie nur langsam ab. Gemeinsam ist beiden, dass sie dieselbe Formel erfüllen und dieselbe Energiemenge aufnehmen; der Unterschied liegt allein im Stoffwert c. Auf das Klima übertragen heißt das: Große Wassermassen wirken als Wärmespeicher und dämpfen Tages- wie Jahresschwankungen — Küstenorte haben mildere Winter und kühlere Sommer als Orte im Landesinneren.

Musterlösung: Der Fehler steckt im dritten Faktor: In Q = c · m · ΔT gehört die Temperaturdifferenz, nicht die Endtemperatur. Richtig ist ΔT = 80 °C − 20 °C = 60 K und damit Q = 4180 J/(kg·K) · 2 kg · 60 K = 501 600 J ≈ 501,6 kJ. Der Schüler rechnet also rund ein Drittel zu viel. Der Fehler passiert so oft, weil in der Aufgabe zwei Temperaturen stehen und die höhere ins Auge fällt; außerdem verführt die Einheit °C dazu, den Wert direkt zu übernehmen. Zwei Gegenmittel: erstens ΔT immer in einer eigenen Zeile ausrechnen und in K notieren, zweitens die Probe machen — wäre die Rechnung richtig, müsste bei einer Erwärmung von 0 °C auf 80 °C dieselbe Energie herauskommen, obwohl das ein deutlich größerer Schritt ist.

Musterlösung: Aufbau: Das Metallstück wird gewogen (m_M) und einige Minuten in siedendem Wasser gehalten, bis es sicher 100 °C hat (ϑ_M). Parallel kommt eine abgewogene Wassermenge (m_W) mit gemessener Anfangstemperatur ϑ_W in ein Kalorimeter, also ein gut gedämmtes Gefäß. Durchführung: Das heiße Metall wird zügig ins Wasser gegeben, umgerührt und die höchste erreichte Temperatur als Mischtemperatur ϑ_m abgelesen. Auswertung: Aus der Energiebilanz m_M · c_M · (ϑ_M − ϑ_m) = m_W · c_W · (ϑ_m − ϑ_W) folgt c_M = m_W · c_W · (ϑ_m − ϑ_W) : (m_M · (ϑ_M − ϑ_m)). Fehlerquellen: Wärme, die an Gefäß und Umgebung abfließt, sowie anhaftendes heißes Wasser am Metall — beides macht das Ergebnis systematisch zu klein bzw. zu groß; deshalb dämmen, zügig arbeiten und mehrfach messen. Ein Vergleich des Ergebnisses mit der Tabelle (450, 900, 380 J/(kg·K) …) verrät zusätzlich den Stoff.

Musterlösung: Die Aussage ist größtenteils falsch, enthält aber einen richtigen Kern. Richtig ist: Solange drinnen eine höhere Temperatur herrscht als draußen, fließt Wärme nach außen — das lässt sich nicht verhindern, nur verlangsamen. Entscheidend ist aber nicht ob, sondern wie schnell: Die Heizung muss genau so viel Energie nachliefern, wie pro Stunde entweicht. Halbiert die Dämmung diesen Strom, halbiert sie den Brennstoffverbrauch. Wärme wird auf drei Wegen transportiert — durch Leitung im Baustoff, durch Strömung der Luft und durch Strahlung. Dämmstoffe wirken auf alle drei: Sie schließen Luft in kleinen Poren ein, sodass sie nicht mehr strömen kann, und ruhende Luft leitet Wärme extrem schlecht; metallbeschichtete Folien reflektieren zusätzlich Strahlung. Eine Wärmebildkamera macht den Effekt sichtbar: Ungedämmte Bauteile und Wärmebrücken leuchten hell, weil dort viel Energie nach außen gelangt. Meine Position: Dämmen lohnt sich, weil es den Energiestrom dauerhaft verkleinert — wie stark, entscheiden Bauweise, Klima und Kosten, und das ist dann keine rein physikalische Frage mehr.

Musterlösung: Die Behauptung ist falsch, weil sie die Anomalie des Wassers übersieht. Wasser hat seine größte Dichte nicht am Gefrierpunkt, sondern bei 4 °C. Bis zu dieser Temperatur stimmt die Aussage: Abgekühltes Oberflächenwasser wird dichter und sinkt ab, bis der ganze See annähernd 4 °C hat. Kühlt das Oberflächenwasser darunter weiter ab, dehnt es sich wieder aus, wird also leichter und bleibt oben liegen. Dort bildet sich bei 0 °C die Eisschicht — und Eis hat eine noch kleinere Dichte als Wasser, schwimmt also obenauf, statt abzusinken. Ein See friert deshalb von oben nach unten zu; die Eisdecke wirkt danach als Dämmung, sodass am Grund weiterhin rund 4 °C herrschen. Genau das ermöglicht Fischen und Pflanzen das Überwintern — wäre die Behauptung richtig, würden Seen von unten her vollständig durchfrieren.

Musterlösung: Bilanz: In einem gedämmten Gefäß gibt der wärmere Körper genau die Wärme ab, die der kältere aufnimmt: m₁ · c₁ · (ϑ₁ − ϑ_m) = m₂ · c₂ · (ϑ_m − ϑ₂). Umformen: Ausmultiplizieren ergibt m₁c₁ϑ₁ − m₁c₁ϑ_m = m₂c₂ϑ_m − m₂c₂ϑ₂; alle ϑ_m-Terme nach rechts: m₁c₁ϑ₁ + m₂c₂ϑ₂ = ϑ_m · (m₁c₁ + m₂c₂). Also ϑ_m = (m₁c₁ϑ₁ + m₂c₂ϑ₂) : (m₁c₁ + m₂c₂) — ein mit c · m gewichteter Mittelwert der beiden Temperaturen. Sonderfall: Ist derselbe Stoff im Spiel, kürzt sich c heraus und es bleibt ϑ_m = (m₁ϑ₁ + m₂ϑ₂) : (m₁ + m₂). Probe: 2 kg Wasser mit 80 °C und 3 kg Wasser mit 20 °C ergeben ϑ_m = (2 · 80 + 3 · 20) : 5 = 44 °C — ein Wert zwischen 20 °C und 80 °C, näher an der größeren Masse. ✓