MINT lernen

Ausdehnung bei Erwärmung — Längenänderung von Körpern

Zwei Sachaufgaben zur Formel Δl = α · l₀ · ΔT — von der Bahnschiene bis zur Dehnungsfuge.

Dein Fortschritt:
0 / 0 Aufgaben
1

Eine Bahnschiene im Sommer

AFB I–II

Eine Bahnschiene aus Stahl ist bei 10 °C genau 25,00 m lang. Stahl hat den linearen Ausdehnungskoeffizienten \(\alpha = 0{,}000013\ \tfrac{1}{\mathrm K}\). An einem heißen Sommertag erwärmt sich die Schiene auf 55 °C.

  1. Geben Sie die drei Größen an, von denen die Längenänderung eines festen Körpers abhängt. an.
  2. Berechnen Sie die Längenänderung der Schiene in Millimetern.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die drei Größen stehen als Faktoren in der Formel für die Längenänderung.Angeben heißt: nur aufzählen, keine Begründung nötig.
Hinweis zu Aufgabe b)
Bilde zuerst die Temperaturdifferenz \(\Delta T\) in Kelvin, erst danach einsetzen. Rechne mit \(l_0\) in Metern und wandle das Ergebnis am Schluss in Millimeter um.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Die Längenänderung hängt ab von der Ausgangslänge \(l_0\), von der Temperaturänderung \(\Delta T\) und vom Stoff, ausgedrückt durch den linearen Ausdehnungskoeffizienten \(\alpha\).

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Ansatz: \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\). Temperaturänderung: \(\Delta T = 55\,^\circ\mathrm{C} - 10\,^\circ\mathrm{C} = 45\ \mathrm K\). Einsetzen: \(\Delta l = 0{,}000013\ \tfrac{1}{\mathrm K} \cdot 25{,}00\ \mathrm m \cdot 45\ \mathrm K = 0{,}014625\ \mathrm m\). Antwort: Die Schiene wird rund 14,6 mm länger.

2

Dehnungsfugen an einer Betonbrücke

AFB II–III

Eine Betonbrücke besteht aus fünf gleich langen Segmenten von je 30,0 m. Sie muss Temperaturen zwischen −20 °C und 45 °C aushalten. Zwischen je zwei Segmenten und an beiden Enden ist eine 25 mm breite Dehnungsfuge geplant. Materialwerte: Beton \(\alpha = 0{,}000012\ \tfrac{1}{\mathrm K}\), Stahl \(\alpha = 0{,}000013\ \tfrac{1}{\mathrm K}\), Aluminium \(\alpha = 0{,}0000238\ \tfrac{1}{\mathrm K}\).

  1. Erklären Sie mit dem Teilchenmodell, warum sich ein Betonsegment beim Erwärmen ausdehnt, seine Masse dabei aber gleich bleibt.
  2. Ermitteln Sie die Längenänderung eines einzelnen Segments zwischen \(-20\,^\circ\mathrm{C}\) und \(45\,^\circ\mathrm{C}\).
  3. Beurteilen Sie ob die geplante Fugenbreite von 25 mm ausreicht.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Denke an die Teilchenbewegung und daran, was sich dabei ändert — und was nicht.
Hinweis zu Aufgabe b)
Welchen \(\alpha\)-Wert brauchst du hier wirklich? Die Temperaturdifferenz geht über den Nullpunkt hinweg.
Hinweis zu Aufgabe c)
Ein Segment wächst an beiden Enden. Überlege, wie viel von der Ausdehnung auf eine einzelne Fuge entfällt — und von wie vielen Seiten diese Fuge zugedrückt wird.

Erwartungshorizont

Erwartungshorizont zu Aufgabe a)

Bei höherer Temperatur schwingen die Teilchen heftiger und beanspruchen mehr Platz, ihre mittleren Abstände werden größer. Dadurch wächst das Volumen. Die Anzahl der Teilchen ändert sich nicht, also bleibt die Masse gleich — die Dichte sinkt.

Erwartungshorizont zu Aufgabe b)

Nur der Beton-Wert wird gebraucht. \(\Delta T = 45\,^\circ\mathrm{C} - (-20\,^\circ\mathrm{C}) = 65\ \mathrm K\); \(\Delta l = 0{,}000012\ \tfrac{1}{\mathrm K} \cdot 30{,}0\ \mathrm m \cdot 65\ \mathrm K = 0{,}0234\ \mathrm m = 23{,}4\ \mathrm{mm}\). Jedes Segment wird also um 23,4 mm länger.

Erwartungshorizont zu Aufgabe c)

Jedes Segment dehnt sich nach beiden Seiten aus, jedes Ende wandert um 11,7 mm. Eine Fuge zwischen zwei Segmenten wird deshalb von beiden Seiten zugedrückt, insgesamt um 23,4 mm. Bei 25 mm Fugenbreite bleiben nur 1,6 mm übrig. Urteil: Die Fuge reicht rechnerisch gerade aus, die Sicherheitsreserve ist aber sehr klein — Bauungenauigkeiten, Schmutz in der Fuge oder Temperaturen über 45 °C im dunklen Belag würden sie aufbrauchen. Eine breitere Fuge wäre sinnvoll.