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Mit Formeln rechnen und Einheiten umrechnen

Zwei Sachaufgaben, in denen erst die Einheiten stimmen müssen und dann die Formel umgestellt wird.

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Teewasser im Wasserkocher

AFB I–II

In einem Wasserkocher werden 750 g Wasser von 18 °C auf 98 °C erhitzt. Für Wasser gilt die spezifische Wärmekapazität c = 4180 J/(kg·K).

  1. Geben Sie die Masse des Wassers in Kilogramm und die Temperaturdifferenz in Kelvin an.
  2. Bestimmen Sie die Wärme, die das Wasser aufnimmt, in Kilojoule.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Von Gramm nach Kilogramm wird durch 1000 geteilt; die Temperaturdifferenz ist Endtemperatur minus Anfangstemperatur.Angeben heißt hier: nur die beiden Werte mit Einheit nennen, ohne Erläuterung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie in \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) nur Werte in kg und K ein; das Ergebnis kommt zuerst in Joule heraus und wird erst danach in Kilojoule umgerechnet.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

\(m = 750\,\text{g} = 0{,}75\,\text{kg}\)
\(\Delta T = 98\,^\circ\text{C} - 18\,^\circ\text{C} = 80\,\text{K}\)
Antwortsatz: Das Wasser hat eine Masse von 0,75 kg, die Temperaturdifferenz beträgt 80 K.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\)
Rechnung: \(Q = 4180\,\frac{\text{J}}{\text{kg}\cdot\text{K}} \cdot 0{,}75\,\text{kg} \cdot 80\,\text{K}\)
\(Q = 250\,800\,\text{J} = 250{,}8\,\text{kJ}\)
Einheitenkontrolle: kg und K kürzen sich weg, es bleibt J.
Antwortsatz: Das Wasser nimmt rund 250,8 kJ auf.

2

Heizstab im Aquarium

AFB II–III

Ein Aquarium ist 100 cm lang, 40 cm breit und 35 cm hoch und enthält 60 Liter Wasser; 1 Liter Wasser hat die Masse 1 kg. Das Wasser hat 21 °C und soll auf 26 °C gebracht werden. Der Heizstab gibt eine Leistung von 150 W ab, also 150 J pro Sekunde, und wird vollständig vom Wasser aufgenommen. Für Wasser gilt c = 4180 J/(kg·K), eine Kilowattstunde kostet 0,32 €.

  1. Leiten Sie aus \(Q = c \cdot m \cdot \Delta T\) und \(Q = P \cdot t\) eine Gleichung für die Heizzeit \(t\) her.
  2. Berechnen Sie die Heizzeit in Stunden.
  3. Überprüfen Sie die Aussage eines Mitschülers: „Wenn man doppelt so viel Wasser einfüllt, ist es in der halben Zeit warm.“

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Wärme \(Q\) — setzen Sie sie gleich und lösen Sie nach \(t\) auf.Herleiten heißt: den Weg von den bekannten Gleichungen zur neuen Gleichung zeigen, noch ohne Zahlen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Nicht alle Angaben werden gebraucht: Die Maße des Beckens und der Strompreis spielen hier keine Rolle. Die Zeit kommt zuerst in Sekunden heraus; eine Stunde hat 3600 s.
Hinweis zu Aufgabe c)
Prüfen Sie an der Gleichung aus a), wo die Masse steht: im Zähler oder im Nenner? Beurteilen Sie danach, ob die Zeit größer oder kleiner wird.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Gleichsetzen: \(P \cdot t = c \cdot m \cdot \Delta T\)
Beide Seiten durch \(P\) teilen: \(t = \dfrac{c \cdot m \cdot \Delta T}{P}\)
Einheitenkontrolle: \(\frac{\text{J}}{\text{W}} = \frac{\text{J}}{\text{J/s}} = \text{s}\) — es kommt tatsächlich eine Zeit heraus.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Gegeben: \(m = 60\,\text{kg}\), \(\Delta T = 26\,^\circ\text{C} - 21\,^\circ\text{C} = 5\,\text{K}\), \(P = 150\,\text{W}\)
\(Q = 4180 \cdot 60 \cdot 5\,\text{J} = 1\,254\,000\,\text{J}\)
\(t = \dfrac{1\,254\,000\,\text{J}}{150\,\text{W}} = 8360\,\text{s}\)
\(t = \dfrac{8360}{3600}\,\text{h} \approx 2{,}3\,\text{h}\)
Antwortsatz: Der Heizstab braucht rund 2,3 Stunden, also etwa 2 h 19 min.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

In \(t = \frac{c \cdot m \cdot \Delta T}{P}\) steht die Masse im Zähler: Die Heizzeit ist proportional zur Masse. Doppelte Wassermenge bedeutet also doppelte Wärme und damit auch doppelte Heizzeit — rund 4,6 h statt 2,3 h.
Die Aussage ist damit falsch; sie verwechselt Zähler und Nenner. Halbiert würde die Zeit nur, wenn man die Leistung des Heizstabs verdoppelte.
Als vollständig gilt die Antwort, wenn das Urteil („falsch“) mit der Stellung der Masse in der Gleichung begründet wird.