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Spezifische Wärmekapazität c — die Sonderrolle des Wassers

Zwei Sachaufgaben: Was ein Vollbad an Energie kostet — und warum ein Wärmespeicher mit Wasser gefüllt wird.

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Ein Vollbad am Samstagabend

AFB I–II

Familie Osei lässt für ein Vollbad 120 Liter Wasser ein. Aus der Leitung kommt es mit 12 °C, der Boiler erwärmt es auf 40 °C. Für Wasser gilt \(c = 4180\,\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\); ein Liter Wasser hat eine Masse von 1 kg.

  1. Nennen Sie Formelzeichen und Einheit der spezifischen Wärmekapazität und sagen Sie, was der Zahlenwert für Wasser bedeutet.
  2. Berechnen Sie die Wärme, die das Badewasser bei dieser Erwärmung aufnimmt.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Einheit liest sich wie eine Gebrauchsanweisung: Energie je Kilogramm und je Kelvin. Übersetzen Sie den Zahlenwert genau in diesen Satzbau.Nennen heißt hier: nur angeben, ohne Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie in \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) ein. Für \(\Delta T\) gehört die Differenz der beiden Temperaturen in Kelvin eingesetzt, nicht die Endtemperatur; für \(m\) hilft die Angabe, dass 1 Liter Wasser 1 kg wiegt.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Formelzeichen \(c\), Einheit \(\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\) (Joule je Kilogramm und Kelvin).
Bedeutung des Wertes: Man muss 4180 J zuführen, um 1 kg Wasser um 1 K zu erwärmen.
Antwortsatz: Die spezifische Wärmekapazität \(c\) wird in J/(kg·K) angegeben; \(c = 4180\,\text{J/(kg}\cdot\text{K)}\) heißt, dass 1 kg Wasser für 1 K Erwärmung 4180 J braucht.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) mit \(m = 120\,\text{kg}\).
Temperaturdifferenz: \(\Delta T = 40\,^\circ\text{C} - 12\,^\circ\text{C} = 28\,\text{K}\)
Rechnung: \(Q = 4180\,\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 120\,\text{kg} \cdot 28\,\text{K}\)
\(Q = 117\,040\,\frac{\text{J}}{\text{kg}} \cdot 120\,\text{kg} = 14\,044\,800\,\text{J}\)
Ergebnis: \(Q \approx 14{,}0\,\text{MJ}\) (genau 14 044 800 J = 14 044,8 kJ)
Antwortsatz: Das Badewasser nimmt rund 14,0 MJ Wärme auf.

2

Der Pufferspeicher der Solaranlage

AFB II–III

Familie Jung baut eine Solarthermie-Anlage ein. Der Pufferspeicher im Keller fasst 300 Liter Wasser; er ist 1,80 m hoch, hat einen Durchmesser von 60 cm und ist mit 10 cm Dämmschaum ummantelt. An einem sonnigen Tag wird das Speicherwasser auf 70 °C gebracht. Über Nacht entnehmen die Heizkörper Energie, sodass die Temperatur auf 45 °C sinkt. Der Installateur schlägt als Alternative einen Speicher mit 300 kg Aluminiumgranulat vor. Es gilt \(c_{\text{Wasser}} = 4180\,\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\) und \(c_{\text{Alu}} = 900\,\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}}\); ein Liter Wasser hat 1 kg.

  1. Vergleichen Sie Wasser und Aluminium als Speicherstoff, indem Sie für 300 kg und dieselbe Abkühlung um 25 K jeweils die abgegebene Wärme angeben.
  2. Bestimmen Sie die Wärme, die der Wasserspeicher über Nacht abgibt.
  3. Entscheiden Sie begründet, welches der beiden Speichermedien Familie Jung einbauen sollte.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Rechnen Sie beide Fälle mit derselben Formel und denselben Werten für \(m\) und \(\Delta T\); dann unterscheidet sich nur noch der Faktor \(c\). Vergleichen Sie am Ende auch das Verhältnis der beiden Ergebnisse.
Hinweis zu Aufgabe b)
Der Text enthält mehr Angaben als nötig. Gebraucht werden nur Füllmenge, die beiden Temperaturen und \(c_{\text{Wasser}}\); Höhe, Durchmesser und Dämmstärke spielen für die Rechnung keine Rolle.
Hinweis zu Aufgabe c)
Legen Sie zwei Kriterien fest, bevor Sie sich entscheiden: erstens die gespeicherte Energie je Kilogramm, zweitens die praktische Eignung im Heizkreis (Transport, Verfügbarkeit, Preis). Formulieren Sie am Ende eine eindeutige Festlegung.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Ansatz: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) mit \(m = 300\,\text{kg}\) und \(\Delta T = 25\,\text{K}\).
Wasser: \(Q = 4180 \cdot 300 \cdot 25\,\text{J} = 31\,350\,000\,\text{J} = 31{,}35\,\text{MJ}\)
Aluminium: \(Q = 900 \cdot 300 \cdot 25\,\text{J} = 6\,750\,000\,\text{J} = 6{,}75\,\text{MJ}\)
Verhältnis: \(\frac{4180}{900} \approx 4{,}6\)
Antwortsatz: Bei gleicher Masse und gleicher Abkühlung gibt Wasser mit 31,35 MJ rund 4,6-mal so viel Wärme ab wie Aluminium mit 6,75 MJ — der Unterschied kommt allein von der spezifischen Wärmekapazität.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) mit \(m = 300\,\text{kg}\) (300 Liter Wasser).
Temperaturdifferenz: \(\Delta T = 70\,^\circ\text{C} - 45\,^\circ\text{C} = 25\,\text{K}\)
Rechnung: \(Q = 4180\,\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 300\,\text{kg} \cdot 25\,\text{K} = 31\,350\,000\,\text{J}\)
Ergebnis: \(Q = 31{,}35\,\text{MJ}\) (= 31 350 kJ)
Nicht gebraucht werden Höhe, Durchmesser und Dämmstärke des Speichers.
Antwortsatz: Der Speicher gibt über Nacht 31,35 MJ Wärme an die Heizkörper ab.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Festlegung: Familie Jung sollte den Wasserspeicher einbauen.
Kriterium 1 (Energie je Kilogramm): Wasser speichert wegen seines großen \(c\) bei gleicher Masse rund 4,6-mal so viel Energie. Für die 31,35 MJ aus Teilaufgabe b) bräuchte man \(m = \frac{31\,350\,000\,\text{J}}{900\,\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} \cdot 25\,\text{K}} \approx 1393\,\text{kg}\) Aluminium, also fast das Fünffache an Masse.
Kriterium 2 (praktische Eignung): Wasser ist zugleich das Transportmedium im Heizkreis, lässt sich pumpen, ist überall verfügbar und kostet fast nichts; Aluminiumgranulat müsste über einen zusätzlichen Kreislauf angebunden werden.
Als vollständige Antwort gilt: eine eindeutige Festlegung auf Wasser, gestützt auf mindestens zwei Kriterien, darunter der Vergleich der spezifischen Wärmekapazitäten mit Zahlenbeleg.